本文使用Nevanlinna值分布理论的标准记号和基本结果^{[1, 2, 3]}.

设$A_v(z),\cdots,A_0(z)$ 是复平面${\Bbb C}$上一组没有公共零点的解析函数,则方程 $$\psi(z,W)=A_v(z)W^v+A_{v-1}(z)W^{v-1}+\cdots+A_1(z)W+A_0(z)=0 $$ 确定了复平面上的一个$v$值代数体函数$W(z)$. 特别地, 当$A_v(z),\cdots,A_0(z)$都为多项式时,$W(z)$为代数函数,当$v=1$时, $W(z)$为亚纯函数.

1929年,Nevanlinna证明了下述著名的五值定理.

定理A^[4] 设$f(z)$与$g(z)$为复平面上的两个非常数亚纯函数,$a_k ~(k=1,\cdots, 5)$为五个判别的复数(其中可以有一个复数为$\infty$). 如果$a_k~ (k=1, \cdots,5)$为$f(z)$与$g(z)$在复平面上的IM公共值,则$f(z)\equiv g(z)$.

同时在文献^[4]中,Nevanlinna 还提出如下问题:如果将定理A中的五个判别的复数换为五个判别的小函数, 定理A是否成立?

围绕这一问题,许多作者进行了广泛研究,相关结果可查阅文献^[5,6,7]等, 最终该问题被李玉华和乔建永^[8]彻底解决. 2001年, 仪洪勋在文献^[9]中给出了一个推论,也说明了五值定理对小函数的情况成立. 事实上,他们得到了下述定理.

定理B^{[8, 9]} 设$f(z)$与$g(z)$为复平面上的两个非常数亚纯函数,$\alpha_k (z)~(k=1,\cdots,5)$为$f(z)$和$g(z)$的小函数且互相判别 (其中可以有一个函数为$\infty$). 如果$\alpha_k (z)~(k=1,\cdots, 5)$为$f(z)$与$g(z)$在复平面上的IM公共函数,则$f(z)\equiv g(z)$.

代数体函数的唯一性最先为Valiron所研究, 在文献^[10]中他指出:如果两个$v$值代数体函数$W(z)$与$M(z)$具有公共的取 $4v+1$个值的点集,且重数相同,则$W(z)\equiv M(z)$. 在文献^[11]中,何育赞改善了上述结果,得到定理C, 将定理A推广到了代数体函数.

定理C^[11] 设$W(z)$和$M(z)$分别为$v$值与$u$值代数体函数,且$u\leq v$, $a_k~(k=1,\cdots,4v+1)$为互异的复数(其中可以有一个复数为$\infty$). 如果$\overline{E}(a_k,W)=\overline{E}(a_k,M)~(k=1,\cdots,4v+1)$, 则$W(z)\equiv M(z)$,其中$\overline{E}(a,W)$表示$W(z)=a$的值点集, 每个值点仅计一次.

自然地,我们会考虑能否将定理B也推广到代数体函数. 于是, 我们提出如下问题:

问题1 如果将定理C中的$4v+1$个判别的复数换为$4v+1$个判别的小函数, 定理C是否成立?

我们知道定理A-C的证明依赖于亚纯函数(或代数体函数)的第二基本定理, 近来文献^[12]的作者定义了对四则运算封闭的代数体函数类, 并得到关于小代数体函数的第二基本定理, 本文中我们将在此基础上研究上述问题.

设$W(z)$是由方程(1)确定的$v$值代数体函数, 我们用$S_W$表示$W(z)$的临界点集,称其补集$T_W={\Bbb C}\backslash S_W$为$W(z)$的正则点集. 由文献^{[2, 13]},当$a\in T_W$时, $W(z)$恰有$v$个不同的正则函数元素$(\omega_1(z),a),\cdots, (\omega_v(z),a)$,使得对每一个$1\leq j\leq v$, $\omega_j(z)$在$a$的某邻域$B(a,r)=\{z:|z-a|<r\}$内解析,且当$z\in B(a,r)$时,$\psi(z,\omega_j(z))=0$. 当$a\in S_W$时, $W(z)$恰有$l$个代数函数元素$(\omega_{\lambda_j}(z),a),j=1,\cdots, l$,满足方程(1),且$\sum\limits_{j=1}^l \lambda_j=v$. 若把$a$的某邻域$B(a, r)$沿一半径割开,则代数函数元素在割开的圆内分离为$\lambda_j$个单值分支.通常我们记$W(z)=\{(\omega_{a,j}(z), a): j=1,\cdots,v\}$,简记为$W(z)=\{(\omega_j(z),a)\}$.

