在过去的几十年间,许多物理现象通过使用非局部的数学 模型得到了很好的解释. 特别,有大量的文章研究具有齐次 Dirichlet边界条件的半线性或退化的抛物方程(参见文献^{[1, 2, 3, 4]}以及其中的参考文献). Li^[5]考虑了下面具有齐次Dirichlet边界条件的非线性非局部 的渗流问题 $$ u_t - \Delta u^m = a u^p \int_\Omega u^q {\rm d}x, x\in\Omega,\ t>0. (1.1) $$

在初始数据满足适当的条件下,获得了该问题解的整体存在与有限时 刻爆破的一些结果. 此外,也存在一些使用非 局部边界条件的抛物问题予以描述的重要现象,如热弹性理论^[6]. 1986年,Friedman^[7]研究了具有非局部边界条件的 如下抛物问题 $$ \left\{ \begin{array}{ll} u_t = \Delta u + c(x) u,& x\in \Omega,t>0, \\ u(x,t) = \int_\Omega g(x,y) u(y,t) {\rm d}y,~~ & x\in\partial\Omega,t>0, \\ u(x,0)=u_0(x),& x\in \Omega, \end{array} \right. (1.2) $$

在$c(x)\leq 0$和$x\in\partial\Omega$,$\int_\Omega | g(x,y)| {\rm d}y \leq \rho < 1$的条件下,证明了$t\rightarrow \infty$ 时,问题(1.2)的唯一解按指数形式单调趋向于0. 同时, Deng^[8]不仅得到了下列半线性抛物问题 $$ \left\{ \begin{array}{ll} u_t = \Delta u + f(x,u),& x\in \Omega,t>0, \\ u(x,t) = \int_\Omega g(x,y) u(y,t) {\rm d}y,~~& x\in\partial\Omega,t>0, \\ u(x,0)=u_0(x),& x\in \Omega \end{array} \right. (1.3) $$

局部解的存在性与唯一性,而且在$\int_\Omega g^2(x,y){\rm d}y \leq 1/{|\Omega|},x\in\partial\Omega$的条件下,证明 了整体解的指数衰减性质.

最近,Gladkov 和 Kim^[9] 扩展了问题(1.2)的类型,他们考虑了如下形式的问题 $$ \left\{ \begin{array}{ll} u_t = \Delta u + c(x,t) u^p,& x\in\Omega,t>0, \\ u(x,t) = \int_\Omega g(x,y) u^l(y,t) {\rm d}y,~~& x\in\partial\Omega,t>0, \\ u(x,0) = u_0(x),& x\in\Omega, \end{array} \right. (1.4) $$

其中$p,l>0$,得到了问题解在有限时刻爆破与整体存在的判断准则. 至于其它非局部非线性抛物问题的研究,读者也可以 查阅文献^{[10, 11, 12, 13, 14]}以及所列的参考文献.

基于上述文献的启发,本文将扩展文献^[9]的工作而研究下列具有非线性 非局部边界条件的半线性抛物方程组正解的性质 $$ \left\{ \begin{array}{ll} u_{it} = \Delta u_i + c_i(x,t) u_{i+1}^{p_i} ,\ i=1,\cdots,k,\ u_{k+1}:=u_1,~~& x\in\Omega, t>0, \\ u_i(x,t)= \int_\Omega \psi_i(x,y,t) u_i^{l_i}(y,t) {\rm d}y,i=1,\cdots,k,~~& x\in\partial\Omega,t>0, \\ u_i(x,0)=u_{i,0}(x), i=1,\cdots,k,& x\in\Omega, \end{array} \right. (1.5) $$

这里$\Omega \subset {\Bbb R}^N$是一个具有充分光滑边界 $\partial\Omega$的有界区域,常数$p_i,l_i>0$,$i=1,\cdots,k$. $c_1(x,t),\cdots,c_k(x,t)\geq 0$是定义在 $x\in \overline{\Omega}$,$t\geq 0$上的局部H\"{o}lder 连续函数, 而连续函数$\psi_i(x,y,t)\geq 0,i=1,\cdots,k$ 则定义在$x\in \partial\Omega,y\in \overline{\Omega}$ 和 $t\geq 0$. 至于初值函数$u_{i,0}(x)$,我们有下列的假设(H1)-(H3)

(H1) $u_{i,0}(x)\in C^{2+\alpha}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}), \alpha \in (0,1),u_{i,0}(x)>0$, $x\in\Omega$,$i=1,\cdots,k$.

