设 $\Omega\subset{\Bbb R}^n\;(n\ge3)$ 是具有 Lipschitz 边界 $\partial\Omega$ 的有界区域. 考虑下述具有变指数的半线性双曲方程

\begin{equation}\label{1.1} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}=\Delta u+u^{p(x)},~~& x\in\Omega,\ t>0;\\ u(x,t)=0,& x\in\partial\Omega,\ t\ge0;\\ u(x,0)=u_0(x),& x\in\Omega;\\ u_t(x,0)=u_1(x),& x\in\Omega,\\ \end{array}\right. \end{equation}

(1.1)

其中 $u_0(x),u_1(x)\ge0$ 并且它们都不恒为零.

我们考虑具有一定初始条件以及正的能量的问题 (1.1) 的爆破解. 关于形为 $u_t=\Delta u+|u|^{p(x)-1}u-k(t)$ 的半线性抛物方程的问 题已经被许多作者在各种各样的条件以及用不同的方法所研究,参见 文献^{[1, 3, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 15, 16]}以及其中的参考文献.

当 $p(x)\equiv p$ 是常数时,问题 (1.1) 的爆破解已经被许 多作者研究了,参见文献 ^{[6, 8, 10, 12]} 以及其中的参考文献. 在文献^[4] 中,Ball 证明了当 $1<p\le\frac{n}{n-2}$ 时,在能量为负或者能量为零但满足额 外的初始条件 $\int_\Omega u_0(x)u_1(x){\rm d}x>0$ 时问题 (1.1) 的解在有限时刻爆破. 在文献 ^[8]中,Glassey 采用Kaplan^[11]的特征值方法得到了问题 (1.1) 的一些爆破结果. 在文献^[12]中,Levine 在能量充分大的情形下得 到了问题 (1.1) 的爆破结果.

这些抛物和双曲方程产生于应用科学的许多数学模型里,例如: 核科学、 化学反应、传热学、种群动力学、生物科学等,参见文献^{[1, 2, 3, 5, 15, 17]} 以及其中的参考文献.

对于齐次Dirichlet边界条件下形为 $u_t=\Delta u+u^{p(x)}$ 的抛物型方程,文献^[18]和 ^[19] 得到了一些爆破结果. 对于双曲问题(1.1),在文献 ^[2] 中 Antontsev 对非正能 量得到了爆破结果; 在文献^[15]中 Pinasco 证明了使得相应的解 在有限时刻爆破的充分大的初始数据的存在性. 在本文中,我们证明在 $1<p^-\le p^+\le\frac{n+2}{n-2}$,能量为正,以及一定的初始条件下, 问题 (1.1) 的解在有限时刻爆破.

在本文中我们总假设

\begin{equation}1<p^-:=\inf_{x\in\Omega}p(x)\le p(x)\le p^+:= \sup_{x\in\Omega}p(x)\le\frac{n+2}{n-2},\end{equation}

(2.1)

以及对所有满足条件 $|z-\xi|<1$ 的 $z,\xi\in\Omega$,

\begin{equation} |p(z)-p(\xi)|\le\omega(|z-\xi|) \end{equation}

(2.2)

成立,其中 $\omega$ 满足 $$\limsup_{\tau\to 0^+}\omega(\tau)\ln\frac{1}{\tau}=C<\infty.$$ 令 $$L^{p(\cdot)}(\Omega)=\bigg\{f\;|\;f\ \mbox{是可测函数},\ \int_\Omega|f(x)|^{p(x)}{\rm d}x<\infty\bigg\}.$$ 由文献 ^[5]中的定理 3.2.7 可知 $$\|f\|_{p(\cdot),\Omega}\equiv \|f\|_{L^{p(\cdot)}(\Omega)}= \inf\left\{\lambda>0\;\Big|\;\int_\Omega\left|\frac{f(x)} {\lambda}\right|^{p(x)}{\rm d}x\le 1\right\}$$ 是 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 上的范数,且 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 关于此范数是一个 Banach 空间. 由定义直接可得

\begin{equation} \min\{\|f\|_{p(\cdot),\Omega}^{p^-},\|f\|_{p(\cdot), \Omega}^{p^+}\}\le %{\color{red} \int_\Omega|f(x)|^{p(x)}{\rm d}x \le\max\{\|f\|_{p(\cdot),\Omega}^{p^-}, \|f\|_{p(\cdot),\Omega}^{p^+}\}. \end{equation}

(2.3)

由文献 ^[5] 中的推论 3.3.4 可知 $L^{p^++1}(\Omega)\hookrightarrow L^{p(\cdot)+1}(\Omega)$. 于是由 Sobolev 嵌入 $H^1_0(\Omega)\hookrightarrow L^{p^++1} (\Omega)$ 以及 Poincar\'{e} 不等式,我们有

\begin{equation} \|u\|_{p(\cdot)+1,\Omega}\le B\|\nabla u\|_{2,\Omega}, \end{equation}

(2.4)

其中 $B$ 是嵌入常数.