定义1^[12] 亚纯函数元素是指一个序对$(q(z),B(a, r))$ (简记$(q(z),a)$),其中$q(z)$是去心圆盘$B_0(a, r)=\{z:0<|z-a|<r\}$内的解析函数,且$a$不是本性奇点. 若对$\forall z\in B(a,r)$有$\psi(z,q(z))=0$,则称$(q(z), a)$为代数体函数$W(z)$的亚纯函数元素.

定义2^[12] 正则函数元素$(p(z),B(b, r_b))$称为亚纯函数元素$(q(z),B(a,r_a))$的直接开拓,如果$b\in B(a, r_a)$,且当$z\in B_0(b,r_b)\bigcap B(a,r_a)$时,$p(z)\equiv q(z)$. $\forall \varepsilon\in (0,r_a)$,亚纯函数元素$(q(z),B(a, r_a))$与其在$B_0(a,\varepsilon)$内所有直接开拓得到的正则函数元素之并 称为$(q(z),B(a,r_a))$的一个邻域,记为$V_\varepsilon(q(z),a)$.

定义3^[12] 设$W(z)=\{(\omega_j(z),a)\}$为$v$值代数体函数, $h$称为$W(z)$的一个代数体映射,如果$h$满足下列条件:

(i)~ 唯一性:任一正则函数元素$(w_j(z),a)$对应唯一的亚纯函数元素$h\circ (w_j(z),a)= (h\circ w_j(z),a)$,$(h\circ w_j(z),a)$称为$( w_j(z),a)$的象元素;

(ii)~ 连续性:对任一象元素$(h\circ w_j(z),a)$,存在$\epsilon=\epsilon(h\circ w_j(z),a)>0$,使得对任一正则函数元素$(w_t(z),b)\in V_{\epsilon}(w_j(z),a)$,我们有$(h\circ w_t(z),b)\in V_{\epsilon}(h\circ w_j(z),a)$;

(iii)~ 弱有界性: 若$a\in S_W$,则$h$在$a$的附近是弱有界的.即存在整数 $p>0$及实数$r>0,M>0$,使得对$\forall b\in B_0(a,r)$和 $1\leq t\leq v$,对应的象元素$(h\circ w_t(z),b)$是正则函数元素,且 满足$|(b-a)^ph\circ w_t(b)|<M$.

引理1^[12] 设$h$为$v$值代数体函数$W(z)=\{(w_j(z),a)\}$的一个代数体映射,则$h\circ W(z)=\{(h\circ w_j(z),a)\}$也为$v$值代数体函数.

定义4^[12] 设$W(z)=\{(w_j(z),a)\}$为$v$值代数体函数,$f(z)$为亚纯函数.

(1)~ 定义$h_{-W}\circ (w_{j}(z),a)=(-w_{j}(z),a)$.由定义3知$h_{-W}$为$W(z)$的一个代数体映射,因此由引理1知$h_{-W}\circ W(z)$为$v$值代数体函数,称其为$W(z)$的负元,记为$-W(z)$, 记代数体映射 $h_{-W}$为$-h$.

(2)~ 定义$h_{1/W}\circ (w_{j}(z),a)=(\frac{1}{w_{j}(z)},a)$. 由定义3知$h_{1/W}$为$W(z)$的一个代数体映射,因此由引理1知$h_{1/W}\circ W(z)$为$v$值代数体函数,称其为$W(z)$的逆元,记为$\frac{1}{W(z)}$, 记代数体映射$h_{1/W}$为 $\frac{1}{h}$.

(3)~ 定义$h_{W^\prime}\circ (w_j(z),a)=(w^\prime_j(z),a)$. 由定义3知$h_{W^\prime}$为$W(z)$的一个代数体映射,因此由引理1知 $h_{W^\prime}\circ W(z)$为$v$值代数体函数,称其为 $W(z)$的导数, 记为$W^\prime(z)$.

(4)~ 定义$h_f\circ (w_{j}(z),a)=(f(z),a)$. 由定义3知$h_f$为$W(z)$的一个代数体映射,因此由引理1知$h_f \circ W(z)$为$v$值代数体函数,它是$v$个相同的亚纯函数$f(z)$. 特别地, 当$f(z)=c\in{\Bbb C}_\infty(={\Bbb C}\bigcup\{\infty\})$恒为常数时,$h_c \circ W(z)$为 $v$个相同的常数.

