本文将使用值分布理论中一些常用记号和基本定义, 具体可见文献^{[4, 10, 14]}.

1979 年,顾永兴^[3] 证明了下述结果.

定理A 设 ${\cal F}$ 是区域 $D \subset C$ 内的亚纯函数族,$k$ 为正整数. 若对每一个 $f\in {\cal F}$, $f\neq0$ 且 $f^{(k)}\neq 1$,则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.

到目前为止,学者们获得了许多涉及例外函数的正规定则(参见文献 ^{[1, 2, 7, 9, 11, 12]} 等等).

定理 A 的全纯函数族情形是 Miranda^[6] 证明的. 杨乐-张广厚^[15]改进了Miranda 的结果, 允许 $f$ 与 $f^{(k)}-1$ 有零点但零点重级给予一定的限制,得到

定理B 设 ${\cal F}$ 是区域 $D \subset C$ 内的全纯函数族,$m,n,k$ 是正整数. 若对每一个 $f \in {\cal F}$,$f$ 的零点重级至少为 $m$,$f^{(k)}-1$ 的零点重级至少为 $n$ 满足 $\frac{k+1}{m}+\frac{1}{n}<1$,则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.\par 关于亚纯函数族情形,1994 年,方明亮^[2]证明了下面的结论.

定理C 设 ${\cal F}$ 是区域 $D \subset C$ 上的亚纯函数族,$k$ 为正整数. 若对每一个 $f \in {\cal F}$,$f\neq0$ 且 $f^{(k)}(z)-1$ 的零点重级至少为 $k+5+[2/k]$,则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.

最近,赵利娟和武想中^[16]证明了下面的结论.

定理D 设 ${\cal F}$ 是区域 $D \subset C$ 上的全纯函数族,$m,n,k,p$ 是正整数. 设 $\psi~(\not \equiv 0)$ 是 $D$ 上的解析函数且 $\psi$ 的零点重级至多为 $p$. 若对每一个 $f \in {\cal F}$,$f$ 的零点重级至少为 $m$,$f^{(k)}-\psi(z)$ 的零点重级至少为 $n$ 满足 $\frac{k+p+1}{m}+\frac{p+1}{n}<1$, 且 $\psi(z)$ 与 $f(z)$ 没有公共的零点,则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.

自然地提出这样一个问题: 定理C中的常数``1"能否换成一 个不恒等于零的解析函数``$\psi$"? 本文中, 我们在某种意义上给出了部分的回答,证明了

定理1.1 设 ${\cal F}$ 是区域 $D \subset C$ 内的亚纯函数族,满足族中每个函数至少有一个极点,$k,p$ 是正整数. 设 $\psi~(\not \equiv 0)$ 是 $D$ 上的解析函数且 $\psi$ 的零点重级至多为 $p$. 若对每一个 $f \in {\cal F}$,$f\neq0$ 且极点重级至少为 $p+2$,$f^{(k)}(z)-\psi(z)$ 的零点重级至少为 $(k+p+2)(p+1)+1$,则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.

事实上,我们证明了更一般的结论,如下

定理1.2 设 ${\cal F}$ 是区域 $D\subset C$ 上的亚纯函数族, 满足族中每个函数至少有一个极点,$k,p$ 是正整数. 设 $\psi~(\not \equiv 0)$,$a_{0},\ a_{1},\ \cdots,\ a_{k-1}$ 是 $D$ 上的解析函数且 $\psi$ 的零点重级至多为 $p$. 若对每一个 $f \in {\cal F}$,$f\neq0$ 且极点重级至少为 $p+2$, $f^{(k)}(z)+a_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)-\psi(z)$ 的零点重级至少为 $(k+p+2)(p+1)+1$,则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.

注1.1 关于全纯函数族,徐焱和常建明^[13] 有如下结论: 设 ${\cal F}$ 是区域 $D \subset C$ 上的全纯函数族, $k$ 为正整数. 设 $\psi~(\not \equiv 0)$ 是 $D$ 上的解析函数. 若对每一个 $f \in {\cal F}$,$f\neq0$ 且 $f^{(k)}-\psi(z)$ 的零点重级至少为 $2$, 则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.

