数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (2): 256-263   PDF (271 KB)    
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赵利娟
涉及例外函数的正规定则
赵利娟    
江苏省南京铁道职业技术学院社科部 南京 210031
摘要:讨论了一个涉及例外函数的亚纯函数正规定则, 一定程度上推广和改进了方明亮[2]等人的相关结果.
关键词亚纯函数     正规族     例外函数    
Normal Families of Meromorphic Functions and Multiple Values
Zhao Lijuan    
Department of Social Science Teaching, Nanjing Institute of Railway Technology, Nanjing 210031
Abstract: In this paper, we discuss the normal families of meromorphic functions related to the exceptional functions, which generalize and improvement the related results due to Fang[2] in some extent.
Key words: Meromorphic functions     Normal family     Exceptional functions    
1 引言与主要结果

本文将使用值分布理论中一些常用记号和基本定义, 具体可见文献[4, 10, 14].

1979 年,顾永兴[3] 证明了下述结果.

定理AF 是区域 DC 内的亚纯函数族,k 为正整数. 若对每一个 fF, f0f(k)1,则 FD 内正规.

到目前为止,学者们获得了许多涉及例外函数的正规定则(参见文献 [1, 2, 7, 9, 11, 12] 等等).

定理 A 的全纯函数族情形是 Miranda[6] 证明的. 杨乐-张广厚[15]改进了Miranda 的结果, 允许 ff(k)1 有零点但零点重级给予一定的限制,得到

定理BF 是区域 DC 内的全纯函数族,m,n,k 是正整数. 若对每一个 fF,f 的零点重级至少为 m,f(k)1 的零点重级至少为 n 满足 k+1m+1n<1,则 FD 内正规.\par 关于亚纯函数族情形,1994 年,方明亮[2]证明了下面的结论.

定理CF 是区域 DC 上的亚纯函数族,k 为正整数. 若对每一个 fF,f0f(k)(z)1 的零点重级至少为 k+5+[2/k],则 FD 内正规.

最近,赵利娟和武想中[16]证明了下面的结论.

定理DF 是区域 DC 上的全纯函数族,m,n,k,p 是正整数. 设 ψ (0)D 上的解析函数且 ψ 的零点重级至多为 p. 若对每一个 fF,f 的零点重级至少为 m,f(k)ψ(z) 的零点重级至少为 n 满足 k+p+1m+p+1n<1, 且 ψ(z)f(z) 没有公共的零点,则 FD 内正规.

自然地提出这样一个问题: 定理C中的常数``1"能否换成一 个不恒等于零的解析函数``ψ"? 本文中, 我们在某种意义上给出了部分的回答,证明了

定理1.1F 是区域 DC 内的亚纯函数族,满足族中每个函数至少有一个极点,k,p 是正整数. 设 ψ (0)D 上的解析函数且 ψ 的零点重级至多为 p. 若对每一个 fF,f0 且极点重级至少为 p+2,f(k)(z)ψ(z) 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1,则 FD 内正规.

事实上,我们证明了更一般的结论,如下

定理1.2F 是区域 DC 上的亚纯函数族, 满足族中每个函数至少有一个极点,k,p 是正整数. 设 ψ (0),a0, a1, , ak1D 上的解析函数且 ψ 的零点重级至多为 p. 若对每一个 fF,f0 且极点重级至少为 p+2, f(k)(z)+ak1(z)f(k1)(z)++a1(z)f(z)+a0(z)f(z)ψ(z) 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1,则 FD 内正规.

注1.1 关于全纯函数族,徐焱和常建明[13] 有如下结论: 设 F 是区域 DC 上的全纯函数族, k 为正整数. 设 ψ (0)D 上的解析函数. 若对每一个 fF,f0f(k)ψ(z) 的零点重级至少为 2, 则 FD 内正规.

2 引理

为了证明我们的结论,需要下面两个引理.

引理2.1[8] (Pang-Zalcman 引理) 设 k 是一个正整数,F 是区域 D 上的亚纯函数族, 并且对每一个 fF,它的零点重级至少是 k,\ 且存在 A1 满足: 当 f(z)=0|f(k)(z)|A. 若 Fz0D 处不正规,则对每个 0αk,存在点列 znD,znz0 和正数列 ρn0 以及函数列 fnF 满足 gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)ραng(ζ)

按球面距离内闭一致收敛,其中 g 是复平面 C 上非常数的亚纯函数,它的零点重级至少是 k,满足 g#(ζ)g#(0)=kA+1,并且 g 的级不超过 2.