(5)~ 设$W(z)=\{(w_j(z),a)\}$为$v$值代数体函数, $Y_W$为$W(z)$的所有代数体映射组成的集合,$h_1,h_2\in Y_W$, 定义加法$(h_1+h_2)\circ W(z)=h_1\circ W(z)+h_2\circ W(z)$; 减法$(h_1-h_2)\circ W(z)=h_1\circ W(z)- h_2\circ W(z)$; 乘法$(h_1\cdot h_2)\circ W(z)=(h_1\circ W(z))\cdot(h_2\circ W(z))$; 除法$(\frac{h_1}{h_2})\circ W(z)=(h_1\circ W(z)) \cdot(\frac{1}{h_2}\circ W(z))$. 由定义3知$h_1\pm h_2,h_1\cdot h_2, \frac{h_1}{h_2}$都为$W(z)$的代数体映射.

定义5^[12] 设$W(z)=\{(w_j(z),a)\}$为$v$值代数体函数, $Y_W$为$W(z)$的所有代数体映射组成的集合,称集合$H_W=\{h\circ W(z): h\in Y_W \}$为$W(z)$的代数体函数类.

若$M(z) \in H_W$,且满足$T(r,M)=o(T(r,W))~(r\rightarrow \infty,~r\not\in E )$,其中$E$是一具有有限线测度的集合, 则称$M(z)$为$W(z)$的小代数体函数.

注1 由定义4中的(4)知$H_W$中包含了复常数和亚纯函数, 因此$W(z)$的小代数体函数也可能为复常数或小亚纯函数.

注2 设$W(z)=\{(w_j(z),a)\}$为$v$值代数体函数, $$M(z)=\{(m_j(z),a)\}\in H_W,~~G(z)=\{(g_j(z),a)\}\in H_W, $$ 则由定义5知 存在代数体映射$h_1,h_2$,使得 $$M(z)=\{(m_j(z), a)\}=\{(h_1\circ \omega_j(z),a)\},\quad G(z)=\{(g_j(z), a)\}=\{(h_2\circ \omega_j(z),a)\},$$ 从而根据定义4中的(5)定义 $$M(z)+ G(z)=\{(m_j(z)+g_j(z),a)\},\quad M(z)\cdot G(z)=\{(m_j(z)\cdot g_j(z),a)\},$$ 称它们为$M(z)$与$G(z)$的对应加法和对应乘法. 再由定义4中的(1),(2)得$$M(z)- G(z)=\{(m_j(z)-g_j(z),a)\},\quad M(z)/ G(z)=\{(m_j(z)/ g_j(z),a)\},$$ 称它们为$M(z)$与$G(z)$的对应减法和对应除法. $H_W$中任意两个代数体函数之间的四则运算规定为上述的对应运算,因此 $H_W$为一线性空间.

引理2^[2] 设$W(z)$为$v$值代数体函数, 则对$a\in{\Bbb C}$,有 $$T\Big(r,\frac{1}{W-a}\Big)=T(r,W)+O(1).$$

注4 由引理2的证明可得: 在对应运算下,上述结果也成立.

引理3^[12] 设$W(z)$为$v$值代数体函数,$M(z)\in H_W$, 则$$T(r,W+M)\leq T(r,W)+T(r,M)+\log 2,\quad T(r,W\cdot M)\leq T(r,W)+T(r,M).$$

引理4^[12] 设$W(z)$为$v$值代数体函数, $Q_k(z)\in H_W ~(k=1,\cdots,q)$为$W(z)$的$q$个互异的小代数体函数,则对$\forall \varepsilon\in (0,1)$,有 $$m(r,W)+\sum^q_{k=1}m\Big(r,\frac{1}{W(z)-Q_k}\Big)\leq(2+\varepsilon)T(r,W)+2N_x(r,W)+S(r,W)$$ 或$$(q-1-\varepsilon)T(r,W)\leq N(r,W)+\sum^q_{k=1} N\Big(r,\frac{1}{W-Q_k}\Big)+2N_x(r,W)+S(r,W)$$ 或$$(q-4v+3-\varepsilon)T(r,W)\leq N(r,W)+\sum^q_{k=1} N\Big(r,\frac{1}{W-Q_k}\Big)+S(r,W),$$ 其中$S(r,W)=O(\log (rT(r, W)))~(r\rightarrow\infty,r\not\in E)$,$E$是一具有有限线测度的集合.

下面我们将在代数体函数类$H_W$中对问题1进行研究.