为了证明我们的结论,需要下面两个引理.

引理2.1^[8] (Pang-Zalcman 引理) 设 $k$ 是一个正整数,$\cal F$ 是区域 $D$ 上的亚纯函数族, 并且对每一个 $f \in \cal F$,它的零点重级至少是 $k$,\ 且存在 $A\geq 1$ 满足: 当 $f(z)=0$ 时 $|f^{(k)}(z)|\leq A$. 若 $\cal F$ 在 $z_0\in D$ 处不正规,则对每个 $0\leq \alpha \leq k$,存在点列 $z_n\in D$,$z_n \to z_0$ 和正数列 $\rho_n \to 0$ 以及函数列 $f_n\in \cal F$ 满足 $$g_n(\zeta)=\frac{f_n(z_n+\rho_n \zeta)}{\rho_n^{\alpha}}\to g(\zeta)$$ 按球面距离内闭一致收敛,其中 $g$ 是复平面 ${C}$ 上非常数的亚纯函数,它的零点重级至少是 $k$,满足 $g^{\#}(\zeta)\leq g^{\#}(0)=kA+1$,并且 $g$ 的级不超过 $2$.

引理2.2 设 ${\cal F}$ 区域 $D \subset C$ 上的亚纯函数族,$k$ 是一个正整数. 设 $b(z)(\neq 0)$,$a_{0},a_{1},$ $\cdots,$ $a_{k-1}$ 是区域 $D$ 上的解析函数. 若对任意的 $f \in {\cal F}$ 满足 $f\neq 0$,$f(z)$ 只有重级极点且 $f^{(k)}(z)+a_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)-b(z)$ 的零点重级至少为 $k+3$,则 ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.

证 不失一般性,设 $D=\Delta =\{z:|z|<1\}$. 假设 ${\cal F}$ 在 $z_{0}\in D$ 处不正规. 由Zalcman 引理知,存在点列 $z_{n}\rightarrow z_{0}$, 正数列 $\rho_{n} \rightarrow 0$ 以及函数列 $f_{n} \in {\cal F}$ 使得 $$g_{n}(\xi)=\frac{f_{n}(z_{n}+\rho _{n}\xi)}{\rho_{n}^{k}}\rightarrow g(\xi)$$ 在复平面 $C$ 上按球面距离内闭一致收敛,其中 $g(\xi)$ 是一个非常数的亚纯函数,由Hurwitz 定理知 $g(\xi)\neq0$ 且 $g(\xi)$ 的极点重级至少为2. 另一方面,我们有 $$\begin{eqnarray*} &&g_{n}^{(k)}(\xi)+\sum_{i=0}^{k-1} \rho_{n}^{k-i}a_{i}(z_{n}+\rho_{n} \xi) g_{n}^{(i)}(\xi)-b(z_{n}+\rho_{n}\xi) \\ &=&f_{n}^{(k)}(z_{n}+\rho_{n} \xi) + \sum_{i=0}^{k-1}a_{i}(z_{n}+\rho_{n} \xi) f_{n}^{(i)}(z_{n}+\rho_{n} \xi) -b(z_{n}+\rho_{n}\xi). \end{eqnarray*}$$ 注意到 $a_{i}(z_{n}+\rho _{n}\xi)g_{n}^{(i)}(\xi)$ 在 $C$ 上局部一致有界(除去 $g(\xi)$的极点),因为 $a_{i}(z_{n}+\rho _{n}\xi)g_{n}^{(i)}(\xi)\rightarrow a_{i}(z_{0})g^{(i)}(\xi)$ 在 $C$ 的每一个紧子集(除去 $g(\xi)$的极点)上一致收敛. 于是我们有 $$\begin{equation}\label{2.1} g_{n}^{(k)}(\xi)+\sum_{i=0}^{k-1} \rho_{n}^{k-i}a_{i}(z_{n}+\rho_{n} \xi) g_{n}^{(i)}(\xi)-b(z_{n}+\rho_{n}\xi) \rightarrow g^{(k)}(\xi) -b(z_{0}). \end{equation}$$ 因为 $f_{n}^{(k)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)+a_{k-1}(z_{n}+\rho_{n}\xi) f_{n}^{(k-1)}(z_{n}+\rho_{n}\xi) +\cdots+a_{1}(z_{n}+\rho_{n}\xi)f_{n}'(z_{n}+\rho_{n}\xi) +a_{0}(z_{n}+\rho_{n}\xi)f_{n}(z_{n}+\rho_{n}\xi)-b(z_{n} +\rho_{n}\xi)$ 的零点重级至少为 $k+3$,由 (2.1) 式以及Hurwitz 定理知 $g^{(k)}(\xi)-b(z_{0})$ 的零点重级也至少为 $k+3$. 由Milloux 不等式和Nevanlinna 第一基本定理,我们有 $$\begin{eqnarray*} T(r,g)&\leq& \overline{N}(r,g)+N(r,\frac{1}{g})+N(r,\frac{1}{g^{(k)}-b(z_{0})}) -N(r,\frac{1}{g^{(k+1)}})+S(r,g)\\ &\leq& \overline{N}(r,g)+\overline{N}(r,\frac{1}{g^{(k)}-b(z_{0})}) +S(r,g)\\ &\leq& \overline{N}(r,g)+\frac{1}{k+3}N(r,\frac{1}{g^{(k)}-b(z_{0})})+S(r,g)\\ &\leq& \overline{N}(r,g)+\frac{1}{k+3}(T(r,g)+k\overline{N}(r,g))+S(r,g)\\ &\leq&(1+\frac{k}{k+3})\overline{N}(r,g)+\frac{1}{k+3}T(r,g)+S(r,g)\\ &\leq&\frac{2k+3}{2(k+3)}N(r,g)+\frac{1}{k+3}T(r,g)+S(r,g)\\ &\leq&\frac{2k+3}{2(k+3)}T(r,g)+\frac{1}{k+3}T(r,g)+S(r,g)\\ &\leq&\frac{2k+5}{2k+6}T(r,g)+S(r,g). \end{eqnarray*}$$ 这与 $g$ 是 $C$ 上的非常数的亚纯函数矛盾. 引理 2.2 得证.

