Dirichlet 级数是19 世纪中Dirichlet 研究数论时引进的, 它可看作Tayor 级数的推广,也是Laplace-Steltjes 变换的特例, 随机 Dirichlet 级数理论是运用经典概率论来研究它的分析性质. 国内外很多学者都致力于这方面的研究,例如,Ritt J F 通过引进Ritt 级率先研究了随机 Dirichlet 级数表示整函数的增长性; Mandelbrojt S 和Valiron G于1969 年研究了随机 Dirichlet 级数的增长性和值的分布. 在国内,著名数学家余家荣^{[1, 2]} 首先定义了随机 Dirichlet 级数的(R-H) 级并研究了它的增长性 和值的分布; 孙道椿^[3] 在较弱的系数条件下研究了右 半平面随机 Dirichlet 级数的增长性,推广了Paley-Zygmund 引理; 高宗升^[4] 得到了无限级随机 Dirichlet 级数值的分布定理; 田范基^[5] 研究了右半平面上无 限级随机 Dirichlet 级数值的分布; 丁晓庆^[6] 在较宽的指数条 件下研究了零级随机 Dirichlet 级数的增长性,推广了一序列结果. 更多结果参见文献^{[7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]}.

两两NQD 列的概念是著名统计学家Lehmann 在1966 年提出来的. 它是具有浓厚统计背景且包含独立在内的一类十分广泛的随机变量列, 在图像分析、环境科学、气象科学等领域有着广泛的应用. 近年来, 有关两两 NQD 序列的研究也得到飞速发展. 王岳宝教授^[14] 于2001 年研究了两两 NQD 序列Jamison 型加权和的强稳定性并得到了 Marcinkiewicz 强大数定律; 吴群英教授^[15] 研究了两两NQD 列的收敛性质,得到了两两NQD 列的Kolmogorov 不等式,三级数定理, Marcinkiewicz 型强大数定理; 陈平炎教授^[16] 研究了Cesaro 强大数定律的收敛速度; 吴永峰等^[17] 研究了两两NQD 列的$L_p$ 收敛性和完全收敛性.

本文的基本构架是: 首先在较宽的系数条件下证明了右半平 面无限级随机Dirichlet 级数增长性和值的分布定理,并将两两 NQD 列的研究和随机 Dirichlet 级数的研究成果有机结合起来, 探讨了系数的模为两两NQD 列随机Dirichlet 级数的若干性质. 在一定的条件下,右半平面上随机级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty X_n{\rm e}^{-\lambda_n s}$ 和级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty \sigma_n{\rm e}^{-\lambda_n s}$ a.s. 有相同的收敛横坐标、增长级和型函数.

首先考虑下面的级数 $$f(s)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n {\rm e}^{-\lambda _n s}. (2.1)$$

其中$\{a_n,n\geq 0\}$ 为复数序列,$0 \leq\lambda_n\uparrow\infty,$ $s=\sigma +{\rm i}t.$ $\sigma,t$ 为实数. 若满足条件 $$\overline{\lim\limits_ {n\to\infty}}\frac{\ln n}{\lambda_n} =\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln|a_n|}{\lambda_n}=0, (2.2)$$

那么,级数 (2.1) 收敛和绝对收敛横坐标为0,且级数 (2.1) 定义了右半平面上的解析函数. 令 $$M(\sigma,f)=\sup \limits_{-\infty<t<+\infty}\{|f(\sigma+it)|\} (\sigma>0), ~~m(\sigma,f)=\max \limits_{n\geq 0}\{|a_n|{\rm e}^{-\lambda_n \sigma}\} (\sigma>0),$$

称等式 $\rho=\overline{\lim\limits_{\sigma \rightarrow 0^+}}~~\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{-\ln\sigma}$ 为 $f(s)$ 的 (R) 级 ($\sigma>0$).

假设级数 (2.1) 满足条件 (2.2),则有下面的等式 $$\overline{\lim\limits_{\sigma \rightarrow 0^+}}~~\frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,f)}{-\ln\sigma}=\overline{\lim\limits_ {\sigma\rightarrow0^+}}~~\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{-\ln\sigma}=\rho. (2.3)$$

我们首先在较宽的系数条件下证明 (2.3)式, 并将结果应用到系数的模为两两 NQD 列 中去,为此,我们证明下面的引理.

