本文将使用值分布理论中一些常用记号和基本定义, 具体可见文献[4, 10, 14].
1979 年,顾永兴[3] 证明了下述结果.
定理A 设 F 是区域 D⊂C 内的亚纯函数族,k 为正整数. 若对每一个 f∈F, f≠0 且 f(k)≠1,则 F 在 D 内正规.
到目前为止,学者们获得了许多涉及例外函数的正规定则(参见文献 [1, 2, 7, 9, 11, 12] 等等).
定理 A 的全纯函数族情形是 Miranda[6] 证明的. 杨乐-张广厚[15]改进了Miranda 的结果, 允许 f 与 f(k)−1 有零点但零点重级给予一定的限制,得到
定理B 设 F 是区域 D⊂C 内的全纯函数族,m,n,k 是正整数. 若对每一个 f∈F,f 的零点重级至少为 m,f(k)−1 的零点重级至少为 n 满足 k+1m+1n<1,则 F 在 D 内正规.\par 关于亚纯函数族情形,1994 年,方明亮[2]证明了下面的结论.
定理C 设 F 是区域 D⊂C 上的亚纯函数族,k 为正整数. 若对每一个 f∈F,f≠0 且 f(k)(z)−1 的零点重级至少为 k+5+[2/k],则 F 在 D 内正规.
最近,赵利娟和武想中[16]证明了下面的结论.
定理D 设 F 是区域 D⊂C 上的全纯函数族,m,n,k,p 是正整数. 设 ψ (≢0) 是 D 上的解析函数且 ψ 的零点重级至多为 p. 若对每一个 f∈F,f 的零点重级至少为 m,f(k)−ψ(z) 的零点重级至少为 n 满足 k+p+1m+p+1n<1, 且 ψ(z) 与 f(z) 没有公共的零点,则 F 在 D 内正规.
自然地提出这样一个问题: 定理C中的常数``1"能否换成一 个不恒等于零的解析函数``ψ"? 本文中, 我们在某种意义上给出了部分的回答,证明了
定理1.1 设 F 是区域 D⊂C 内的亚纯函数族,满足族中每个函数至少有一个极点,k,p 是正整数. 设 ψ (≢0) 是 D 上的解析函数且 ψ 的零点重级至多为 p. 若对每一个 f∈F,f≠0 且极点重级至少为 p+2,f(k)(z)−ψ(z) 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1,则 F 在 D 内正规.
事实上,我们证明了更一般的结论,如下
定理1.2 设 F 是区域 D⊂C 上的亚纯函数族, 满足族中每个函数至少有一个极点,k,p 是正整数. 设 ψ (≢0),a0, a1, ⋯, ak−1 是 D 上的解析函数且 ψ 的零点重级至多为 p. 若对每一个 f∈F,f≠0 且极点重级至少为 p+2, f(k)(z)+ak−1(z)f(k−1)(z)+⋯+a1(z)f′(z)+a0(z)f(z)−ψ(z) 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1,则 F 在 D 内正规.
注1.1 关于全纯函数族,徐焱和常建明[13] 有如下结论: 设 F 是区域 D⊂C 上的全纯函数族, k 为正整数. 设 ψ (≢0) 是 D 上的解析函数. 若对每一个 f∈F,f≠0 且 f(k)−ψ(z) 的零点重级至少为 2, 则 F 在 D 内正规.
为了证明我们的结论,需要下面两个引理.
引理2.1[8] (Pang-Zalcman 引理) 设 k 是一个正整数,F 是区域 D 上的亚纯函数族, 并且对每一个 f∈F,它的零点重级至少是 k,\ 且存在 A≥1 满足: 当 f(z)=0 时 |f(k)(z)|≤A. 若 F 在 z0∈D 处不正规,则对每个 0≤α≤k,存在点列 zn∈D,zn→z0 和正数列 ρn→0 以及函数列 fn∈F 满足 gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)ραn→g(ζ)
引理2.2 设 F 区域 D⊂C 上的亚纯函数族,k 是一个正整数. 设 b(z)(≠0),a0,a1, ⋯, ak−1 是区域 D 上的解析函数. 若对任意的 f∈F 满足 f≠0,f(z) 只有重级极点且 f(k)(z)+ak−1(z)f(k−1)(z)+⋯+a1(z)f′(z)+a0(z)f(z)−b(z) 的零点重级至少为 k+3,则 F 在 D 内正规.