由于函数的正规性是一种局部的性质, 所以我们只需要证明 $\cal F$ 在区域 $D$ 内的每一点正规. 由引理 2.2,我们只需证明 ${\cal F}$ 在 $\psi(z)$ 的零点处正规就可以了. 不失一般性,不妨设 $D=\Delta={\{z:|z|<1\}}$,$\psi(z)=z^{l}\varphi(z)~(z\in \Delta)$,其中 $l$ 是一个正整数满足 $l\leq p$,这里 $\varphi(0)=1$,且在 $\Delta'={\{z:0<|z|<1\}}$ 上 $\varphi(z)\neq 0$. 因此现在只要证明 ${\cal F}$ 在点 $z=0$ 正规. 考虑函数族 ${\cal G}$=$\{{g(z)=\frac{f(z)}{\psi(z)}}$ $:f$ $\in$ ${\cal F}$,$z\in\Delta\}$. 因为对每一个 $f\in {\cal F}$ 有 $f(z)\neq 0$,所以对每一个 $g\in {\cal G}$ 有 $g(0)=\infty$. 我们先证 ${\cal G}$ 在 $\Delta$ 正规. 假设 ${\cal G}$ 在 $z_{0}\in \Delta$ 不正规. 由~Zalcman 引理知,存在点列 $z_{n}\rightarrow z_{0}$,正数列 $\rho_{n} \rightarrow 0$ 以及函数列 $f_{n} \in {\cal F}$ 使得 $$G_{n}(\xi)=\frac{g_{n}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{k}}\rightarrow G(\xi)$$ 在复平面 $C$ 上按球面距离内闭一致收敛,其中 $G(\xi)$ 是一个非常数的亚纯函数,由~Hurwitz 定理知 $G(\xi)\neq0$. 下面分两种情形讨论:

情形1 $z_{n}/\rho_{n}\rightarrow \infty$.