引理 2.1^[5] 假设 $\{c_{n}\}$ 和 $\{d_{n}\}$ 为复数序列,且 $0=\lambda_0\leq \lambda_1\leq\cdots\leq \lambda_n \uparrow+\infty$,则

(i) $$\overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}~~ \frac{\ln(|c_n|+|d_n|)}{\lambda_n}=\max\bigg(\overline {\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}~\frac{\ln|c_n|}{\lambda_n}, \overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}~\frac{\ln|d_n|} {\lambda_n}\bigg).(2.4)$$

(ii) $$\overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}~~\frac{\ln^+\ln^+(|c_n|+|d_n|)}{\ln\lambda_n}=\max \bigg(\overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}~~\frac{\ln^+\ln^+|c_n|}{\ln\lambda_n},\frac{\ln^+\ln^+|d_n|}{\ln\lambda_n}\bigg ). (2.5)$$

引理 2.2 假设 $\overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}~\frac{\ln\ln n}{\ln\lambda_n}<t_{0}<1$,则对于足够大的 $n$,下面的不等式成立. $$N[{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}>\frac{1}{n^2}]< \bigg[\exp\bigg\{\bigg(\frac{2}{\sigma}\bigg)^{\frac{t_{0}}{1-t_{0}}}\bigg\}\bigg],$$

其中$N[{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}>\frac{1}{n^2}]$ 表示满足条件${\rm e}^{-\lambda_n\sigma}>\frac{1}{n^2}$ 的$n$ 的整数部分,$[\exp\{(\frac{2}{\sigma})^ {\frac{t_{0}}{1-t_{0}}}\}]$ 表示 $\exp\{(\frac{2}{\sigma})^{\frac{t_{0}}{1-t_{0}}}\}$ 的整数部分.

证 由于 $\overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}~~\frac{\ln\ln n}{\ln\lambda_n}<t_0,$ 对足够大的 $n,$ 有 $\frac{\ln\ln n}{\ln\lambda_n}<t_{0}$. 也就是说 $\lambda_n>(\ln n)^{\frac{1}{t_{0}}}$. 再由不等式 ${\rm e}^{-\lambda_n\sigma}>\frac{1}{n^2}$, 得到 $n<\exp\{(\frac{2}{\sigma})^{\frac{t_{0}}{1-t_{0}}}\}$. 证毕.

引理 2.3 假设 $$\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\frac{\ln\ln n} {\ln\lambda_n}<t_{0}= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\rho' }{\rho' +1}~~&(0<\rho' <+\infty),\\ [2mm] 1&(\rho' =+\infty) ,\end{array}\right.$$

则有 $$\max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}~ \frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,f)}{-\ln\sigma},\frac{t_0}{1-t_0}\bigg\}=\rho' ,$$

这里 $\rho' =\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}~ \frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,f)}{-\ln\sigma}$.

定理 2.1 假设级数 (2.1) 满足下面的条件 $$\overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}} \frac{\ln|a_n|}{\ln\lambda_n}=0 ,~~ \overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}} \frac{\ln\ln n}{\ln\lambda_n}<t_{0}= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\rho' }{\rho' +1}~~&(0<\rho' <+\infty),\\ [2mm] 1&(\rho' =+\infty), \end{array}\right . (2.6)$$

则 (2.3) 式成立.

证 首先,易得 $$m(\sigma,f)\leq M(\sigma,f),~~\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(2\sigma,f)}{-\ln\sigma}=\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}} \frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{-\ln\sigma}.(2.7)$$

其次,利用引理 2.2,有 \setcounter{section}{2}\setcounter{equation}{7} $$\begin{eqnarray} M(2\sigma,f)&=&\sup\limits_{-\infty<t<\infty}|f(2\sigma+ {\rm i}t)|\leq \sum\limits^\infty_{n=0}|a_n|{\rm e}^{-2\lambda_n\sigma} \nonumber\\ &=&\leq m(\sigma,f)\sum\limits^\infty_{n=0}{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}\leq m(\sigma,f)\bigg[\sum\limits_{n:{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}> \frac{1}{n^2}}1+\sum\limits_{n:{\rm e}^{-\lambda_n\sigma} \leq\frac{1}{n^2}}\frac{1}{n^2}\bigg] \nonumber\\ &=&m(\sigma,f)\bigg[N({\rm e}^{-\lambda_n\sigma}>\frac{1}{n^2})+O(1)\bigg] \nonumber\\ &\leq& m(\sigma,f)\bigg[\exp\bigg\{(\frac{2}{\sigma})^{{\frac{t_{0}} {1-t_{0}}}}\bigg\}+O(1)\bigg].(2.8) \end{eqnarray}$$

