我们取 $q={\rm e}^{\pi{\rm i}\tau}$,$\mbox{Im} (\tau)>0$,$z,\tau \in {\Bbb C}$.

经典的 Jacobi theta 函数 $\vartheta_i\left(z|\tau\right), i=1,2,3,4,$ 定义如下 (参见文献 ^{[3, 14, 26]}): \begin{equation}\label{Theta1} \vartheta_1\left(z|\tau\right)=-{\rm i}q^{\frac14}\sum_{n=-\infty}^\infty\left(-1\right)^{n}q^{n\left(n+1\right)}{\rm e}^{\left(2n+1\right){\rm i}z},(1.1) \end{equation} \begin{equation} \label{Theta2} \vartheta_2\left(z|\tau\right)=q^{\frac14}\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n\left(n+1\right)}{\rm e}^{\left(2n+1\right){\rm i}z},(1.2) \end{equation} \begin{equation} \label{Theta3} \vartheta_3\left(z|\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^{2}}{\rm e}^{2n{\rm i}z},(1.3) \end{equation} \begin{equation} \label{Theta4} \vartheta_4\left(z|\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty \left(-1\right)^{n}q^{n^{2}}{\rm e}^{2n{\rm i}z}.(1.4) \end{equation}

在著名的《Ramanujan 丢失的笔记本》中第 54 页,印度天才数学家 Ramanujan 陈述了下列事实 (参见文献^[22],[p54,Entry 9.1.1],^[2],[p337]):

定理1.1 (Ramanujan 循环和) 若 $n$ 是任意的正整数且 $|ab| < 1$,我们有 \begin{equation}\label{Luo117} \sum_{-n/2<r \leq n/2} \bigg(\sum_{k=-\infty \atop k \equiv r ({\rm mod} \ n)} ^{\infty} a^{{k(k+1)}/{(2n)}}b^{{k(k-1)}/{(2n)}}\bigg)^n =f(a,b)F_n(ab),(1.5) \end{equation} 这里 \begin{equation}\label{Luo138} F_n(q):=1+2nq^{(n-1)/2}+\cdots,\qquad n \geq 3.(1.6) \end{equation}

他仅仅写出了上述公式但没有给出证明. Son 首次在他的论文中称公式 (1.5) 为 Ramanujan 循环和 (参见文献[2,p338]).

2006年,Chan,Liu 和 Ng 证明了 定理1.1 和 下边的 定理1.2 和 定理1.3 是等价的 (参见文献^[13]).

定理1.2 (Ramanujan 循环和) 若 $n$ 是任意的正整数,则存在 $F_n(q)$ 使 \begin{equation}\label{Luo122} \sum_{k=0}^{n-1}q^{k^2}{\rm e}^{2k {\rm i}z}\vartheta^n_3(z+k\pi\tau|n\tau)= \vartheta_3(z|\tau)F_n(\tau).(1.7) \end{equation}

定理1.3 (Ramanujan 循环和) 若 $n$ 是任意的正整数,则存在 $G_n(\tau)$ 使 \begin{equation}\label{Luo124} \sum_{k=0}^{n-1}\vartheta^n_3\left(z+\frac{k\pi}{n}|\tau\right)=G_n(\tau)\vartheta_3(nz|n\tau).(1.8) \end{equation}

在《Ramanujan 丢失的笔记本》中 Ramanujan 循环和的研究是一个 有趣的话题. 关于 Ramanujan 循环和及其相关问题的研究吸引了国 内外众多的学者,其中不乏一些著名的数学家,例如美国的科学院院士 Andrews 和 Berndt 教授.这个研究主题的更多文献, 可参见文献^{[1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30]}.