通过简单计算可知对于每一个 $0 \leq i \leq k$,我们有 $$\begin{eqnarray}\label{3.1} g_{n}^{(i)}(z)&=& \frac{f_{n}^{(i)}(z)}{\psi(z)}-\sum_{j=1}^{i}\left(\begin{array}{c} i \\ j \\ \end{array}\right) g_{n}^{(i-j)}(z)\frac{\psi^{(j)}(z)}{\psi(z)} \nonumber \\ &= &\frac{f_{n}^{(i)}(z)}{\psi(z)}-\sum_{j=1}^{i}[ \left(\begin{array}{c} i \\ j \\ \end{array}\right)g_{n}^{(i-j)}(z)\sum_{t=0}^{j}A_{jt}\frac{1}{z^{j-t}}\frac{\varphi^{(t)}(z)}{\varphi(z)}], \end{eqnarray}$$ 其中 $A_{jj}=1$,若 $l\geq j$, $A_{jt}=l(l-1)\cdots(l-j+t+1)\left(\begin{array}{c} j \\ t \\ \end{array}\right)$,若 $l< j$, $A_{jt}=0$,$t = 0,$ $1,\ \cdots,\ j-l-1$. 因此, 由 (3.1) 式知 $$\begin{eqnarray*} &&\rho_{n}^{k-i}G_{n}^{(i)}(\xi)\\ &=&g_{n}^{(i)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)\\ &=& \frac{f_{n}^{(i)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)}- \sum_{j=1}^{i} \left[\left(\begin{array}{c} i \\ j \\ \end{array}\right)g_{n}^{(i-j)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)\sum_{t=0}^{j}A_{jt}\frac{1} {(z_{n}+\rho_{n}\xi)^{j-t}}\frac{\varphi^{(t)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\varphi(z_{n}+\rho_{n}\xi)} \right]\\ &=& \frac{f_{n}^{(i)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)}- \sum_{j=1}^{i} \left[\left(\begin{array}{c} i \\ j \\ \end{array}\right) \frac{g_{n}^{(i-j)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{j}}\sum_{t=0}^{j}A_{jt}\frac{1} {(z_{n}/\rho_{n}+\xi)^{j-t}}\frac{\rho_{n}^{t}\varphi^{(t)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\varphi(z_{n}+\rho_{n}\xi)} \right]. \end{eqnarray*}$$ 另一方面,我们有 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{(z_{n}/\rho_{n}+\xi)}=0$$ 和 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\rho_{n}^{t}\varphi^{(t)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\varphi(z_{n}+\rho_{n}\xi)}=0,$$ 其中,$t\geq 1$ 为整数. 注意到 $g_{n}^{(i-j)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)/\rho_{n}^{j}$ 在 $C$ 上局部一致有界(除去 $G(\xi)$的极点),因为 $g_{n}(z_{n}+\rho_{n}\xi)/\rho_{n}^{k}\rightarrow G(\xi)$. 因此,在 $C$ 的每一个紧子集上(除去 $G(\xi)$ 的极点),我们有 $$\frac{f_{n}^{(k)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)}\rightarrow G^{(k)}(\xi)$$ 和 $$\frac{f_{n}^{(i)}(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)}\rightarrow 0,\ i=0,1,\cdots,k-1.$$ 因此 $$\frac{ f_{n}^{(k)}(z_{n}+\rho_{n} \xi) + \sum\limits_{i=0}^{k-1} a_{i}(z_{n}+\rho_{n} \xi) f_{n}^{(i)}(z_{n}+\rho_{n} \xi)-\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)}{\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)}\rightarrow G^{(k)}(\xi)-1$$ 一致收敛,因为 $a_{0},\ a_{1},\ \cdots,\ a_{k-1}$ 在区域 $D$ 上解析.