设$W(z)=\{(\omega_j(z),a)\}$为$v$值代数体函数, $M(z)=\{(m_j(z),a)\}\in H_W,$ $Q(z)=\{(q_j(z),a)\}\in H_W$, 即存在代数体映射$h_1,h_2$, 使得$$h_1:(\omega_j(z),a)\longmapsto(m_j(z),a),\quad h_2: (\omega_j(z),a)\longmapsto(q_j(z),a).$$ 对$1\leq j\leq v$, 设$z^j_n~(n=1,2,\cdots)$为$\omega_j(z)-q_j(z)$的零点, 如果$z^j_n~(n=1,2,\cdots)$也是$m_j(z)-q_j(z)$的零点(不计重级), 则记为$$W(z)-Q(z)=0\Rightarrow M(z)-Q(z)=0.$$ 如果当$z^j_n~(n=1, 2,\cdots)$为$\omega_j(z)-q_j(z)$的$\tau^j_n$重零点时,$z^j_n~(n=1, 2,\cdots)$也是$m_j(z)-q_j(z)$的至少$\tau^j_n$重零点,则记为 $$W(z)-Q(z)=0\rightarrow M(z)-Q(z)=0.$$ 如果$W(z)-Q(z)=0\Leftrightarrow M(z)-Q(z)=0$, 则称$Q(z)$为$W(z)$与$M(z)$的IM公共函数. 如果$W(z)-Q(z)=0\rightleftarrows M(z)-Q(z)=0$, 则称$Q(z)$为$W(z)$与$M(z)$的CM公共函数.

定理1 设$W(z)$为$v$值代数体函数,$M(z)\in H_W,~Q_k(z)\in H_W ~(k=1,\cdots,4v+1)$为$W(z)$与$M(z)$的互相判别的小代数体函数. 若$Q_k(z)~ (k=1,\cdots,4v+1)$为$W(z)$与$M(z)$的CM公共小函数, 则$W(z)\equiv M(z)$.

证 不妨设$Q_k(z)~ (k=1,\cdots, 4v+1)$中不包含复数$\infty$,否则只需做一变换即可. 假设$W(z)\not\equiv M(z)$,由引理4,对$\forall \varepsilon\in (0, 1)$,有

定理2 设$W(z)$为$v$值代数体函数,$M(z)\in H_W,~Q_k(z)\in H_W~ (k=1,\cdots,4v+1)$为$W(z)$与$M(z)$的互相判别的小代数体函数. 若 $$W(z)-Q_k(z)=0\rightarrow M(z)-Q_k(z)=0 ~(k=1,\cdots,4v+1),$$ 且$$\mathop{\underline{\lim}}\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^{4v+1}N(r, \frac{1}{W-Q_k})}{\sum\limits_{k=1}^{4v+1}N(r, \frac{1}{M-Q_k})}>\frac{1}{2},$$ 则$W(z)\equiv M(z)$.

证 假设$W(z)\not\equiv M(z)$,记$n^j_0(r, Q)$为$\omega_j(z)-q_j(z)$与$m_j(z)-q_j(z)$在$|z|\leq r$内的公共零点个数,重级按小者计. 令$n_0(r, Q)=\sum\limits_{j=1}^vn^j_0(r,Q)$,$N_0(r,Q)$表示$n_0(r, Q)$相应的计数函数,即 $$N_0(r,Q)=\frac{1}{v}\int_0^r \frac{n_0(t, Q)-n_0(0,Q)}{t}{\rm d}t+\frac{1}{v}n_0(0,Q)\log r.$$ 由(3.1),(3.2)式,引理2和引理3得

另一方面,由于 $$\sum\limits_{k=1}^{4v+1}n_0(r, Q_k)\leq n\Big(r,\frac{1}{W-M}\Big).$$ 所以由引理2和引理3得 \begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4v+1}N_0(r,Q_k)&\leq& N\Big(r, \frac{1}{W-M}\Big)\\ &\leq &T(r,W-M)+O(1)\\ &\leq & T(r,W)+T(r, M)+O(1). \end{eqnarray*} 从而我们有 $$\mathop{\overline{\lim}}\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^{4v+1}N_0(r,Q_k)}{T(r,W)+T(r, M)}\leq 1,$$ 这与(3.4)式矛盾. 所以$W(z)\equiv M(z)$.

定理3 设$W(z)$为$v$值代数体函数,$M(z)\in H_W$,$Q(z)\in H_W $为$W(z)$与$M(z)$的小代数体函数. 若$$\sum\limits_Q \mathop{\underline{\lim}}\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{2n_0(r, Q)}{n(r,\frac{1}{W-Q})+n(r,\frac{1}{M-Q})}>4v,$$ 则$W(z)\equiv M(z)$.

证 记$$N_{12}(r,Q)=N\Big(r, \frac{1}{W-Q}\Big)+N\Big(r,\frac{1}{M-Q}\Big)-2N_0(r,Q),$$ $$\lambda(Q)=1-\mathop{\overline{\lim}}\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{N_{12}(r,Q)}{T(r,W)+T(r,M)}.$$ 假设$W(z)\not\equiv M(z)$,由引理4,对$\forall \varepsilon\in (0, 1)$及$W(z)$与$M(z)$的$q$个判别的小代数体函数$Q_k~(k=1,\cdots,q)$, 有

另一方面,由引理2和引理3得