引理2.2F 区域 DC 上的亚纯函数族,k 是一个正整数. 设 b(z)(0),a0,a1, , ak1 是区域 D 上的解析函数. 若对任意的 fF 满足 f0,f(z) 只有重级极点且 f(k)(z)+ak1(z)f(k1)(z)++a1(z)f(z)+a0(z)f(z)b(z) 的零点重级至少为 k+3,则 FD 内正规.

不失一般性,设 D=Δ={z:|z|<1}. 假设 Fz0D 处不正规. 由Zalcman 引理知,存在点列 znz0, 正数列 ρn0 以及函数列 fnF 使得 gn(ξ)=fn(zn+ρnξ)ρkng(ξ)

在复平面 C 上按球面距离内闭一致收敛,其中 g(ξ) 是一个非常数的亚纯函数,由Hurwitz 定理知 g(ξ)0g(ξ) 的极点重级至少为2. 另一方面,我们有 g(k)n(ξ)+k1i=0ρkinai(zn+ρnξ)g(i)n(ξ)b(zn+ρnξ)=f(k)n(zn+ρnξ)+k1i=0ai(zn+ρnξ)f(i)n(zn+ρnξ)b(zn+ρnξ).
注意到 ai(zn+ρnξ)g(i)n(ξ)C 上局部一致有界(除去 g(ξ)的极点),因为 ai(zn+ρnξ)g(i)n(ξ)ai(z0)g(i)(ξ)C 的每一个紧子集(除去 g(ξ)的极点)上一致收敛. 于是我们有 g(k)n(ξ)+k1i=0ρkinai(zn+ρnξ)g(i)n(ξ)b(zn+ρnξ)g(k)(ξ)b(z0).
因为 f(k)n(zn+ρnξ)+ak1(zn+ρnξ)f(k1)n(zn+ρnξ)++a1(zn+ρnξ)fn(zn+ρnξ)+a0(zn+ρnξ)fn(zn+ρnξ)b(zn+ρnξ) 的零点重级至少为 k+3,由 (2.1) 式以及Hurwitz 定理知 g(k)(ξ)b(z0) 的零点重级也至少为 k+3. 由Milloux 不等式和Nevanlinna 第一基本定理,我们有 T(r,g)¯N(r,g)+N(r,1g)+N(r,1g(k)b(z0))N(r,1g(k+1))+S(r,g)¯N(r,g)+¯N(r,1g(k)b(z0))+S(r,g)¯N(r,g)+1k+3N(r,1g(k)b(z0))+S(r,g)¯N(r,g)+1k+3(T(r,g)+k¯N(r,g))+S(r,g)(1+kk+3)¯N(r,g)+1k+3T(r,g)+S(r,g)2k+32(k+3)N(r,g)+1k+3T(r,g)+S(r,g)2k+32(k+3)T(r,g)+1k+3T(r,g)+S(r,g)2k+52k+6T(r,g)+S(r,g).
这与 gC 上的非常数的亚纯函数矛盾. 引理 2.2 得证.

3 定理1.2的证明

由于函数的正规性是一种局部的性质, 所以我们只需要证明 F 在区域 D 内的每一点正规. 由引理 2.2,我们只需证明 Fψ(z) 的零点处正规就可以了. 不失一般性,不妨设 D=Δ={z:|z|<1},ψ(z)=zlφ(z) (zΔ),其中 l 是一个正整数满足 lp,这里 φ(0)=1,且在 Δ={z:0<|z|<1}φ(z)0. 因此现在只要证明 F 在点 z=0 正规. 考虑函数族 G={g(z)=f(z)ψ(z) :f F,zΔ}. 因为对每一个 fFf(z)0,所以对每一个 gGg(0)=. 我们先证 GΔ 正规. 假设 Gz0Δ 不正规. 由~Zalcman 引理知,存在点列 znz0,正数列 ρn0 以及函数列 fnF 使得 Gn(ξ)=gn(zn+ρnξ)ρknG(ξ)

在复平面 C 上按球面距离内闭一致收敛,其中 G(ξ) 是一个非常数的亚纯函数,由~Hurwitz 定理知 G(ξ)0. 下面分两种情形讨论:

情形1 zn/ρn.