(H2) $u_{i,0}(x)=\int_\Omega \psi_i(x,y,0) u_{i,0}^{l_i}(y){\rm d}y$,$x\in\partial\Omega$,$i=1,\cdots, k$.

(H3) $\Delta u_{i,0}(x) + c_i(x,0) u_{i+1,0}^{p_i}(x) \geq 0,u_{k+1,0}(x) :=u_{1,0}(x),\ i=1,\cdots,k$.

本文的目的一方面不仅要了解权重函数$c_i(x,t),\psi_i(x,y,t)$ 和指数$l_i,p_i$在决定问题(1.5)的解爆破与否中起着怎样的作用, 而且还要给出解的整体存在与有限时刻爆破的条件,另一方面, 文中结果表明,解的整体存在与爆破依赖于权重函数$c_i(x,t)$和 $k_i(x,y,t)$ 当 $t \rightarrow \infty$的性质.

首先,我们给出问题(1.5)的上下解、 严格上下解的定义和比较原理. 为了简便,对于$0 定义1 一组函数$( \bar{u}_1(x,t),\cdots, \bar{u}_k(x,t))$称作问题(1.5)在$Q_T$上的上解,如果 $\bar{u}_i(x,t)\in C^{2,1}(Q_T) \cap C(\bar{Q}_T)$ 并且满足 $$ \left\{ \begin{array}{ll} \bar{u}_{it} \geq \Delta \bar{u}_i + c_i(x,t) \bar{u}_{i+1}^{p_i},\ i=1,\cdots,k,\ \bar{u}_{k+1}:= \bar{u}_1,~~& (x,t)\in Q_T, \\ \bar{u}_i(x,t) \geq \int_\Omega \psi_i(x,y,t)\bar{u}_i^{l_i}(y,t){\rm d}y,i=1,\cdots,k,& (x,t)\in S_T, \\ \bar{u}_i(x,0) \geq u_{i,0}(x), i=1,\cdots,k,& x\in\Omega. \end{array} \right. (2.1) $$

类似地,可以给出下解$(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_k)$ 的定义. 如果函数$(u_1,\cdots,u_k)$既是问题 (1.5)的上解也是下解,就称是该问题的一个解. 如果对任意的 $0就说问题(1.5)的解$(u_1,\cdots,u_k)$在有限时刻爆破.

定义2 如果$( \bar{u}_1(x,t), \cdots,\bar{u}_k(x,t))$是问题(1.5)在$Q_T$的一个上解,而且(2.1)式的第二个 不等式是严格的,就说该解是严格的上解.

同样也可以给出严格的下解定义.

对于问题(1.5),通过使用固定点定理^[15]及类似文献^[12]中的压缩映 射原理和相应的表达式,我们能够建立起古典正解的局部存在 性. 同时,也类似于文献^[12]的分析,我们能够得到问题的解在 $x\in\overline{\Omega}$和$t>0$时保持大于零的性质以及用于证明解 的整体存在与爆破的比较原理. 由于这些证明或多或少是类似的, 因此我们省略了它们的证明.

引理1 令$u_{1,0}(x),\cdots,u_{k,0}(x)$ 是 $\Omega$ 上的非平凡函数,并且假设 $$ \psi_i(x,\cdot,t) \not\equiv 0,i=1,\cdots,k, x\in\partial \Omega,\ 0如果$(u_1,\cdots,u_k)$是问题(1.5)在$Q_T$ 的一个解,那么$(u_1, \cdots,u_k) > 0$,$x\in \overline{\Omega}$,$t>0$.

引理2 假设$(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_k)$ 和 $(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_l)$ 分别是问题 (1.5)在$Q_T$的非负的下解与上解,而且$x\in\overline{\Omega}$时, $(\tilde{u}_1(x,0),\cdots, \tilde{u}_k(x,0)) \leq (\bar{u}_1(x,0),\cdots,\bar{u}_k(x,0))$. 如果问题(2.2)式成立或者$(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$ 是一个严格的上解,那么在$\overline{Q}_T$有$(\tilde{u}_1,\cdots, \tilde{u}_k) < (\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$.