最近,Chan 和 Liu 使用椭圆函数的理论和方法, 将 Ramanujan 循环和推广到下列形式:

定理1.4 (参见文献^[12],[p1191,定理 4]) 若 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 是 $n$ 个任意复数且 $y_1+y_2+ \cdots+ y_n=0$,则 \begin{equation} \label{Luo131} \sum_{k=0}^{mn-1}\prod_{j=1}^{n} \vartheta_3\left(z+y_j+{k\pi\over mn}|\tau\right)= G_{m,n}(y_1,y_2,\cdots,y_n|\tau)\vartheta_3(mnz|m^2n \tau),(1.9) \end{equation} 这里 \begin{equation}\label{Luo132} G_{m,n}(y_1,y_2,\cdots,y_n|\tau) =mn \sum_{{r_1,\cdots,r_n=-\infty\atop r_1+\cdots+r_n=0}}^\infty q^{r_1^2+r_2^2+\cdots+r_n^2}{\rm e}^{2{\rm i}(r_1y_1+r_2y_2+\cdots+r_ny_n)}.(1.10) \end{equation}

本文进一步推广 Chan 和 Liu 的结果 定理1.4 并给出了一个基本证明方法. 我们的主要结果是下列定理.

定理1.5} 若 $m,n$ 是任意的正整数,$p$ 是任意的整数; $y_{1},y_{2}, \cdots,y_{n}$ 是任意复数,则

$\bullet$~ 当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{p \pi}{m}$ 时,我们有 \begin{eqnarray}\label{Luo601} \sum_{k=0}^{mn-1}\prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)=R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p|\tau \right)\vartheta_3\left(mnz|m^2n \tau \right).(1.11) \end{eqnarray}

$\bullet$~

当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{(2p+1) \pi}{2m}$ 时,我们有 \begin{eqnarray}\label{Luo603} \sum_{k=0}^{mn-1}\prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)=R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p|\tau \right)\vartheta_4\left(mnz|m^2n \tau \right),(1.12) \end{eqnarray} 这里 \begin{equation}\label{Luo602} R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p|\tau \right)=mn \sum_{{ r_{1}+\cdots+r_{n}=0\atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty} q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)},(1.13) \end{equation} \begin{equation} \label{Luo604} R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p|\tau \right)=mn \sum_{{r_{1}+\cdots+r_{n}=0\atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}.(1.14) \end{equation}

注1.6 如果在 定理1.5 的 (1.11) 和 (1.13)式中取 $p=0$, 则我们直接得到 Chan 和 Liu 的结果 (定理1.4).

注1.7 尽管公式 (1.11) 和 (1.13) 的表示形式是完全一样的, 但由于复数 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ 的约束条件不同, 实质上它们是不同的. 为了叙述的方便,我们仍然使用两个表达 式来分别表示它们.

$\bullet$~ 当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{p \pi}{m}$ 时. 由 式(1.3),我们有 \begin{eqnarray}\label{Luo909} && \prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn} \left|\tau \right.\right) \nonumber\\ &=&\sum_{r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}^{\infty} q^{r_{1}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}} {\rm e}^{2(r_{1}+\cdots+r_{n}){\rm i}z} {\rm e}^{2{\rm i} (r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n})}{\rm e}^{\frac{2k\pi{\rm i}}{mn}(r_{1}+\cdots+r_{n})},(2.1) \end{eqnarray} \begin{equation} \label{Luo910} \vartheta_3\left(mnz|m^{2}n \tau \right)=\sum_{r=-\infty}^\infty q^{m^{2}nr^2}{\rm e}^{2{\rm i}mnrz}.(2.2) \end{equation} 将 式(2.1)和 (2.2) 代入 (1.11)式,我们得到 \begin{eqnarray}\label{Luo911} &&\sum_{k=0}^{mn-1}\sum_{r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}^{\infty}q^{r_{1}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}}{\rm e}^{2(r_{1}+\cdots+r_{n}){\rm i}z}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}{\rm e}^{\frac{2k\pi{\rm i}}{mn}(r_{1}+\cdots+r_{n})} \nonumber\\ &=& R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,p|\tau \right) \sum_{r=-\infty}^{\infty}q^{m^2nr^{2}}{\rm e}^{2mnr{\rm i}z}.(2.3) \end{eqnarray}