最后,由引理 2.1 和 2.3,我们得到 $$\begin{eqnarray} \overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(2\sigma,f)}{-\ln\sigma}&\leq&\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}\frac{\ln^+\{\ln^+m(\sigma,f)+[(\frac{2}{\sigma})^{\frac{t_{0}}{1-t_{0}}}+O(1)]\}}{-\ln\sigma} \nonumber\\ &=&\max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,f)}{-\ln\sigma},\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}\frac{\ln^+[(\frac{2}{\sigma})^{\frac{t_{0}}{1-t_{0}}}+O(1)]} {-\ln\sigma}\bigg\} \nonumber\\ &=&\max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,f)}{-\ln\sigma},\frac{t_{0}}{1-t_{0}}\bigg\} =\rho' .(2.9) \end{eqnarray}$$

由 (2.7),(2.8) 和 (2.9)式,即得$\rho=\rho'$,(2.3) 式成立. 证毕.

定理 2.2 假设条件 (2.6) 成立,则 $$\mbox{ $f(s)$ 有 (R) 级 $\rho $} (\sigma>0)\Leftrightarrow \overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}\frac{\ln^+\ln^+|a_n|}{\ln\lambda_n} =\left\{\begin{array}{ll} \frac{\rho}{\rho+1}~~&(0<\rho<+\infty),\\[2mm] 1&(\rho=+\infty). \end{array}\right.$$

若 $\rho(r)(r>0)$ 为严格正的增函数,且满足 $$\lim\limits_{r\to+\infty}\rho(r)=+\infty,~~~~~ \lim\limits_{r\to+\infty}\frac{\ln U(R)}{\ln U(r)}=1,$$

其中$R=r+\frac{r}{\ln U(r)},U(r)=r^{\rho(r)},$ 且 $\overline{\lim\limits_{\sigma\to0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)} {\ln U(\frac{1}{\sigma})}=1$.

那么,我们称$f(s)$ 在条件$\sigma>0$ 下有 (R-H) 级, $U(\frac{1}{\sigma})=(\frac{1}{\sigma})^{\rho(\frac{1}{\sigma})}$ 称为 $f(s)$ 的型函数. 我们有下面的定理.

定理 2.3 假设 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln |a_n|}{\lambda_n}=0$ 和 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln\ln n}{\ln\lambda_n}<\frac{1}{2}$ 成立,则 $f(s)$ 有 (R-H) 级 $$\begin{equation} \rho(\frac{1}{\sigma})\Leftrightarrow\overline{\lim\limits_{n\to+\infty}}t_n=1, %(2.10) \end{equation}$$

其中$t_n= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\ln \lambda_n}{\ln U(\frac{\lambda_n}{\ln|a_n|})}~ &(|a_n|>1),\\ 0&(|a_n|\leq 1) .\end{array}\right.$

证 一方面,我们证明若 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n= 1,$ 则有 $\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\leq1$.

由 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln\ln n}{\ln \lambda_n} <\frac{1}{1+1}$,则存在 $0<\rho_0<1$ 满足 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln\ln n}{\ln \lambda_n} <\frac{\rho_0}{1+\rho_0}$,因此,一定存在整数 $k$,

对于$n\geq k,$ 都有 $\ln n<\lambda_n^{\frac{\rho_0}{1+\rho_0}}$ 成立. 由不等式$\exp\{-\frac{\lambda_n\sigma}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}\} >\frac{1}{n^2}$,有 $n<\exp\{(\frac{2(1+\ln U(\frac{1}{\sigma}))}{\sigma})^{\rho_0}\}$ 成立.