另外,从线性代数还有

引理3 根据Cramer原理,下列线性方程组 $$ \left( \begin{array}{cccccc} 1 & -p_1 & 0 & ~\cdots ~& 0 & 0 \\ 0 & 1 & -p_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -p_{k-1} \\ -p_k & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \cdots \\ \beta_{k-1} \\ \beta_k \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p_1- p_1 p_2 \cdots p_k \\ p_2 - p_1 p_2 \cdots p_k \\ \cdots \\ p_{k-1} -p_1 p_2 \cdots p_k \\ p_k -p_1 p_2 \cdots p_k \end{array} \right) (2.3) $$

存在唯一解 $(\beta_1 ,\cdots ,\beta_k)^{T}$,其中 $$ \beta_i = p_i + \sum_{l=i+1}^{k + i - 2}p_i \cdots p_l,p_{k+l}:=p_l,(2.4) $$

而且$\beta_i + p_1 \cdots p_k = p_i (1+\beta_{i+1}),\ \beta_{k+1}:= \beta_1,\ i=1,\cdots,k$.

这一部分,我们将给出问题(1.5)解的整体存在与不存在的结果.

定理1 假设指数$l_i,p_i$满足$\max\{ l_i \} \leq 1 $ 和 $p_1 p_2 \cdots p_k \leq 1$,那么对于 任意的权重函数$c_i(x,t),k_i(x,y,t)$和非负的初值$u_{i,0}(x), i=1,\cdots,k$,问题(1.5)存在整体解.

证 令$T>0$是任意常数,下面我们将通过构造问题 (1.5)的一个严格上解来完成定理的证明. 根据权重函数 $c_i(x,t)$ 和$\psi_i(x,y,t)$假设条件,知道存在正的常数$M$使得 $$ c_i(x,t) \leq M,\ (x,t) \in Q_T,\psi_i(x,y,t)\leq M, \ (x,y,t)\in \partial\Omega \times Q_T,\ i=1,\cdots,k. $$

(1) 首先考虑情况$\max\{ l_i \} <1 $. 由于$p_1 p_2 \cdots p_k \leq 1$,因此存在正的常数$\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_k \geq M$,使得 $$ p_1 \alpha_2 \leq \alpha_1,\ \cdots,\ p_{k-1} \alpha_k \leq \alpha_{k-1},\ p_k \alpha_1 \leq \alpha_k (3.1) $$

和$A_1,A_2,\cdots,A_k$ 满足 $$ \left\{ \begin{array}{l} A_i > \max\Big\{ 1,\ \sup_{\overline{\Omega}}u_{i,0}(x), \ (M|\Omega|)^{\frac{1}{1-l_i}}\Big\},\ i=1,\cdots,k, \\[2mm] A_1 \geq A_2^{p_1},\ \cdots,\ A_{k-1} \geq A_k^{p_{k-1}},\ A_k \geq A_1^{p_k}. \end{array} \right. (3.2) $$

定义下面的函数 $$ \bar{u}_1(x,t) = A_1 e^{\alpha_1 t},\ \bar{u}_2(x,t) = A_2 e^{\alpha_2 t},\cdots,\ \bar{u}_k(x,t) = A_k e^{\alpha_k t},x\in\Omega,\ t\geq 0. (3.3) $$

结合(3.1)和(3.2)式并通过简单的计算,得到 $$ \left\{ \begin{array}{ll} \bar{u}_{it} \geq \Delta \bar{u}_i + c_i(x,t) \bar{u}_{i+1}^{p_i} ,\ i=1,\cdots,k,\ \bar{u}_{k+1}:= \bar{u}_1, ~~ & (x,t)\in Q_T, \\[2mm] \bar{u}_i(x,t) > \int_\Omega \psi_i(x,y,t) \bar{u}_i^{l_i}(y,t) {\rm d}y,i=1,\cdots,k,& (x,t)\in S_T, \\[2mm] \bar{u}_i(x,0) \geq u_{i,0}(x), i=1,\cdots,k,& x\in\Omega. \end{array} \right. (3.4) $$

因此,$(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$是问题(1.5)的一个严格上解. 再根据引理2,问题(1.5)存在整体解.