注意到 $f_{n}^{(k)}(z_{n}+\rho_{n} \xi) + \sum\limits_{i=0}^{k-1} a_{i}(z_{n}+\rho_{n} \xi) f_{n}^{(i)}(z_{n}+\rho_{n} \xi)-\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)$ 的零点重级至少为 $(k+p+2)(p+1)+1$,$\psi(z_{n}+\rho_{n}\xi)$ 仅有的可能零点为 $\xi=-\frac{z_{n}}{\rho_{n}}\rightarrow -\infty$. 因此 $G^{(k)}(\xi)-1$ 的零点重级至少为 $k+3$,$G(\xi)$ 的极点重级至少为 $2$. 下面类似于引理 2.2 的证明我们同样可以得出矛盾.

情形2 $z_{n}/\rho_{n}\rightarrow \alpha$ (有限复数). 则 $$\begin{eqnarray*} \frac{g_{n}(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{k}}=\frac{g_{n}(z_{n}+\rho_{n}(\xi-z_{n}/\rho_{n}))}{\rho_{n}^{k}} =G_{n}(\xi-z_{n}/\rho_{n})\rightarrow G(\xi-\alpha)=\tilde{G}(\xi), \end{eqnarray*}$$ 在复平面 $C$ 上按球面距离内闭一致收敛. 易知, $\tilde{G}(\xi)\neq0$,$\xi=0$ 是 $\tilde{G}(\xi)$ 的重级至少为 $l$ 的极点.

令 $$\begin{equation}\label{3.2} H_{n}(\xi)=\frac{f_{n}(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{k+l}}, \end{equation}$$ 则 $$H_{n}(\xi)=\frac{\psi(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{l}}\frac{f_{n}(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{k}\psi(\rho_{n}\xi)} =\frac{\psi(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{l}}\frac{g_{n}(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{k}}.$$

注意到 $\frac{\psi(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{l}}\rightarrow \xi^{l}$,因此 $H_{n}(\xi)\rightarrow \xi^{l}\tilde{G}(\xi)=H(\xi)$ 在复平面 $C$ 上内闭一致收敛. 因为 $\xi=0$ 是 $\tilde{G}(\xi)$ 重级至少为 $l$ 的极点, 所以 $H(0)\neq0$. 于是 $H(\xi)\neq 0$ 且极点重级至少为 $p+2$. 由 (3.2) 式知 $$H_{n}^{(i)}(\xi)=\frac{f_{n}^{(i)}(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{k+l-i}}\rightarrow H^{(i)}(\xi)$$ 在复平面 $C$ 上内闭一致收敛(除去 $\tilde{G}(\xi)$ 的极点). 同上面类似的讨论知,在复平面 $C$ 的每一个紧子集上(除去 $\tilde{G}(\xi)$ 的极点),我们有 $$\begin{eqnarray}\label{3.3} \frac{f_{n}^{(k)}(\rho_{n}\xi)+ \sum\limits_{i=0}^{k-1}a_{i}(\rho_{n}\xi)f_{n}^{(i)}(\rho_{n}\xi)-\psi(\rho_{n}\xi)}{\rho_{n}^{l}} \rightarrow H^{(k)}(\xi)-\xi^{l} \end{eqnarray}$$ 一致收敛. 由定理的假设和 ({3.3}) 式以及Hurwitz 定理知, $H^{(k)}(\xi)-\xi^{l}$ 的零点重级至少为 $(k+p+2)(p+1)+1$.