我们使用 式(2.3) 定义 $R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,p;r|\tau \right)$ 如下 \begin{eqnarray}\label{Luo912} &&\sum_{k=0}^{mn-1}\sum_{r_{1},\cdots,r_{n} =-\infty}^{\infty}q^{r_{1}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}} {\rm e}^{2(r_{1}+\cdots+r_{n}){\rm i}z}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots +r_{n}y_{n}\right)}{\rm e}^{\frac{2k\pi{\rm i}}{mn}(r_{1}+\cdots+r_{n})} \nonumber\\ &=&\sum_{r=-\infty}^{\infty}q^{m^2nr^{2}}{\rm e}^{2mnr{\rm i}z}R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,p;r|\tau \right).(2.4) \end{eqnarray} 令 $r_1+\cdots+ r_n=N$ 并比较等式 (2.4) 两边 ${\rm e}^{2{\rm i}zN}$ 的系数,我们得到 \begin{equation}\label{Luo913} \sum_{{ r_{1}+\cdots+r_{n}=N\atop r_{1},\cdots,r_{n} =-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}} {\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)} \sum_{k=0}^{mn-1}{\rm e}^{\frac{2k \pi{\rm i}N}{mn}} = q^{\frac{N^2}{n}}R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2}, \cdots,y_{n};m,n,p;\frac{N}{mn}|\tau \right).(2.5) \end{equation}

下边我们证明 $R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;\frac{N}{mn}|\tau \right)$ 与 $N$ 没有关系,即证明 $$R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;\frac{N}{mn}|\tau \right)=R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p|\tau \right).$$ 我们容易看到 \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{mn-1}{\rm e}^{\frac{2k \pi{\rm i}N}{mn}}=\left \{ \begin{array}{ll} mn,& \mbox{当} \ N \equiv 0 \ {\rm mod} \ mn \ \mbox{时}, \\ 0,& \mbox{其它}. \end{array}\right. \end{eqnarray*}

由此可知,当 $N$ 不是 $mn$ 的整数倍时,我们有 $$R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p; \frac{N}{mn}|\tau \right)=R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2}, \cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p|\tau \right)=0.$$

当 $N$ 是 $mn$ 的整数倍时,令$N={\ell}mn,\ {\ell} \in {\Bbb Z}$ 并注意到 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{p \pi}{m}$,由 (2.5)式得 \begin{eqnarray*} && R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;\frac{N}{mn}|\tau \right) \\ &=&mn \sum_{{ r_{1}+\cdots+r_{n}=N \atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}-\frac{N^2}{n}}{\rm e}^{2{\rm i} \left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}\\ & =&mn \sum_{{ r_{1}+\cdots+r_{n}={\ell}mn \atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}-{\ell}^2m^2n}{\rm e}^{2{\rm i} \left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}\\ & =&mn \sum_{{ \mu_{1}+\cdots+\mu_{n}=0 \atop \mu_{1},\cdots,\mu_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{(\mu_1+{\ell}m)^{2}+\cdots+(\mu_n+{\ell}m)^{2}-{\ell}^2m^2n}{\rm e}^{2{\rm i} \left((\mu_1+{\ell}m)y_{1}+\cdots+(\mu_n+{\ell}m)y_{n}\right)}\\ & =&mn \sum_{{ \mu_{1}+\cdots+\mu_{n}=0 \atop \mu_{1},\cdots,\mu_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{\mu_1^2+\cdots+\mu_n^2} {\rm e}^{2{\rm i}(\mu_1y_{1}+\cdots+ \mu_ny_{n})}. \end{eqnarray*} 于是,我们有 $$R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;\frac{N}{mn}|\tau \right)=R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p|\tau \right).$$ 即我们证明了 (1.11) 和 (1.13)式.

$\bullet$~ 当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{(2p+1) \pi}{2m}$ 时. 由 (1.4)式,我们有 \begin{equation}\label{Luo914} \vartheta_4\left(mnz|m^{2}n \tau \right)=\sum_{r=-\infty}^\infty(-1)^r q^{m^{2}nr^2}{\rm e}^{2{\rm i}mnrz}.(2.6) \end{equation} 我们使用等式 (1.12) 来定义 $R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2}, \cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;r|\tau \right)$ 如下 \begin{eqnarray}\label{Luo915} &&\sum_{k=0}^{mn-1}\prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber\\ &=&\sum_{r=-\infty}^\infty (-1)^rq^{m^{2}nr^2}{\rm e}^{2{\rm i}mnrz}R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;r|\tau \right).(2.7) \end{eqnarray}