令 $B_1$ 是一个常数,且满足

\begin{equation} B_1\ge B,\ \mbox{以及}\ B_1>1. \end{equation}

(2.5)

令

\begin{equation} \alpha_1=B_1^{-\frac{2(p^-+1)}{p^-1}},\quad E_1= \frac{p^-1}{2(p^-+1)}B_1^{-\frac{2(p^-+1)}{p^-1}}. \end{equation}

(2.6)

能量 $E(t)$ 定义为

\begin{equation} E(t)=\int_\Omega\left[\frac{1}{2}|u_t(x,t)|^2+\frac{1}{2}| \nabla u(x,t)|^2-\frac{1}{p(x)+1}u^{p(x)+1}(x,t)\right]{\rm d}x. \end{equation}

(2.7)

利用分部积分公式并经过直接计算可得 $$E'(t)=\int_\Omega[u_{tt}(x,t)-\Delta u(x,t)-u^{p(x)}(x,t)] u_t(x,t){\rm d}x=0.$$ 因而 $E(t)=E(0)$ 是常数.

本文的主要结果叙述如下:

定理2.1 假设 $E(0)<E_1$,$\|\nabla u_0\|_2^2+\|u_1\|_2^2>\alpha_1$, $\int_\Omega u_0(x)u_1(x){\rm d}x>0$,以及 $p(x)$ 满足条件 (2.1),(2.2). 则问题 (1.1) 的解在有限时刻爆破.

首先我们有下述引理,其证明可参见文献^[19].

引理3.1 设 $h: [0,+\infty)\to{\Bbb R}$ 定义为 $$h(\alpha)=\frac12\alpha-\frac{1}{p^-+1}\max \{B_1^{p^++1}\alpha^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha^{\frac{p^-+1}{2}}\},$$ 则 $h$ 满足下列性质

(1)~ $h$ 在 $0<\alpha\le\alpha_1$ 上递增,在 $\alpha\ge\alpha_1$ 上递减;

(2)~ $h(\alpha)\to-\infty$ (当 $\alpha\to+\infty$);

(3)~ $h(\alpha_1)=E_1$,\\ 其中 $\alpha_1$ 和 $E_1$ 由 (2.6) 式给出.

应用 Wu,Guo 和 Gao 在文献 ^[18]中的想法,我们可得下述引理:

引理3.2 假设 $u(x,t)$ 是问题 (1.1) 的一个解. 如果 $E(0)<E_1$ 并且 $\|\nabla u_0\|_2^2+\|u_1\|_2^2>\alpha_1$. 则存在一个正的常数 $\alpha_2>\alpha_1$,使得

\begin{equation} \|\nabla u(\cdot,t)\|_2^2+\|u_t(\cdot,t)\|_2^2\ge\alpha_2,\ \forall t\ge0, \end{equation}

(3.1)

以及

\begin{equation} \int_\Omega\frac{1}{p(x)+1}u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x\ge\frac{1}{p^-+1} \max\{B_1^{p^++1}\alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}. \end{equation}

(3.2)

证 证明的方法类似于文献^[19] 中引理 2 的证明,为读者方便起见我们在这里给出证明.

从 (2.3),(2.4),(2.5) 以及 (2.7) 式可得

\begin{eqnarray} E(t) & \ge & \frac12\|\nabla u(\cdot,t)\|_2^2+\frac12\|u_t(\cdot,t)\|_2^2-\frac{1}{p^-+1}\int_\Omega u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x \nonumber\\ & \ge & \frac12\|\nabla u(\cdot,t)\|_2^2+\frac12\|u_t(\cdot,t)\|_2^2-\frac{1}{p^-+1}\max\{\|u(\cdot,t)\|_{p(\cdot)+1,\Omega}^{p^++1},\|u(\cdot,t)\|_{p(\cdot)+1,\Omega}^{p^-+1}\} \nonumber\\ & \ge & \frac12\alpha(t)-\frac{1}{p^-+1}\max\{B^{p^++1}\alpha^{\frac{p^++1}{2}}(t), B^{p^-+1}\alpha^{\frac{p^-+1}{2}}(t)\}\nonumber\\ & \ge & \frac12\alpha(t)-\frac{1}{p^-+1}\max\{B_1^{p^++1}\alpha^{\frac{p^++1}{2}}(t), B_1^{p^-+1}\alpha^{\frac{p^-+1}{2}}(t)\}=h(\alpha(t)), \end{eqnarray}

(3.3)

其中 $\alpha(t)=\|\nabla u(\cdot,t)\|_2^2+\|u_t(\cdot,t)\|_2^2$.