令$\Delta=\frac{\ln U(\frac{1}{\sigma})}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})} \sigma(\sigma >0)$,得到 $$\begin{eqnarray*} M(\sigma,f)&\leq&m(\Delta,f)\sum\limits_{n=0}^\infty {\rm e}^{-\frac{\lambda_n \sigma}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}}\\ &=&m(\Delta,f)\Bigg[\sum\limits_{n:\exp\{{-\frac{\lambda_n\sigma} {1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}}\}>\frac{1}{n^2}} 1+\sum\limits_{n:\exp\{{-\frac{\lambda_n\sigma}{1+\ln U (\frac{1}{\sigma})}}\}\leq \frac{1}{n^2}}\frac{1}{n^2}\Bigg]\\ &\leq& m(\Delta,f)\bigg[\exp\bigg\{\bigg(\frac{2(1+\ln U(\frac{1}{\sigma}))}{\sigma}\bigg)^{\rho_0}\bigg\}+O(1)\bigg]. \end{eqnarray*}$$

由引理 2.1,有 $$\begin{eqnarray} \overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}} \frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}&\leq& \max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\Delta,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})},\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}} \frac{\ln^+(\frac{2(1+\ln U(\frac{1}{\sigma}))}{\sigma})^{\rho_0}}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\bigg\} \nonumber\\ &=&\max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\Delta,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})},\rho_0\bigg\}. \end{eqnarray}$$ %(2.11)$$

再由型函数的性质, $$\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln U(\frac{1}{\Delta})}{\ln U(\frac{1}{\sigma})} =\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln U(\frac{1}{\sigma}(1+\frac{1}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}))}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}=1,$$

最后有 $$\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\leq \overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\leq \max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})},\rho_0\bigg\}.(2.12)$$

假设 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n=1$ 成立,对于 $\eta>0$, 则存在整数 $N>0$,对于 $n>N$ 和 $|a_n|>1$, 有 $$\lambda_n<[U(\frac{\lambda_n}{\ln|a_n|})]^{1+\eta}.$$

设 $v=U(u)$ 和 $u=\varphi(v)$ 互为反函数, 则 对于$n>N$ 和 $|a_n|>1$,下面的不等式成立. $$|a_n|{\rm e}^{-\lambda_n \sigma}<\exp \bigg\{\frac{\lambda_n}{\varphi(\lambda_n^{\frac{1}{1+\eta}})} -\lambda_n\sigma\bigg\}.(2.13)$$

显然,当 $|a_n|\leq 1$ 时,(2.13) 式成立.

下面,固定 $\sigma>0$,选取${\lambda}$,有 $\varphi(\lambda^{\frac{1}{1+\eta}})=\frac{1}{\sigma},$

若 $\lambda_n>\lambda,n>N$,有 $$|a_n|{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}<\exp\bigg\{\frac{\lambda_n} {\varphi(\lambda_n^{\frac{1}{1+\eta}})}- \frac{\lambda_n}{{\varphi(\lambda^{\frac{1}{1+\eta}}})}\bigg\}<1. (2.14)$$

若 $n(\sigma)=\max\limits_k\{k||a_k|{\rm e}^{-\lambda_k\sigma}= \max\limits_n|a_n|{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}\},$ 对充分小的 $\sigma$,有 $\lambda_{n(\sigma)}<\lambda$. 因此, $$\ln m(\sigma,f)=A+\int_\sigma^a\lambda_{n(x)}{\rm d}x~~ (0<\sigma<1),$$

这里$(\sigma>0)$ 和 ~A 为常数, $$\ln m(\sigma,f)<\bigg[U\bigg(\frac{1}{\sigma}\bigg)\bigg]^{1+\eta}~ (\sigma\to 0^+).(2.15)$$

由 (2.15) 和 (2.12)式,令 $\eta\to 0$,得到 $\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\leq 1.$

另一方面,我们证明若 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n= 1,$ 我们不能得到 $\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,f)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}=c< 1$. 证明方法与文献^[5] 中定理1.2 类似. 充分性证毕.

必要条件的证明显然. 证毕.

考虑下面的 Dirichlet 级数 $$g(s,\omega)=\sum\limits_{n=0}^\infty X_n(\omega) {\rm e}^{-\lambda _n s}, (3.1)$$

其中$\{X_n(\omega)\}$ 为同一概率空间$(\Omega,\cal{F},\cal{P})$ 的随机序列. $\lambda_n,\sigma$ 与级数 (2.1) 相同. $\{|X_n(\omega)|,n\geq 0\}$ 为两两 NQD 序列, 假设存在正数 $\alpha$,满足 $$\forall n\geq 1,\alpha^2\sigma_n^2=\alpha ^2 E|X_n|^2\leq E^2|X_n|<\infty.(3.2)$$

引进辅助级数 $$g(s)=\sum\limits_{n=0}^\infty \sigma_n {\rm e}^{-\lambda _n s} .(3.3)$$ 级数 (3.1) 和级数 (3.3) 收敛横坐标 (绝对收敛横坐标) 分别记为 $\delta_c(\omega),\delta_a(\omega)$或$\delta_c,\delta_a$.