将 式(2.1)和 (2.6) 代入 (2.7)式,我们得到 \begin{eqnarray}\label{Luo916} &&\sum_{k=0}^{mn-1}\sum_{r_{1},\cdots,r_{n}= -\infty}^{\infty}q^{r_{1}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}}{\rm e}^{2(r_{1} +\cdots+r_{n}){\rm i}z}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)} {\rm e}^{\frac{2k\pi{\rm i}}{mn}(r_{1}+\cdots+r_{n})}\nonumber\\ &=&\sum_{r=-\infty}^\infty (-1)^rq^{m^{2}nr^2} {\rm e}^{2{\rm i}mnrz}R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;r|\tau \right).(2.8) \end{eqnarray} 令 $r_1+\cdots+ r_n=M$ 并比较等式 (2.8) 两边 ${\rm e}^{2{\rm i}zM}$ 的系数,我们得到 \begin{eqnarray}\label{Luo917} &&\sum_{{ r_{1}+\cdots+r_{n}=M\atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty} q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots +r_{n}y_{n}\right)} \sum_{k=0}^{mn-1}{\rm e}^{\frac{2k \pi{\rm i}N}{mn}} \nonumber\\ &=&(-1)^{\frac{M}{mn}} q^{\frac{M^2}{n}}R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;\frac{M}{mn}|\tau \right).(2.9) \end{eqnarray} 我们容易看到 \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{mn-1}{\rm e}^{\frac{2k \pi{\rm i}M}{mn}}=\left \{ \begin{array}{ll} mn,& \mbox{当} \ M \equiv 0 \ {\rm mod} \ mn \ \mbox{时}, \\ 0,& \mbox{其它}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} 由此可知,当 $M$ 不是 $mn$ 的整数倍时,我们有 $$R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p; \frac{M}{mn}|\tau \right)=R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2}, \cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p|\tau \right)=0.$$

当 $M$ 是 $mn$ 的整数倍时,令$M=lmn,\ l \in {\Bbb Z}$ 并注意到 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{(2p+1) \pi}{2m}$,由 式(2.9) 得 \begin{eqnarray*} && R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p;\frac{M}{mn}|\tau \right) \\ &=&(-1)^l mn \sum_{{ r_{1}+\cdots+r_{n}=lmn \atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}-l^2m^2n}{\rm e}^{2{\rm i} \left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}\\ &=&(-1)^l mn \sum_{{ \nu_{1}+\cdots+\nu_{n}=0 \atop \nu_{1},\cdots,\nu_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{(\nu_1+lm)^{2}+\cdots+(\nu_n+lm)^{2}-l^2m^2n}{\rm e}^{2{\rm i} \left((\nu_1+lm)y_{1}+\cdots+(\nu_n+lm)y_{n}\right)}\\ &=&mn \sum_{{ \nu_{1}+\cdots+\nu_{n}=0 \atop \nu_{1},\cdots,\nu_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{\nu_1^2+\cdots+\nu_n^2} {\rm e}^{2{\rm i}(\nu_1y_{1}+\cdots+ \nu_ny_{n})}. \end{eqnarray*} 于是,我们有 $$R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,a,b,p; \frac{M}{mn}|\tau \right)=R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2}, \cdots,y_{n} ;m,n,a,b,p|\tau \right).$$ 即我们证明了 (1.12) 和 (1.14)式.

定理3.1 (定理1.5的交错和形式)%\label{Luo628}

若 $m,n$ 是任意的正整数,$p$ 是任意的整数; $y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ 是任意复数,则

$\bullet$~ 当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{p \pi}{m} $ 时,我们有 \begin{eqnarray}\label{Luo629} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+p} \prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber \\ &=& R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p;\tau \right) \vartheta_2\left(mnz|m^2n \tau \right),\ m \ \mbox{ 是偶数},(3.1) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \label{Luo629a} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+p}\prod_{j=1}^{n}\vartheta_2\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber \\ &=& R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p;\tau \right) \ \vartheta_2\left(mnz|m^2n \tau \right),\ m \ \mbox{ 是奇数}.(3.2) \end{eqnarray}