(2) 对于$\max\{ l_i \} =1 $的情况,不失一般性, 假设$l_1=\cdots=l_s=1$, 而 $l_{s+1},\cdots,l_k <1$. 显然,当且仅当权重函数 $\psi_i(x,y,t)$满足 $$ \int_\Omega \psi_i(x,y,t) {\rm d}y <1, x\in \partial\Omega,\ 0 \leq t \leq T,\ i=1,\cdots,s,(3.5) $$

则(3.3)式定义的函数$(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$是问题(1.5)的一个严格上解. 因此,当条件(3.5)不成立时,我们需要 寻求另一个严格的上解. 考虑下面的特征值问题 $$ \Delta \varphi(x) + \lambda \varphi(x) =0,\ x\in \Omega; \varphi(x)=0,\ x\in\partial\Omega (3.6) $$

并令$\lambda_1$是第一特征值而$\varphi(x)$是相应的特征函数而且 $$ \int_\Omega \frac{1}{\varphi(x) + \varepsilon}{\rm d}x \leq \frac{1}{M}, $$

这里$\varepsilon$满足 $$ 0 < \varepsilon < \min \Big\{ 1,\ (M|\Omega|)^{l_{s+1}-1}, \ (M|\Omega|)^{l_{k}-1} \Big\}. (3.7) $$

设 $$ A_i = \sup_{\overline{\Omega}}u_{i,0}(x)\sup_{\overline{\Omega}}(\varphi+\varepsilon) + 1,\ i=1, \cdots,k (3.8) $$

并且选取正的常数$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k$ 满足(3.1)式和 $$ \alpha_i \geq \lambda_1 + \sup_{\overline{\Omega}}\frac{2|\nabla \varphi |^2}{(\varphi+\varepsilon)^2} + M \frac{A_{i+1}^{p_i}}{A_i}\sup_{\overline{\Omega}}(\varphi+\varepsilon)^{1-p_i},\ A_{k+1}:=A_1,\ i=1,\cdots, k. (3.9) $$

另一方面,根据H\"{o}lder不等式得到 $$ \int_\Omega \frac{1}{(\varphi(x) + \varepsilon)^{l_i}}{\rm d}x \leq |\Omega|^{1-l_i} \bigg( \int_\Omega \frac{1}{\varphi(x)+\varepsilon}{\rm d}x \bigg)^{l_i} \leq \frac{|\Omega|^{1-l_i}}{M^{l_i}},\ i=s+1,\cdots, k. (3.10) $$

定义函数 $$ \bar{u}_1(x,t)=\frac{A_1 e^{\alpha_1 t}}{\varphi(x)+\varepsilon},\cdots,\bar{u}_k(x,t)=\frac{A_k e^{\alpha_k t}}{\varphi(x)+\varepsilon} ,\ x\in\Omega,t\geq 0. (3.11) $$

通过简单的计算并结合(3.6)-(3.10)式知道,(3.4)式是成立的. 因此,$(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$ 是问题(1.5)的一个严格 上解. 这样我们证明了问题(1.5)的解存在整体性.

定理2 假设$\max\{l_i\} > 1$,则对于充分大的初值, 问题(1.5)的解一定在有限时刻爆破.

证 令$\lambda_1$是特征问题(3.6)的第一特征值, 而$\varphi(x)$则是相应的特征函数且满足 $$\int_\Omega \varphi(x){\rm d}x =1. $$

由于$\max\{l_i\} > 1$,因此,不失一般性,我们假设$l_1, \cdots,l_s >1$. 取常数 $$ \rho = \sup_{\overline{\Omega}} \varphi(x),k_{i,0}(t) = \frac{\lambda_1}{\rho} \inf_{\partial\Omega \times \overline{\Omega}}k_i(x,y,t),\ i=1,\cdots,s (3.12) $$

并且定义下面的辅助函数 $$ w_i(t) = \int_\Omega u_i(x,t) \varphi(x) {\rm d}x,\ t \geq 0,\ i=1,\cdots,s,(3.13) $$

其中$(u_1,\cdots,u_s,u_{s+1},\cdots,u_k)$是问题(1.5)的一个解. 用函数$\varphi$乘(1.5)式的第一方程的两边然后在 $\Omega$上积分,可得 $$ w_i^\prime(t) = \int_\Omega \big( \Delta u_i + c_i(x,t) u_{i+1}^{p_i} \big)\varphi(x) {\rm d}x. $$

通过使用(3.6)式,Green恒等式和Jensen不等式以及$\int_{\partial\Omega}\frac{\partial\varphi}{\partial \nu} {\rm d}\sigma =-\lambda_1$,