引理3.1 (推广的 Borel-Cantelli 引理).

(i) 假设 $\sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$ 成立, 则有$P(A_n,$ i.o.)=0.

(ii) 假设 $P(A_kA_m)\leq P(A_k)P(A_m),k\neq m,$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$ 成立,有$P(A_n,$ i.o.)=1.

证 (i)~ 由条件 $\sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty,$ 对于 $\forall \varepsilon>0,$ 一定存在整数 $N$,有 $$0\leq P \bigg\{\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n\geq k}A_n\bigg\} \leq P\bigg\{\bigcup_{k\geq N}A_k\bigg\}\leq \sum\limits_{k\geq N} P(A_k)<\varepsilon.$$

因此 (i) 成立.

(ii) 首先,由不等式 $P(A_kA_m)\leq P(A_k)P(A_m) ~~k\neq m$,有 $$\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^n P(A_kA_l)\leq \bigg(\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg)^2+\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)(1-P(A_k)).$$

也就是说 $$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^nP(A_kA_l) \bigg(\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg)^{-2} &\leq &1+\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)(1-P(A_k)) \bigg( \sum\limits_{k=1}^nP(A_k)\bigg)^{-2}\\ &\leq & 1+ \bigg(\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg)^{-1}. \end{eqnarray*}$$ $$\liminf_{n\geq 1}\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^n P(A_kA_l)\bigg(\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg)^{-2} \leq 1.(3.4)$$

其次,由Chebyshev 不等式,有 $$P \bigg(\bigg|\sum\limits_{k=1}^n I_k-\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg| \geq\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg)\leq\frac{4Var (\sum\limits_{k=1}^n I_k)}{(\sum\limits_{k=1}^n P(A_k))^2}.$$

再由$EI_kI_l=P(A_kA_l)$,得到 $$Var\bigg(\sum\limits_{k=1}^n I_k\bigg)\leq\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n P(A_kA_l)-\bigg(\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg)^2. (3.5)$$

最后,由 (3.4) 和 (3.5)式,我们得到 $$\liminf_{n\geq 1}P\bigg(\bigg|\sum\limits_{k=1}^n I_k- \sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg|\geq\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\bigg)=0.$$

令 $B_n=\{\sum\limits_{k=1}^n I_k \leq\frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^n P(A_k)\}$,有 $\liminf\limits_{n\geq 1}P(B_n)=0.$ 故存在严格增的正整数序列 $\{n_m\}$ 满足 $\sum\limits_{m=1}^\infty P(B_{n_m})<\infty$. 由已证明的 Borel-Cantelli 引理的第一部分,除去有限的 $m$, 有 $\sum\limits_{k=1}^{n_m} I_k>\frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{n_m} P(A_k)$ a.s. 成立. 再由条件 $\sum\limits_{k=1}^\infty P(A_n)=\infty$,得到 $\sum\limits_{k=1}^\infty I_k=\infty$, 即 $P(\limsup\limits_{n\geq 1}A_n)=1.$ 证毕.

引理 3.2 设$X\in L^p$ 为随机序列, 且$1\diagup p+1\diagup q=1,p>1,q>1,0<\lambda<1,$ 有 $$P\{|X|\geq\lambda E|X|\}\geq (1-\lambda)^q \frac{E^q|X|}{E^{q\diagup p}|X|^p}.(3.6)$$

证 由 $$\int_{(|X|<\lambda E|X|)}|X|{\rm d}P\leq \int_{\Omega}\lambda E|X|{\rm d}P =\lambda \int_{\Omega}E|X|{\rm d}P,$$

有 $$\int_{(|X|\geq \lambda E|X|)} |X|{\rm d}P\geq (1-\lambda) \int_{\Omega}|X|{\rm d}p.$$