$\bullet$~ 当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{(2p+1) \pi}{2m}$ 时, 我们有 \begin{eqnarray}\label{Luo630} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+p+1} \prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber \\ &=& R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p;\tau \right) \vartheta_1\left(mnz|m^2n \tau \right), m \ \mbox{ 是偶数},(3.3) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \label{Luo630a} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+p+1}\prod_{j=1}^{n}\vartheta_2\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber \\ &=& R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p;\tau \right) \vartheta_1\left(mnz|m^2n \tau \right), m \ \mbox{ 是奇数},(3.4) \end{eqnarray} 这里 \begin{eqnarray}\label{Luo631} R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p;\tau \right) &=& R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p;\tau \right) \nonumber \\ &= & mn \sum_{{r_{1}+\cdots+r_{n}=0\atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}.(3.5) \end{eqnarray}

证 由 (1.3) 和 (1.4)式,我们容易得到 \begin{equation}\label{Theta29} \vartheta_3\left(z+\frac{n \pi \tau}{2}|\tau\right)=\left \{ \begin{array}{ll} q^{-\frac{n^2}{4}}{\rm e}^{-n{\rm i}z}\vartheta_3\left(z|\tau\right),& n \ \mbox{ 是偶数},\\ q^{-\frac{n^2}{4}}{\rm e}^{-n{\rm i}z}\vartheta_2\left(z|\tau\right),& n \ \mbox{ 是奇数}.(3.6) \end{array}\right. \end{equation} \begin{equation} \label{Theta15} \vartheta_3\left(z+{\pi\over2}|\tau \right)=\vartheta_4(z|\tau),\qquad \vartheta_3\left(z+{\pi\tau\over2}|\tau\right)=q^{-{1\over4}}{\rm e}^{-{\rm i}z}\vartheta_2\left(z|\tau\right),(3.7) \end{equation} \begin{equation} \label{Theta16} \vartheta_4\left(z+{\pi\over2}|\tau \right)=\vartheta_3(z|\tau),\qquad \vartheta_4\left(z+{\pi\tau\over2}|\tau\right)= {\rm i}q^{-{1\over4}}{\rm e}^{-{\rm i}z}\vartheta_1\left(z|\tau\right).(3.8) \end{equation} 在 定理1.5 中让 $z \longmapsto z+\frac{m\pi\tau}{2}$ 并使用 (3.6)式,经过计算我们得到 \begin{eqnarray}\label{Luo632} &&\prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}+\frac{m\pi\tau}{2}\left|\tau \right.\right) \nonumber \\ &=&\left \{ \begin{array}{ll} \displaystyle (-1)^k q^{-\frac{m^2n}{4}}{\rm e}^{-mn{\rm i}z}{\rm e}^{-m{\rm i}(y_1+\cdots+y_n)}\prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right),& \!\! m \ \mbox{是偶数},\\ [4mm] \displaystyle (-1)^k q^{-\frac{m^2n}{4}}{\rm e}^{-mn{\rm i}z}{\rm e}^{-m{\rm i}(y_1+\cdots+y_n)}\prod_{j=1}^{n}\vartheta_2\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right),& \!\! m \ \mbox{是奇数}.(3.9) \end{array}\right. \end{eqnarray} 由 (3.7) 和 (3.8)式,我们有 \begin{equation}\label{Luo633} \vartheta_3\left(mnz+\frac{m^2n \pi \tau}{2}\left|m^2n \tau \right.\right) =q^{-\frac{m^2n}{4}}{\rm e}^{-mn{\rm i}z}\vartheta_2\left(mnz \left|m^2n \tau \right.\right),(3.10) \end{equation} \begin{equation} \label{Luo634} \vartheta_4\left(mnz+\frac{m^2n \pi \tau}{2}\left|m^2n \tau \right.\right) ={\rm i}q^{-\frac{m^2n}{4}}{\rm e}^{-mn{\rm i}z}\vartheta_1\left(mnz \left|m^2n \tau \right.\right).(3.11) \end{equation}

代替 式(3.9) 和 (3.10) 到 (1.11) 式 中并使用 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{p \pi}{m}$, 我们得到 (3.1) 和 (3.2)式.