得出 \setcounter{section}{3}\setcounter{equation}{13} \begin{eqnarray} w_i^\prime(t) & =& \int_\Omega \big( -\lambda_1 u_i + c_i(x,t) u_{i+1}^{p_i}\big) \varphi(x){\rm d}x - \int_{\partial\Omega} \frac{\partial\varphi}{\partial \nu} \bigg( \int_\Omega k_i(x,y,t) u_i^{p_i}(y,t){\rm d}y\bigg) {\rm d}\sigma \nonumber\\ & \geq& \int_\Omega \Big( -\lambda_1 u_i + k_{i,0}(t) u_i^{l_i} + c_i(x,t)u_{i+1}^{p_i}\Big)\varphi(x) {\rm d}x \nonumber\\ & \geq& -\lambda_1 w_i(t) + k_{i,0}(t) w_i^{l_i}(t). \end{eqnarray}% (3.14)

因此,函数$w_i(t)$是下列Cauchy问题的一个上解 $$ \left\{ \begin{array}{l} w^\prime(t) = -\lambda_1 w(t) + k_{i,0}(t) w^{l_i}(t), \\[2mm] w(0)=\int_\Omega u_{i,0}(x) \varphi(x) {\rm d}x. \end{array} \right. (3.15) $$

另外,当初值满足 $$ w(0) > \bigg( (l_i-1) \int_0^\infty k_{i,0}(t) e^{-(l_i-1)\lambda_1 t} {\rm d}t\bigg)^{-\frac{1}{l_i -1}} (3.16) $$

时,函数$w(t)$是无界的. 因此,只要初值$u_{i,0}(x)$ 满足 $$ \int_\Omega u_{i,0}(x) \varphi(x) {\rm d}x \geq \bigg( (l_i-1) \int_0^\infty k_{i,0}(t) e^{-(l_i-1)\lambda_1 t} {\rm d}t\bigg)^{-\frac{1}{l_i -1}},\ i=1,\cdots,s, $$

则根据常微分方程的比较原理,我们可以得到问题(1.5)的解$(u_1,\cdots, u_s,u_{s+1},\cdots,u_k)$ 在有限时刻爆破. 这样,

我们就完成了定理的证明.

注1 根据(3.16)式,如果$l_i>1$ 和 $$ \int_0^\infty k_{i,0}(t) e^{-(l_i-1)\lambda_1 t} {\rm d}t = \infty, $$ 则对于任意非负非平凡的初值,问题(1.5)不存在整体解.

注2 令 $$P(u_i,u_{i+1},t) = -\lambda_1 u_i + k_{i,0}(t) u_i^{l_i} + c_i(x,t)u_{i+1}^{p_i}. $$

如果存在非负的函数$\delta(t)$满足 $$ \int_0^\infty \delta(t) {\rm d}t =\infty,P(u_i,u_{i+1},t)\geq \delta(t) u_i^{l_i}, u_i,u_{i+1} \geq 0 ,\ t\geq 0. $$

类似于(3.14)式的分析,只要$w_i(0)>0$,那么$w_i(t)$必在有限时刻爆破.

注3 假设$\min\{ l_i \}>1$, 则问题(1.5)的解是同时爆破的.

下面,我们将讨论对于充分小的初值,问题(1.5)整体解的存在性. 假设 $$ C_M(t) = \max\big\{ C_{1M}(t),C_{2M}(t),\cdots,C_{kM}(t) \big\},\underline{p} = \min\big\{p_1,p_2,\cdots,p_k \big\}, $$

其中 $$ C_{1M}(t) = \sup_{\overline{\Omega}}c_1(x,t),\cdots,C_{kM}(t) = \sup_{\overline{\Omega}}c_k(x,t). $$

另外,取常数$\gamma < (\underline{p}-1)\lambda_1$使得 $$ \int_0^\infty C_M(t) e^{- \gamma t}{\rm d}t < \infty (3.17) $$

以及$A>0$和 $\sigma_1 <(l_1-1)\lambda_1,\cdots,\sigma_k < (l_k-1)\lambda_1$,使得对于$x\in\partial\Omega,t\geq 0$时有 $$ \int_\Omega k_i(x,y,t) {\rm d}y \leq A e^{\sigma_i t},i=1,\cdots,k. (3.18) $$

定理3 假设$\min\{p_1,\cdots,p_k,l_1, \cdots,l_k \} > 1$以及(3.17)-(3.18)式成立,则对于充分 小的初值,问题(1.5)存在全局有界的非负解.