根据引理 3.1,$h$ 在 $\alpha\ge\alpha_1$ 上递减; $h(\alpha)\to-\infty$ (当 $\alpha\to+\infty$) 以及 $h(\alpha_1)=E_1$. 由于 $E(0)<E_1$,存在 $\alpha_2>\alpha_1$ 使得 $h(\alpha_2)=E(0)$. 由 (3.3)式 可得 $h(\alpha(0))\le E(0)=h(\alpha_2)$. 再由 $\alpha(0)=\|\nabla u_0\|_2^2+\|u_1\|_2^2>\alpha_1$, $\alpha_2>\alpha_1$ 以及 $h$ 在 $\alpha\ge\alpha_1$ 上递减可知 $\alpha(0)\ge\alpha_2$.

为证明 (3.1) 式,我们用反证法. 假设存在 $t_0>0$ 使得 $\|\nabla u(\cdot,t_0)\|_2^2+\|u_t(\cdot,t_0)\|_2^2<\alpha_2$. 由 $\|\nabla u(\cdot,t)\|_2^2+\|u_t(\cdot,t_0)\|_2^2$ 的连续性, 可选取 $t_1$ 使得 $\alpha_1<\|\nabla u(\cdot,t_1)\|_2^2+ \|u_t(\cdot,t_1)\|_2^2<\alpha_2$,于是 $$E(0)=h(\alpha_2)<h(\|\nabla u(\cdot,t_1)\|_2^2+\|u_t(\cdot,t_1)\|_2^2)\le E(t_1),$$ 这与 $E(t)\equiv E(0)$ 的事实矛盾.

最后,由 (2.7) 式可得 \begin{eqnarray*} \int_\Omega\frac{1}{p(x)+1}u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x &=& \frac12\|\nabla u(\cdot,t)\|_2^2+\frac12\|u_t(\cdot,t)\|_2^2-E(0)\ge\frac{\alpha_2}{2}-h(\alpha_2)\\ &=&\frac{1}{p^-+1}\max\{B_1^{p^++1}\alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}. \end{eqnarray*} 证毕.

定理 2.1 的证明 用反证法. 假设问题 (1.1) 的解在 $t\in [0,\infty)$ 上存在.

令 $$G(t)=\int_\Omega u^2(x,t){\rm d}x, $$ 则 $G(t)<+\infty$ 对所有 $t\in [0,+\infty)$ 成立以及

\begin{equation} G'(t)=2\int_\Omega u(x,t)u_t(x,t){\rm d}x, \end{equation}

(3.4)

\begin{equation} G''(t)=2\int_\Omega u_t^2(x,t){\rm d}x-2\int_\Omega |\nabla u(x,t)|^2{\rm d}x+2\int_\Omega u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x. \end{equation}

(3.5)

由 (2.7) 和 (3.5) 式可得

\begin{equation} G''(t)=4\int_\Omega u_t^2(x,t){\rm d}x+2\int_\Omega\frac{p(x)-1}{p(x)+1}u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x-4E(t). \end{equation}

(3.6)

由 (3.4) 式以及 Cauchy-Schwarz 不等式可得

\begin{equation} (G'(t))^2\le 4\int_\Omega u^2(x,t){\rm d}x\cdot\int_\Omega u_t^2(x,t){\rm d}x=4G(t)\int_\Omega u_t^2(x,t){\rm d}x, \end{equation}

(3.7)

因此

\begin{equation} \int_\Omega u_t^2(x,t){\rm d}x\ge \frac{(G'(t))^2}{4G(t)}. \end{equation}

(3.8)

此外,由 (2.6) 和(3.2)式,我们有

\begin{equation} 2E_1\le\frac{\alpha_1(p^-1)}{\max\{B_1^{p^++1} \alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}} \int_\Omega\frac{1}{p(x)+1}u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x. \end{equation}

(3.9)