由H\"{o}lder 不等式,容易得到 $$\begin{eqnarray*} \int_{(|X|\geq \lambda E|X|)}|X|{\rm d}P&\leq& \bigg(\int_{\Omega}I^{q}(|X|\geq \lambda E|X|){\rm d}P\bigg)^{\frac{1}{q}} \bigg(\int_{\Omega}|X|^p{\rm d}P\bigg)^{\frac{1}{p}}\\ &=&P^{\frac{1}{q}}(|X|\geq \lambda E|X|)E^{\frac{1}{p}}|X|^p. \end{eqnarray*}$$

即 $$(1-\lambda)E|X|\geq P^{\frac{1}{q}}(|X|\geq \lambda E|X|)E^{\frac{1}{p}}|X|^p.$$

因此 $$P(|X|\geq \lambda E|X|)\geq(1-\lambda)^q \frac{E^q|X|}{E^{q/p}|X|^p}.$$

证毕.

引理3.3 假设$\{|X_n(\omega)|,n\geq 1\}$ 为两两NQD 序列,若存在正数$\alpha$,使 $$\forall n\geq 1,\alpha^2\sigma_n^2=\alpha ^2 E|X_n|^2\leq E^2|X_n|<\infty(3.7)$$

成立,则对于任意$\omega\in \Omega,$ 存在一个正整数$N(\omega)$ a.s. 当$n>N(\omega)$ 时,有 $$|X_n(\omega)|\leq n \sigma_n.(3.8)$$

若 $\{X_{n_k}\}$ 为 $\{X_n\}$ 的子列,则有 $$P\bigg(\overline{\lim\limits_{k\to\infty}}\bigg(|X_{n_k}|\geq \frac{\alpha }{2}\sigma_{n_k}\bigg)\bigg)=1.(3.9)$$

证 若$\sigma_n=0$,$|X_n|=0$ a.s., 容易得到$P(|X_n|>\sigma_n)=0$.

若$\sigma_n>0,$ 我们有 $$\sum\limits_{n=1}^\infty P(|X_n|>n\sigma) \leq\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{E|X_n|^2}{n^2\sigma^2_n}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$$ 由引理3.1,有$P(\overline{\lim\limits_{n\to\infty}} (|X_n|>n\sigma_n))=0.$ (3.8)式 成立.

由(3.6) 和(3.7)式,当$\sigma_{n_k}>0$ 时,有 $$P\bigg(|X_{n_k}|\geq\frac{\alpha}{2}\sigma_{n_k}\bigg)\geq P\bigg(|X_{n_k}|\geq\frac{1}{2}E|X_{n_k}|\bigg)\geq \bigg(1-\frac{1}{2}\bigg)^2 \frac{E^2|X_{n_k}|}{E|X_{n_k}|^2}\geq \frac{1}{4}\alpha^2 >0.$$

当$\sigma_{n_k}=0$,有$P(|X_{n_k}|\geq\frac{\alpha}{2} \sigma_{n_k})=1$. 即 $$\sum\limits_{n=1}^\infty P\bigg(|X_{n_k}|\geq\frac{\alpha}{2} \sigma_{n_k}\bigg)=+\infty.$$

再由引理 3.1,得到 $$P\bigg(\overline{\lim\limits_{k\to\infty}} \bigg(|X_{n_k}|\geq\frac{\alpha}{2}\sigma_{n_k}\bigg)\bigg)=1.$$

因此,存在无限个$n_k$,使得$|X_{n_k}(\omega)|\geq \frac{\alpha}{2}\sigma_{ n_k}$ a.s. 成立,(3.9) 式成立.

定理 3.1 假设 $\{|X_n(\omega)|\}$ 为两两NQD 序列,且满足条件(3.2) 和 $$ \overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}} \frac{\ln\ln n}{\ln\lambda_n}则下面等式成立.

(i) $\sigma_c(\omega)=\sigma_a(\omega)=\sigma_c= \sigma_a=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}} \frac{\ln \sigma_n}{\lambda_n}$ a.s.,

(ii) $g(s,\omega)$ 有级 $\rho(>0)\Longleftrightarrow \overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}\frac{\ln^+\ln^+ \sigma_n}{\ln\lambda_n}也就是说,$g(s,\omega)$ 和$g(s)$ a.s. 有相同的收敛横坐标和(R-H) 增长级.