证 因为 $$ \max\bigg\{ \frac{\sigma_1}{l_1 -1},\cdots, \frac{\sigma_k}{l_k -1} \bigg\} < \lambda_1, $$

这样,我们可以选取具有光滑边界$\partial\widetilde{\Omega}$的一个有界区域$\widetilde{\Omega}\subset {\Bbb R}^N$ 使得$\Omega \Subset \widetilde{\Omega}$和下列特征值问题 $$ \Delta \varphi(x) + \lambda \varphi(x) =0,\ x\in \widetilde{\Omega}; \varphi(x)=0, \ x\in\partial\widetilde{\Omega} $$

的第一特征值$\tilde{\lambda}$ 满足 $$ \max\bigg\{ \frac{\sigma_1}{l_1 -1},\cdots, \frac{\sigma_k}{l_k -1},\frac{\gamma}{\underline{p} -1} \bigg\} \leq \tilde{\lambda} < \lambda_1. (3.19) $$

令$\widetilde{\varphi}(x)$表示特征值$\tilde{\lambda}$所对应的特征函数. 显然存在一些常数$a>1$使得 $$ 1 < \frac{\sup_{\widetilde{\Omega}} \widetilde{\varphi}}{\inf_{\overline{\Omega}} \widetilde{\varphi}} < a. (3.20) $$

再选取$\varepsilon$满足不等式 $$ 0 < \varepsilon < \max\Big\{ (A a^{l_1})^{-\frac{1}{l_1 -1}},\cdots,(A a^{l_k})^{-\frac{1}{l_k -1}} \Big\} (3.21) $$

和 $$ \sup_{\widetilde{\Omega}}\widetilde{\varphi}(x) = a \varepsilon. (3.22) $$

这样,从(3.20)式得到 $$ \inf_{\partial\Omega} \widetilde{\varphi}(x)>\varepsilon, \widetilde{\varphi}(x)>\varepsilon,\ x\in\Omega. (3.23) $$

下面,对于任意的$T>0$,我们通过构造问题(1.5)在$Q_T$的一个严格上解来完成定理的证明.

取下列的非负函数 $$ f_i(t) = e^{-\tilde{\lambda}t}\bigg( B - \frac{\mu (p_1 \cdots p_k -1 )}{1 + \beta_0}\int_0^t C_M(\tau) e^{-(\underline{p} -1)\tilde{\lambda} \tau}{\rm d}\tau \bigg)^{-\frac{1 + \beta_i}{p_1 \cdots p_k -1}},\ i=1, \cdots,k,(3.24) $$

其中 $$ \left\{ \begin{array}{l} \mu = \max\big\{ (a \varepsilon)^{p_1 -1},\cdots,(a \varepsilon)^{p_k -1} \big\}, \\ \beta_0 =\min\big\{ \beta_1,\cdots,\beta_k \big\} \\[2mm] B = 1 + \frac{\mu (p_1 \cdots p_k -1)}{1 + \beta_0} \int_0^\infty C_M(t) e^{-(\underline{p}-1)\tilde{\lambda}t} {\rm d}t, \end{array} \right. (3.25) $$

这里的$(\beta_1,\cdots,\beta_k)$ 是线性方程组(2.3)的解.

容易验证 $$ f_i^\prime(t) + \tilde{\lambda} f_i(t) - (a \varepsilon)^{p_i - 1} C_{iM}(t) f_{i+1}^{p_i}(t) \geq 0,\ i=1, \cdots,k,\ f_{k+1}:= f_1. (3.26) $$

又设 $$ \bar{u}_1(x,t) = f_1(t) \widetilde{\varphi}(x),\cdots,\bar{u}_k(x,t) = f_k(t) \widetilde{\varphi}(x), x\in\Omega,\ t \geq 0. (3.27) $$

经过简单的计算并且结合(3.22)和(3.26)式,可以得到 $$ \bar{u}_{it} - \Delta \bar{u}_i - c_i(x,t) \bar{u}_{i+1}^{p_i} \geq 0,i=1,\cdots,k,\ \bar{u}_{k+1}:=\bar{u}_1,\ (x,t)\in Q_T. (3.28) $$