通过简单计算可知对于每一个 0ik,我们有 g(i)n(z)=f(i)n(z)ψ(z)ij=1(ij)g(ij)n(z)ψ(j)(z)ψ(z)=f(i)n(z)ψ(z)ij=1[(ij)g(ij)n(z)jt=0Ajt1zjtφ(t)(z)φ(z)],

其中 Ajj=1,若 lj, Ajt=l(l1)(lj+t+1)(jt),若 l<j, Ajt=0,t=0, 1, , jl1. 因此, 由 (3.1) 式知 ρkinG(i)n(ξ)=g(i)n(zn+ρnξ)=f(i)n(zn+ρnξ)ψ(zn+ρnξ)ij=1[(ij)g(ij)n(zn+ρnξ)jt=0Ajt1(zn+ρnξ)jtφ(t)(zn+ρnξ)φ(zn+ρnξ)]=f(i)n(zn+ρnξ)ψ(zn+ρnξ)ij=1[(ij)g(ij)n(zn+ρnξ)ρjnjt=0Ajt1(zn/ρn+ξ)jtρtnφ(t)(zn+ρnξ)φ(zn+ρnξ)].
另一方面,我们有 limn1(zn/ρn+ξ)=0
limnρtnφ(t)(zn+ρnξ)φ(zn+ρnξ)=0,
其中,t1 为整数. 注意到 g(ij)n(zn+ρnξ)/ρjnC 上局部一致有界(除去 G(ξ)的极点),因为 gn(zn+ρnξ)/ρknG(ξ). 因此,在 C 的每一个紧子集上(除去 G(ξ) 的极点),我们有 f(k)n(zn+ρnξ)ψ(zn+ρnξ)G(k)(ξ)
f(i)n(zn+ρnξ)ψ(zn+ρnξ)0, i=0,1,,k1.
因此 f(k)n(zn+ρnξ)+k1i=0ai(zn+ρnξ)f(i)n(zn+ρnξ)ψ(zn+ρnξ)ψ(zn+ρnξ)G(k)(ξ)1
一致收敛,因为 a0, a1, , ak1 在区域 D 上解析.

注意到 f(k)n(zn+ρnξ)+k1i=0ai(zn+ρnξ)f(i)n(zn+ρnξ)ψ(zn+ρnξ) 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1,ψ(zn+ρnξ) 仅有的可能零点为 ξ=znρn. 因此 G(k)(ξ)1 的零点重级至少为 k+3,G(ξ) 的极点重级至少为 2. 下面类似于引理 2.2 的证明我们同样可以得出矛盾.

情形2 zn/ρnα (有限复数). 则 gn(ρnξ)ρkn=gn(zn+ρn(ξzn/ρn))ρkn=Gn(ξzn/ρn)G(ξα)=˜G(ξ),

在复平面 C 上按球面距离内闭一致收敛. 易知, ˜G(ξ)0,ξ=0˜G(ξ) 的重级至少为 l 的极点.

Hn(ξ)=fn(ρnξ)ρk+ln,

Hn(ξ)=ψ(ρnξ)ρlnfn(ρnξ)ρknψ(ρnξ)=ψ(ρnξ)ρlngn(ρnξ)ρkn.

注意到 ψ(ρnξ)ρlnξl,因此 Hn(ξ)ξl˜G(ξ)=H(ξ) 在复平面 C 上内闭一致收敛. 因为 ξ=0˜G(ξ) 重级至少为 l 的极点, 所以 H(0)0. 于是 H(ξ)0 且极点重级至少为 p+2. 由 (3.2) 式知 H(i)n(ξ)=f(i)n(ρnξ)ρk+linH(i)(ξ)

在复平面 C 上内闭一致收敛(除去 ˜G(ξ) 的极点). 同上面类似的讨论知,在复平面 C 的每一个紧子集上(除去 ˜G(ξ) 的极点),我们有 f(k)n(ρnξ)+k1i=0ai(ρnξ)f(i)n(ρnξ)ψ(ρnξ)ρlnH(k)(ξ)ξl
一致收敛. 由定理的假设和 ({3.3}) 式以及Hurwitz 定理知, H(k)(ξ)ξl 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1.

如果 H(ξ) 是超越亚纯函数,注意到 T(r,H(k)ξl)=T(r,H(k))+S(r,H). 由Nevanlinna 第一基本定理,我们有 m(r,1H)+m(r,1H(k)ξl)=m(r,1H+1H(k)ξl)+S(r,H)m(r,1H(k+l+1))+S(r,H)T(r,H(k+l+1))N(r,1H(k+l+1))+S(r,H)T(r,H(k))+(l+1)¯N(r,H(k))N(r,1H(k+l+1))+S(r,H).