证 (i)~ 由(2.4)式,一方面 $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{|X_n|}{\lambda_n}\leq \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln n\sigma_n}{\lambda_n} \leq \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln \sigma_n}{\lambda_n}+\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln n}{\lambda_n}~~{\rm a.s}..$$

另一方面,令$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\ln\sigma_{n_k}}{\lambda_{n_k}}=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln \sigma_n}{\lambda_n}$,对于(2.5)式,有 $$|X_{n_k}(\omega)|\geq \frac{\alpha}{2}\sigma_{n_k}~ {\rm a.s..}$$

因此, $$\begin{eqnarray*} \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln |X_n(\omega)|} {\lambda_n}&\geq &\overline{\lim\limits_{l\to\infty}}\frac{\ln |X_{n_{k,l}}(\omega)|}{\lambda_{n_{k,l}}} \geq\overline{\lim\limits_{l\to\infty}}\frac{\ln \frac{\alpha}{2}\sigma_{n_{k,l}}}{\lambda_{n_{k,l}}}\\ &=&\overline{\lim\limits_{l\to\infty}} \frac{\ln \sigma_{n_{k,l}}}{\lambda_{n_{k,l}}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\ln \sigma_{n_k}}{\lambda_{n_k}}=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln \sigma_n}{\lambda_n}. \end{eqnarray*}$$

由 Valiron 公式,容易得到 $$\begin{eqnarray*} \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln \sigma_n}{\lambda_n} &\leq& \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln |X_n(\omega)|}{\lambda_n}\leq \sigma_c(\omega)\leq\sigma_a(\omega)\\ &\leq& \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln |X_n(\omega)|}{\lambda_n}+\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln n}{\lambda_n}\leq \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln \sigma_n}{\lambda_n} +2\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln n}{\lambda_n}. \end{eqnarray*}$$

(i) 成立. (ii) 的证明与 (i) 类似.

定理3.2 设$\{|X_n(\omega)|\}$ 为两两 NQD, 且满足 (3.2) 式和$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln \sigma_n}{\lambda_n}=0,~\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln\ln n}{\ln\lambda_n}<\frac{1}{2}$,有 $$\overline{\lim\limits_{\sigma\to0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,g_{\omega})}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}=1\Longleftrightarrow \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n=1,$$

这里 $$M(\sigma,g_{\omega})=\sup \limits_{-\infty1),\\[2mm] 0&(\sigma_n \leq 1), \end{array}\right. $$ 也就是说$g(s,\omega)$ 和$g(s)$ 有相同的型函数.

证 我们首先证明 $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n\geq 1\Rightarrow\overline{\lim\limits_{\sigma\to0^+}} \frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,g_{\omega})}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\geq1.(3.10)$$ 令$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n=\lim\limits_{k\to\infty}t_{n_k}\geq 1$,由引理 3.1,a.s. $\omega\in\Omega$, 存在 $\{ X_{n_{k}}(\omega)\}$ 的一个子列,满足 $|X_{n_{k,l}}(\omega)|\geq \frac{\alpha}{2}\sigma_{n_{k}}$.

对于级数(3.1),有 $$t_n(\omega)= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\ln \lambda_n}{\ln U(\frac{\lambda_n}{\ln |X_n(\omega)|})}~~&(|X_n(\omega)|>1),\\[2mm] 0&(|X_n(\omega)| \leq 1). \end{array}\right.$$ 因此 $$\frac{2}{\alpha}g(s,\omega)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{2}{\alpha}X_n(\omega){\rm e}^{-\lambda_n s},~\tilde{t_n}(\omega)= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\ln \lambda_n}{\ln U(\frac{\lambda_n}{\ln |\frac{2}{\alpha}X_n(\omega)|})}~& (\frac{2}{\alpha}|X_n(\omega)|>1),\\ [3mm] 0& (\frac{2}{\alpha}|X_n(\omega)| \leq 1) . \end{array}\right.$$ 即 $$\begin{eqnarray*} \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\tilde{t_n}(\omega) &\geq&\overline{\lim\limits_{l\to\infty}}\tilde{t_{n_{k,l}}}(\omega)=\overline{\lim\limits_{l\to\infty}}\frac{\ln \lambda_{n_{k,l}}}{\ln U(\frac{\lambda_{n_{k,l}}}{\ln |\frac{2}{\alpha}X_{n_{k,l}}(\omega)})|}\geq\overline{\lim\limits_{l\to\infty}} \frac{\ln \lambda_{n_{k,l}}}{\ln U(\frac{\lambda_{n_{k,l}}}{\ln \sigma_{n_{k,l}}})}\\ &=&\overline{\lim\limits_{l\to\infty}}t_{n_{k,l}} =\lim\limits_{k\to\infty}t_{n_k}=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}} t_n\geq 1.~~{\rm a.s.} \end{eqnarray*}$$ 由定理2.3,得到 $$\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,g_\omega)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}=\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,\frac{2}{\alpha}g_\omega)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\geq 1.~~{\rm a.s..}$$