如果 $H(\xi)$ 是超越亚纯函数,注意到 $T(r,H^{(k)}-\xi^{l})=T(r,H^{(k)})+S(r,H)$. 由Nevanlinna 第一基本定理,我们有 $$\begin{eqnarray*} &&m(r,\frac{1}{H})+m(r,\frac{1}{H^{(k)}-\xi^{l}})\\ &=& m(r,\frac{1}{H}+\frac{1}{H^{(k)}-\xi^{l}})+S(r,H)\\ &\leq& m(r,\frac{1}{H^{(k+l+1)}})+S(r,H) \\ &\leq& T(r,H^{(k+l+1)})-N(r,\frac{1}{H^{(k+l+1)}})+S(r,H) \\ &\leq& T(r,H^{(k)})+(l+1)\overline{N}(r,H^{(k)})-N(r,\frac{1}{H^{(k+l+1)}})+S(r,H). \end{eqnarray*}$$ 上式两边同时加上 $N(r,\frac{1}{H})+N(r,\frac{1}{H^{(k)}-\xi^{l}})$ 得 $$\begin{eqnarray*} T(r,H)&\leq& (l+1)\overline{N}(r,H^{(k)})+N(r,\frac{1}{H})+N(r,\frac{1}{H^{(k)}-\xi^{l}})-N(r,\frac{1}{H^{(k+l+1)}})+S(r,H)\\ &\leq&(l+1)\overline{N}(r,H)+(l+1)\overline{N}(r,\frac{1}{H^{(k)}-\xi^{l}})+S(r,H)\\ &\leq&\frac{l+1}{p+2}N(r,H)+\frac{l+1}{n}N(r,\frac{1}{H^{(k)}-\xi^{l}})+S(r,H)\\ &\leq&\frac{l+1}{p+2}N(r,H)+\frac{l+1}{n}(T(r,H)+k\overline{N}(r,H))+S(r,H)\\ &\leq&(\frac{(k+n)(l+1)}{n(p+2)}+\frac{l+1}{n})T(r,H)+S(r,H)\\ &\leq&\frac{(l+1)(k+p+n+2)}{n(p+2)} T(r,H), \end{eqnarray*}$$ 其中 $n$ 为 $H^{(k)}(\xi)-\xi^{l}$ 的零点重数. 这与 $l\leq p$ 且 $n\geq(k+p+2)(p+1)+1$ 矛盾.

如果 $H(\xi)$ 是一个常数,则: $H^{(k)}(\xi)-\xi^{l}=-\xi^{l}$. 这与 $H^{(k)}(\xi)-\xi^{l}$ 的零点重级至少为 $(k+p+2)(p+1)+1$ 矛盾.

因此,$H(\xi)$ 是一个非多项式的有理函数且 $H(\xi)\neq0$,故可设 $$\begin{equation}\label{3.4} H(\xi)=\frac{A}{(\xi-\alpha_{1})^{n_{1}}(\xi-\alpha_{2})^{n_{2}}\cdots(\xi-\alpha_{t})^{n_{t}}}, \end{equation}$$ 其中 $A$ 是一个非零常数,$n_{i}\geq p+2$ 为正整数,$i=1,2, \cdots,t,$ 令 $N=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}$,则 $$\begin{equation}\label{3.5} N\geq(p+2)t. \end{equation}$$ 另一方面,我们有 $$H'(\xi)=\frac{A'(\xi^{t-1}+b_{t-2}\xi^{t-2}+\cdots+b_{0})} {(\xi-\alpha_{1})^{n_{1}+1}(\xi-\alpha_{2})^{n_{2}+1}\cdots(\xi-\alpha_{t})^{n_{t}+1}},$$ 其中 $A'$ 是一个非零常数.

由数学归纳法我们有 $$H^{(k+l+1)}(\xi)=\frac{B(\xi^{(k+l+1)(t-1)}+c_{(k+l+1)(t-1)-1}\xi^{(k+l+1)(t-1)-1}+\cdots+c_{0})} {(\xi-\alpha_{1})^{n_{1}+k+l+1}(\xi-\alpha_{2})^{n_{2}+k+l+1}\cdots(\xi-\alpha_{t})^{n_{t}+k+l+1}},$$ 其中 $B$ 是一个非零常数. $$H^{(k)}(\xi)=\frac{C(\xi^{k(t-1)}+d_{k(t-1)-1}\xi^{k(t-1)-1}+\cdots+d_{0})} {(\xi-\alpha_{1})^{n_{1}+k}(\xi-\alpha_{2})^{n_{2}+k}\cdots(\xi-\alpha_{t})^{n_{t}+k}},$$ 其中 $C$ 是一个非零常数.

于是 $$H^{(k)}(\xi)-\xi^{l}=\frac{B'\xi^{N+kt+l}+\cdots+a_{0}} {(\xi-\alpha_{1})^{n_{1}+k}(\xi-\alpha_{2})^{n_{2}+k}\cdots(\xi-\alpha_{t})^{n_{t}+k}},$$ 其中 $B'$ 是一个非零常数.