上式两边同时加上 N(r,1H)+N(r,1H(k)ξl)T(r,H)(l+1)¯N(r,H(k))+N(r,1H)+N(r,1H(k)ξl)N(r,1H(k+l+1))+S(r,H)(l+1)¯N(r,H)+(l+1)¯N(r,1H(k)ξl)+S(r,H)l+1p+2N(r,H)+l+1nN(r,1H(k)ξl)+S(r,H)l+1p+2N(r,H)+l+1n(T(r,H)+k¯N(r,H))+S(r,H)((k+n)(l+1)n(p+2)+l+1n)T(r,H)+S(r,H)(l+1)(k+p+n+2)n(p+2)T(r,H),
其中 nH(k)(ξ)ξl 的零点重数. 这与 lpn(k+p+2)(p+1)+1 矛盾.

如果 H(ξ) 是一个常数,则: H(k)(ξ)ξl=ξl. 这与 H(k)(ξ)ξl 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1 矛盾.

因此,H(ξ) 是一个非多项式的有理函数且 H(ξ)0,故可设 H(ξ)=A(ξα1)n1(ξα2)n2(ξαt)nt,

其中 A 是一个非零常数,nip+2 为正整数,i=1,2,,t,N=n1+n2++nt,则 N(p+2)t.
另一方面,我们有 H(ξ)=A(ξt1+bt2ξt2++b0)(ξα1)n1+1(ξα2)n2+1(ξαt)nt+1,
其中 A 是一个非零常数.

由数学归纳法我们有 H(k+l+1)(ξ)=B(ξ(k+l+1)(t1)+c(k+l+1)(t1)1ξ(k+l+1)(t1)1++c0)(ξα1)n1+k+l+1(ξα2)n2+k+l+1(ξαt)nt+k+l+1,

其中 B 是一个非零常数. H(k)(ξ)=C(ξk(t1)+dk(t1)1ξk(t1)1++d0)(ξα1)n1+k(ξα2)n2+k(ξαt)nt+k,
其中 C 是一个非零常数.

于是 H(k)(ξ)ξl=BξN+kt+l++a0(ξα1)n1+k(ξα2)n2+k(ξαt)nt+k,

其中 B 是一个非零常数.

αiH(k)(ξ)ξl 重级为 mi 的零点,i=1,2,,s. 于是 mi>(k+p+2)(p+1), i=1,2,,s.

m1+m2++ms=N+kt+l.
因为 deg(H(k)(ξ)ξl)=N+kt+l. 所以 αiH(k+l+1) 重级为 mi(l+1) 的零点,i=1,2,,s. 因此 m1(l+1)+m2(l+1)++ms(l+1)(k+l+1)(t1).
因为 deg(H(k+l+1))=(k+l+1)(t1), 由 (3.7) 式和 ({3.8}) 式知 N+kt+l(l+1)s(k+l+1)(t1)=ktk+l(t1)+t1.
由 ({3.9}) 式知 sN+k(l+1)t+2l+1l+1N+k(l+1)t+2l+1p+1.
由 ({3.6}) 式和 (3.7) 式以及 ({3.10}) 式知 N+kt+l=m1+m2++ms>(k+p+2)(p+1)s>N+k(l+1)t+2l+1p+1(k+p+2)(p+1)=(N+k(l+1)t+2l+1)(k+p+2)(N+k(p+1)t+2l+1)(k+p+2)=N(k+p+2)+k(k+p+2)(p+1)(k+p+2)t+2l(k+p+2)+k+p+2.
因此 (k+p+1)N<(p+2)(k+p+1)t[(2l+1+k)(k+p)+2k+3l+2],
由此我们知 N<(p+2)t.
这与 ({3.5}) 式矛盾.于是 GΔ 内正规. 现用反证法证明 Fz=0 正规. 因为 GΔ 上正规,所以 GΔ 上关于球面距离等度连续. 再注意到对任意 gGg(0)=f(z)ψ(z) 没有公共的零点, 故存在 δ>0 满足对任意的 gG 及任意的 zΔδ|g(z)|1f(z)0. 另一方面,因为 FΔδ 上正规,即有 F1={1/f:fF}Δδ 但不在 Δδ 上正规. 于是存在子列 {1/fn}F1Δδ 但不在 Δδ 上一致收敛. 因为对每一个 fFf(z)0,故 F1Δδ 上的解析函数族. 因此由最大模原理知 {1fn}{z:|z|δ2} 内一致有界, 所以 F1Δ 内正规,从而 FΔ 内也正规,于是定理得证.

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涉及例外函数的正规定则
赵利娟