下面我们再来证明 $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n\leq 1\Rightarrow\overline{\lim\limits_{\sigma\to0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,g_{\omega})}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\leq1.(3.11)$$

当$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln\ln n}{\ln \lambda_n}<\frac{1}{1+1}$ 时,存在$0<\rho_0<1$ 满足 $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{\ln\ln n}{\ln \lambda_n}<\frac{\rho_0}{1+\rho_0}$,且存在正整数$k$,当 $n\geq k$ 时,有$\ln n<\lambda_n^{\frac{\rho_0}{1+\rho_0}}$. 由不等式$\exp\{-\frac{\lambda_n\sigma}{1+ \ln U(\frac{1}{\sigma})}\}>\frac{1}{n^3},$ 我们得到 $n<\exp\{(\frac{3(1+\ln U(\frac{1}{\sigma}))}{\sigma})^{\rho_0}\}.$

令$\Delta=\frac{\ln U(\frac{1}{\sigma})}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}\sigma(\sigma >0)$,引进 $$M(\sigma,g)=\sup\limits_{-\infty<t<\infty}|g(s)|.$$ 一方面,由引理2.1,我们得到 $$\bigg|\sum\limits_{n=0}^\infty X_n(\omega){\rm e}^{-\lambda_n\sigma}\bigg| \leq\sum\limits_{n=0}^\infty n\sigma_n{\rm e}^{-\lambda_n\Delta}{\rm e}^{-\frac{\lambda_n\sigma}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}}\leq m(\Delta,g)\sum\limits_{n=0}^\infty n {\rm e}^{-\frac{\lambda_n\sigma}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}}.$$ 另一方面,有 $$\begin{eqnarray*} M(\sigma,g_\omega)&\leq & m(\Delta,g)\sum\limits_{n=0}^\infty n{\rm e}^{-\frac{\lambda_n \sigma}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}}\\ &=&m(\Delta,g)\Bigg[\sum\limits_{n:\exp\{{-\frac{\lambda_n\sigma} {1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}}\}>\frac{1}{n^3}}1+ \sum\limits_{n:\exp\{{-\frac{\lambda_n\sigma}{1+\ln U(\frac{1}{\sigma})}}\}\leq \frac{1}{n^3}}\frac{1}{n^2}\Bigg]\\ &\leq & m(\Delta,g) \bigg[\exp\bigg\{\bigg(\frac{3(1+\ln U(\frac{1}{\sigma}))} {\sigma}\bigg)^{\rho_0}\bigg\}+O(1)\bigg]. \end{eqnarray*}$$ 最后,由引理2.1,型函数的性质(ii) 和下面不等式 $$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}t_n\leq 1\Longrightarrow\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,g)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})} \leq\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+M(\sigma,g)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}\leq 1.$$ 我们得到 $$\begin{eqnarray*} \overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+ M(\sigma,g_\omega)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})}&\leq & \max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}}\frac{\ln^+\ln^+m(\Delta,g)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})},\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}} \frac{\ln^+(\frac{3(1+\ln U(\frac{1}{\sigma}))}{\sigma})^{\rho_0}} {\ln U(\frac{1}{\sigma})}\bigg\}\\ &= & \max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}} \frac{\ln^+\ln^+m(\Delta,g)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})},\rho_0\bigg\} \\ &=& \max\bigg\{\overline{\lim\limits_{\sigma\to 0^+}} \frac{\ln^+\ln^+m(\sigma,g)}{\ln U(\frac{1}{\sigma})},\rho_0\bigg\} \\ &\leq& 1. \end{eqnarray*}$$ 由(3.6) 和(3.7)式,定理3.2 证毕.