由 (2.1),(3.6),(3.8),(3.9) 式 以及 $E(t)\equiv E(0)<E_1$ 的事实可得 $$G''(t)\ge \frac{(G'(t))^2}{G(t)}+ 2(p^-1) \frac{\max\{B_1^{p^++1}\alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}-\alpha_1} {\max\{B_1^{p^++1}\alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}} \int_\Omega\frac{1}{p(x)+1}u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x,$$ 因为 $\alpha_2>\alpha_1$,我们有 $\max\{B_1^{p^++1}\alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}> B_1^{p^-+1}\alpha_1^{\frac{p^-+1}{2}}=\alpha_1, $ 因此我们得到下述不等式 $$G''(t)\ge \frac{(G'(t))^2}{G(t)}+C\int_\Omega u^{p(x)+1}(x,t){\rm d}x,$$ 其中 $$C=\frac{2(p^-1)[\max\{B_1^{p^++1}\alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}- \alpha_1]}{(p^++1)\max\{B_1^{p^++1}\alpha_2^{\frac{p^++1}{2}}, B_1^{p^-+1}\alpha_2^{\frac{p^-+1}{2}}\}}>0.$$ 根据 (2.3)式 以及 Sobolev 嵌入 $L^{p(\cdot)+1}(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ 可得

\begin{equation} G''(t)\ge \frac{(G'(t))^2}{G(t)}+C\min\{\|u\|_2^{p^-+1},\|u\|_2^{p^++1}\}. \end{equation}

(3.10)

由 (3.10)式 可得 $G''(t)\ge0$,于是 $$G'(t)\ge G'(0)=\int_\Omega u_0(x)u_1(x){\rm d}x>0, ~~ G(t)\ge G(0)+G'(0)t. $$ 因而存在 $t_0\ge0$ 使得$G(t)>1$ 对所有 $t\ge t_0$ 成立. 这样我们得到

\begin{equation} G''(t)\ge \frac{(G'(t))^2}{G(t)}+CG^{\frac{p^-+1}{2}}(t),\quad \mbox{对所有 $t\ge t_0$}. \end{equation}

(3.11)

由 (3.11) 式易得

\begin{equation} \bigg(\frac{G'^2}{G^2}\bigg)'(t)\ge\frac{4C}{p^-1}(G^{\frac{p^-1}{2}})'(t),\quad \mbox{对所有 $t\ge t_0$}. \end{equation}

(3.12)

对 (3.12)式在 $[t_0,t]$ 上积分可得

\begin{equation} \bigg(\frac{G'^2}{G^2}\bigg)(t)\ge \bigg(\frac{G'^2}{G^2}\bigg)(t_0)+\frac{4C}{p^-1}(G^{\frac{p^-1}{2}}(t) -G^{\frac{p^-1}{2}}(t_0)),\quad \mbox{对所有 $t\ge t_0$}. \end{equation}

(3.13)

由于 $G$,$G'$ 是正的,$G$ 是严格递增的,由 (3.13)式 容易得到

\begin{equation} \frac{G'(t)}{G(t)}\ge C_1G^{\frac{p^-1}{4}}(t)+C_2,\quad \mbox{对所有 $t\ge t_0$}, \end{equation}

(3.14)

其中 $C_1=\sqrt{\frac{4C}{p^-1}}$,$C_2=-\sqrt{\frac{4C}{p^-1}}G^{\frac{p^-1}{4}}(t_0)-\frac{G'(t_0)}{G(t_0)}$.

由于 $G(t)\ge G(0)+G'(0)t$ 是严格递增的,存在 $t_1>t_0$ 使得

\begin{equation} G^{\frac{p^-1}{4}}(t)\ge-\frac{2C_2}{C_1},\quad \mbox{对所有 $t\ge t_1$}. \end{equation}

(3.15)

由 (3.14) 和 (3.15) 式可得

\begin{equation} \frac{G'(t)}{G(t)}\ge\frac{C_1}{2}G^{\frac{p^-1}{4}}(t),\quad \mbox{对所有 $t\ge t_1$}. \end{equation}

(3.16)

这蕴含 $$G^{\frac{p^-1}{4}}(t)\ge \frac{1}{G^{\frac{1-p^-}{4}}(t_1)+\frac{C_1(p^-1)}{8}t_1-\frac{C_1(p^-1)}{8}t},\quad \mbox{对所有 $t\ge t_1$}.$$ 于是,对于有限时刻 $T^*=t_1+\frac{8G^{\frac{1-p^-}{4}}(t_1)} {C_1(p^-1)}$,有 $\lim\limits_{t\to T^{*-}}G(t)=+\infty$,矛盾.