证 不失一般性,设 D=Δ={z:|z|<1}. 假设 F 在 z0∈D 处不正规. 由Zalcman 引理知,存在点列 zn→z0, 正数列 ρn→0 以及函数列 fn∈F 使得 gn(ξ)=fn(zn+ρnξ)ρkn→g(ξ)
由于函数的正规性是一种局部的性质, 所以我们只需要证明 F 在区域 D 内的每一点正规. 由引理 2.2,我们只需证明 F 在 ψ(z) 的零点处正规就可以了. 不失一般性,不妨设 D=Δ={z:|z|<1},ψ(z)=zlφ(z) (z∈Δ),其中 l 是一个正整数满足 l≤p,这里 φ(0)=1,且在 Δ′={z:0<|z|<1} 上 φ(z)≠0. 因此现在只要证明 F 在点 z=0 正规. 考虑函数族 G={g(z)=f(z)ψ(z) :f ∈ F,z∈Δ}. 因为对每一个 f∈F 有 f(z)≠0,所以对每一个 g∈G 有 g(0)=∞. 我们先证 G 在 Δ 正规. 假设 G 在 z0∈Δ 不正规. 由~Zalcman 引理知,存在点列 zn→z0,正数列 ρn→0 以及函数列 fn∈F 使得 Gn(ξ)=gn(zn+ρnξ)ρkn→G(ξ)
情形1 zn/ρn→∞.
通过简单计算可知对于每一个 0≤i≤k,我们有 g(i)n(z)=f(i)n(z)ψ(z)−i∑j=1(ij)g(i−j)n(z)ψ(j)(z)ψ(z)=f(i)n(z)ψ(z)−i∑j=1[(ij)g(i−j)n(z)j∑t=0Ajt1zj−tφ(t)(z)φ(z)],
注意到 f(k)n(zn+ρnξ)+k−1∑i=0ai(zn+ρnξ)f(i)n(zn+ρnξ)−ψ(zn+ρnξ) 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1,ψ(zn+ρnξ) 仅有的可能零点为 ξ=−znρn→−∞. 因此 G(k)(ξ)−1 的零点重级至少为 k+3,G(ξ) 的极点重级至少为 2. 下面类似于引理 2.2 的证明我们同样可以得出矛盾.
情形2 zn/ρn→α (有限复数). 则 gn(ρnξ)ρkn=gn(zn+ρn(ξ−zn/ρn))ρkn=Gn(ξ−zn/ρn)→G(ξ−α)=˜G(ξ),
令 Hn(ξ)=fn(ρnξ)ρk+ln,
注意到 ψ(ρnξ)ρln→ξl,因此 Hn(ξ)→ξl˜G(ξ)=H(ξ) 在复平面 C 上内闭一致收敛. 因为 ξ=0 是 ˜G(ξ) 重级至少为 l 的极点, 所以 H(0)≠0. 于是 H(ξ)≠0 且极点重级至少为 p+2. 由 (3.2) 式知 H(i)n(ξ)=f(i)n(ρnξ)ρk+l−in→H(i)(ξ)
如果 H(ξ) 是超越亚纯函数,注意到 T(r,H(k)−ξl)=T(r,H(k))+S(r,H). 由Nevanlinna 第一基本定理,我们有 m(r,1H)+m(r,1H(k)−ξl)=m(r,1H+1H(k)−ξl)+S(r,H)≤m(r,1H(k+l+1))+S(r,H)≤T(r,H(k+l+1))−N(r,1H(k+l+1))+S(r,H)≤T(r,H(k))+(l+1)¯N(r,H(k))−N(r,1H(k+l+1))+S(r,H).
如果 H(ξ) 是一个常数,则: H(k)(ξ)−ξl=−ξl. 这与 H(k)(ξ)−ξl 的零点重级至少为 (k+p+2)(p+1)+1 矛盾.
因此,H(ξ) 是一个非多项式的有理函数且 H(ξ)≠0,故可设 H(ξ)=A(ξ−α1)n1(ξ−α2)n2⋯(ξ−αt)nt,
由数学归纳法我们有 H(k+l+1)(ξ)=B(ξ(k+l+1)(t−1)+c(k+l+1)(t−1)−1ξ(k+l+1)(t−1)−1+⋯+c0)(ξ−α1)n1+k+l+1(ξ−α2)n2+k+l+1⋯(ξ−αt)nt+k+l+1,
于是 H(k)(ξ)−ξl=B′ξN+kt+l+⋯+a0(ξ−α1)n1+k(ξ−α2)n2+k⋯(ξ−αt)nt+k,
设 αi 是 H(k)(ξ)−ξl 重级为 mi 的零点,i=1,2,⋯,s. 于是 mi>(k+p+2)(p+1), i=1,2,⋯,s.