代替式 (3.9) 和 (3.11) 到 (1.12) 式 中并使用$y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{(2p+1) \pi}{2m}$, 我们得到 (3.3) 和 (3.4)式.

推论3.2 %\label{Luo635} 若 $m,n$ 是任意的正整数; $y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ 是任意复数,则

$\bullet$~ 当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=0$ 时,我们有 \begin{eqnarray}\label{Luo636} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k} \prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right) \nonumber\\ &=& R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n;\tau \right) \vartheta_2\left(mnz|m^2n \tau \right),\ m \ \mbox{ 是偶数},(3.12) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \label{Luo636a} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k} \prod_{j=1}^{n}\vartheta_2\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber\\ &=&R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n;\tau \right)\ \vartheta_2\left(mnz|m^2n \tau \right),\ m \ \mbox{ 是奇数},(3.13) \end{eqnarray}

$\bullet$~ 当 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}=\frac{\pi}{2m}$ 时,我们有 \begin{eqnarray}\label{Luo637} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+1} \prod_{j=1}^{n}\vartheta_3\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber\\ &=& R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n;\tau \right) \vartheta_1\left(mnz|m^2n \tau \right),\ m \ \mbox{ 是偶数},(3.14) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \label{Luo638} && \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+1} \prod_{j=1}^{n}\vartheta_2\left(z+y_{j}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)\nonumber\\ &=&R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n;\tau \right) \vartheta_1\left(mnz|m^2n \tau \right),\ m \ \mbox{ 是奇数},(3.15) \end{eqnarray} 这里 \begin{eqnarray}\label{Luo639} R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n;\tau \right) &=& R_{3,3}^{(2)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n;\tau \right) \nonumber \\ &= & mn \sum_{{r_{1}+\cdots+r_{n}=0\atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}.(3.16) \end{eqnarray}

证 在 定理3.1 中取 $p=0$,我们得到 推论3.2.

注3.3 如果我们在公式 (3.16) 中作变换 $r_j \longmapsto r_j-\frac{m}{2},j=1,2,\cdots,n$,我们容易得到 \begin{equation}\label{pp3} R_{3,3}^{(1)}\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};m,n,p;\tau \right) = mnq^{-\frac{m^2n}{4}} \sum_{{r_{1}+\cdots+r_{n}=\frac{mn}{2}\atop r_{1},\cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}{\rm e}^{2{\rm i}\left(r_{1}y_{1}+\cdots+r_{n}y_{n}\right)}.(3.17) \end{equation} 而公式 (3.12) 和 (3.17) 正是朱军明的主要结果 (参见文献 ^[29],[p120,定理 1.7]).

推论3.4 若 $m,n$ 是任意正整数,则 \begin{equation}\label{Luo641} \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k}\vartheta_3^{n}\left(z+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)= R_{3,3}^{(1)}\left(m,n;\tau \right) \vartheta_2\left(mnz|m^2n \tau \right), \mbox{$m$ 是偶数},(3.18) \end{equation} \begin{equation} \label{Luo642} \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k} \vartheta_2^{n}\left(z+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)= R_{3,3}^{(1)}\left(m,n;\tau \right) \vartheta_2\left(mnz|m^2n \tau \right), \mbox{$m$ 是奇数},(3.19) \end{equation} \begin{equation} \label{Luo643} \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+1} \vartheta_3^{n}\left(z+\frac{\pi}{2mn}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)= R_{3,3}^{(2)}\left(m,n;\tau \right) \vartheta_1\left(mnz|m^2n \tau \right), \mbox{$m$ 是偶数},(3.20) \end{equation} \begin{equation} \label{Luo644} \sum_{k=0}^{mn-1}(-1)^{k+1} \vartheta_2^{n}\left(z+\frac{\pi}{2mn}+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)=R_{3,3}^{(2)}\left(m,n;\tau \right) \vartheta_1\left(mnz|m^2n \tau \right), \mbox{$m$ 是奇数},(3.21) \end{equation} 这里 \begin{equation}\label{Luo645} R_{3,3}^{(1)}\left(m,n;\tau \right)=R_{3,3}^{(2)}\left(m,n;\tau \right) = mn \sum_{{r_{1}+\cdots+r_{n}=0\atop r_{1}, \cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}.(3.22) \end{equation}

证 在 (3.12) 和 (3.13)式 中取 $y_{1}=y_{2}= \cdots=y_{n}=0$, 我们得到 (3.18) 和 (3.19)式. 在 (3.14) 和 (3.15) 式中,取 $y_{1}=y_{2}= \cdots=y_{n}=\frac{\pi}{2mn}$, 我们得到 (3.20) 和 (3.21)式.