设 $\alpha_{i}$ 是 $H^{(k)}(\xi)-\xi^{l}$ 重级为 $m_{i}$ 的零点,$i=1,2,\cdots,s$. 于是 $$\begin{equation}\label{3.6} m_{i}>(k+p+2)(p+1),\ {i=1,2,\cdots,s}. \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{3.7} m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{s}=N+kt+l. \end{equation}$$ 因为 deg$(H^{(k)}(\xi)-\xi^{l})=N+kt+l$. 所以 $\alpha_{i}$ 是 $H^{(k+l+1)}$ 重级为 $m_{i}-(l+1)$ 的零点,$i=1,2,\cdots,s$. 因此 $$\begin{equation}\label{3.8} m_{1}-(l+1)+m_{2}-(l+1)+\cdots+m_{s}-(l+1)\leq (k+l+1)(t-1). \end{equation}$$ 因为 deg$(H^{(k+l+1)})=(k+l+1)(t-1)$, 由 (3.7) 式和 ({3.8}) 式知 $$\begin{equation}\label{3.9} N+kt+l-(l+1)s\leq(k+l+1)(t-1)=kt-k+l(t-1)+t-1. \end{equation}$$ 由 ({3.9}) 式知 $$\begin{equation}\label{3.10} s\geq\frac{N+k-(l+1)t+2l+1}{l+1}\geq\frac{N+k-(l+1)t+2l+1}{p+1}. \end{equation}$$ 由 ({3.6}) 式和 (3.7) 式以及 ({3.10}) 式知 $$\begin{eqnarray*} N+kt+l&=&m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{s}\\ &>&(k+p+2)(p+1)s\\ &>& \frac{N+k-(l+1)t+2l+1}{p+1}(k+p+2)(p+1)\\ &=& (N+k-(l+1)t+2l+1)(k+p+2)\\ &\geq&(N+k-(p+1)t+2l+1)(k+p+2)\\ &=& N(k+p+2)+k(k+p+2)-(p+1)(k+p+2)t\\&&+2l(k+p+2)+k+p+2. \end{eqnarray*}$$ 因此 $$(k+p+1)N<(p+2)(k+p+1)t-[(2l+1+k)(k+p)+2k+3l+2],$$ 由此我们知 $$N<(p+2)t.$$ 这与 ({3.5}) 式矛盾.于是 ${\cal G}$ 在 $\Delta$ 内正规. 现用反证法证明 ${\cal F}$ 在 $z=0$ 正规. 因为 ${\cal G}$ 在 $\Delta$ 上正规,所以 ${\cal G}$ 在 $\Delta$ 上关于球面距离等度连续. 再注意到对任意 $g\in{\cal G}$ 有 $g(0)=\infty$ 及 $f(z)$ 和 $\psi(z)$ 没有公共的零点, 故存在 $\delta>0$ 满足对任意的 $g\in{\cal G}$ 及任意的 $z\in\Delta_{\delta}$ 有 $|g(z)|\geq1$ 且 $f(z) \neq 0$. 另一方面,因为 ${\cal F}$ 在 $\Delta'_{\delta}$ 上正规,即有 ${\cal F}_{1}=\{1/f:f\in {\cal F}\}$ 在 $\Delta'_{\delta}$ 但不在 $\Delta_{\delta}$ 上正规. 于是存在子列 $\{1/f_{n}\}\subset{\cal F}_{1}$ 在 $\Delta'_{\delta}$ 但不在 $\Delta_{\delta}$ 上一致收敛. 因为对每一个 $f\in {\cal F}$ 有 $f(z)\neq0$,故 ${\cal F}_{1}$ 是 $\Delta_\delta$ 上的解析函数族. 因此由最大模原理知 $\{\frac{1}{f_{n}}\}$ 在 $\{z:|z|\leq \frac{\delta}{2}\}$ 内一致有界, 所以 ${\cal F}_{1}$ 在 $\Delta$ 内正规,从而 ${\cal F}$ 在 $\Delta$ 内也正规,于是定理得证.