注3.5 在 (3.19) 和 (3.21)式 中取 $n=1$ 并注意 $$R_{3,3}^{(1)}\left(m,1;\tau \right)=R_{3,3}^{(2)}\left(m,1;\tau \right)=m,$$ 我们有 \begin{equation}\label{Luo642x} \sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k} \vartheta_2\left(z+\frac{k \pi }{mn}\left|\tau \right.\right)=m \vartheta_2\left(mz|m^2 \tau \right),\qquad m \ \mbox{是奇数},(3.23) \end{equation} \begin{equation} \label{Luo644x} \sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k+1} \vartheta_2\left(z+\frac{\pi}{2m} +\frac{k \pi}{m}\left|\tau \right.\right)= m \vartheta_1 \left(mz|m^2 \tau \right),\qquad m \ \mbox{是奇数}.(3.24) \end{equation} 这正是 $\vartheta_2(z|\tau)$ 的加法分解.

注3.6 公式 (3.18) 和 (3.20) 是 Boon 结果的一个推广. 如果 在 (3.18) 和 (3.20) 式中分别取 $n=1$ 并注意 $R_{3,3}^{(1)}\left(m,1;\tau \right)=m$,我们有 \begin{equation}\label{Luo671} \sum_{k=0}^{m-1}(-1)^k \vartheta_3 \left(z+\frac{k \pi }{m}\left|\tau \right.\right)= m \vartheta_2\left(mz|m^2 \tau \right),\qquad \mbox{$m$ 是偶数},(3.25) \end{equation} \begin{equation} \label{Luo672} \sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k+1} \vartheta_3\left(z+\frac{\pi}{2m}+\frac{k \pi }{m}\left|\tau \right.\right)= m \vartheta_1\left(mz|m^2 \tau \right),\qquad \mbox{$m$ 是偶数}.(3.26) \end{equation} 公式 (3.25) 和 (3.26) 正是 Boon 等人的主要结果 (参见文献[6,p3440,(8)]). 注意 Boon 等人的公式有一个印刷错误, 在公式 (3.26) 中我们已经作了修正.

注3.7 如果 在 (3.19)式 中取 $m=1$,让 $z \longmapsto \frac{\pi}{2}$并使用 \begin{equation}\label{Theta24} \vartheta_2\left(z+\frac{n \pi}{2}|\tau\right)=\left \{ \begin{array}{ll} {\rm i}^n \vartheta_2\left(z|\tau\right),& n \ \mbox{是偶数},\\ -{\rm i}^{n-1} \vartheta_1\left(z|\tau\right),& n \ \mbox{是奇数}.(3.27) \end{array}\right. \end{equation} 我们有 \begin{equation}\label{Luo646} \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \vartheta_1^{n}\left(z+\frac{k \pi }{n}\left|\tau \right.\right)=\left \{ \begin{array}{ll} {\rm i}^n G \left(n;\tau \right)\vartheta_2\left(nz|n \tau \right),& n \ \mbox{是偶数},\\ {\rm i}^{n-1} G\left(n;\tau \right)\vartheta_1\left(nz|n\tau \right),& n \ \mbox{是奇数}, \end{array}\right.(3.28) \end{equation} 这里 $$G \left(n;\tau \right)=n \sum_{{r_{1}+\cdots+r_{n}=0\atop r_{1}, \cdots,r_{n}=-\infty}}^{\infty}q^{r^{2}_{1}+\cdots+r^{2}_{n}}.$$ 这正是 Chan 等人结果的一个推广 (参见文献 ^[13],[p634,定理 4.2]).