另一方面,对于$x\in\partial\Omega,t>0$, \setcounter{section}{3}\setcounter{equation}{28} \begin{eqnarray} \bar{u}_i(x,t) &=& f_i(t)\widetilde{\varphi}(x) > \varepsilon f_i(t) \geq A(a\varepsilon)^{l_i}f_i(t) \nonumber\\ & \geq &\int_\Omega k_i(x,y,t) \widetilde{\varphi}^{l_i}(y)f_i^{l_i}(t) {\rm d}y \nonumber\\ &=& \int_\Omega k_i(x,y,t) \bar{u}_i^{l_i}(y,t){\rm d}y,i=1,\cdots,k. % (3.29) \end{eqnarray}

因此,根据比较原理,只要初值数据满足 $$ u_{i,0}(x) < B^{-\frac{1+\beta_i}{p_1 \cdots p_k -1}}\widetilde{\varphi}(x),i=1,\cdots,k, $$

则问题(1.5)存在整体解. 这样,我们就完成了定理的证明.

定理4 假设$\min\{l_1,\cdots,l_k \} \geq 1$.

(1) 如果 $ p_1 \cdots p_k > 1$ 和存在常数$\delta_0$使得权重函数 $c_i(x,t),k_i(x,y,t)$ 满足 $$ \int_0^\infty C_0(t) {\rm d}t = \infty, \left\{ \begin{array}{ll} \int_\Omega k_i(x,y,t){\rm d}y \geq 1,l_i=1,& x\in\partial\Omega,t\geq 0, \\[3mm] \int_\Omega k_i(x,y,t){\rm d}y \geq \delta_0 >0,l_i>1,~~&x\in\partial\Omega,t\geq 0, \end{array} \right. (3.30) $$

其中 $$ C_0(t) = \min\Big\{ \inf_{\overline{\Omega}}c_1(x,t), \cdots,\inf_{\overline{\Omega}}c_k(x,t) \Big\}. $$

则对于任意非平凡非负的初值,问题(1.5)的解必在有限时刻爆破.

(2) 如果存在常数 $M$,$K_0$ 使得权重函数$c_i(x,t),k_i(x,y,t)$满足 $$ \left\{ \begin{array}{ll} c_i(x,t) \leq M < \tilde{\lambda}, & x\in\overline{\Omega},\ t\geq 0,\ i=1,\cdots,k, \\[2mm] \int_\Omega k_i(x,y,t){\rm d}y \leq K_0 <1,~~ & x\in\partial\Omega,\ t\geq 0,\ i=1,\cdots,k \end{array} \right. (3.31) $$

这里,$\tilde{\lambda}$由(3.19)式给出. 那么,对于充分小的初值数据,问题(1.5)存在全局有界的非负解.

证 不失一般性,从$\min\{ l_i \} \geq 1$我们可以假设 $ l_1 = \cdots = l_s =1,\ l_{s+1},\cdots,l_k >1.$

(1) 设$t_0>0$ 和 $(u_1,\cdots,u_k)$ 是问题(1.5)的一个解. 根据引理1知道存在$\varepsilon_0>0$使得 $$ u_1(x,t_0) \geq \varepsilon_0,\cdots,u_k(x,t_0)\geq \varepsilon_0,x\in\overline{\Omega}. (3.32) $$

然后,取常数$\varepsilon$充分大满足 $$ \varepsilon \geq \max\Big\{\varepsilon_0^{-\frac{p_1 \cdots p_k -1}{1 + \beta_1}},\cdots, \varepsilon_0^{-\frac{p_1 \cdots p_k -1}{1 + \beta_k}} \Big\},(3.33) $$

这里,$(\beta_1,\cdots,\beta_k)$表示线性方程组(2.3)的解. 令 $\bar{p} = \max\big\{ p_1, \cdots,p_k \big\}$ 以及定义非负函数 $$ \tilde{u}_i(t) = \bigg( \varepsilon - \frac{p_1 \cdots p_k -1 }{1+\bar{p}} \int_{t_0}^t C_0(\tau) {\rm d}\tau \bigg)^{-\frac{1+\beta_i}{p_1 \cdots p_k -1}},i=1,\cdots,k. (3.34) $$

经过简单的计算,得到 $$ \tilde{u}_{it} \leq \Delta \tilde{u}_i + c_i(x,t) \tilde{u}_{i+1}^{p_i},i=1,\cdots,k,\ \tilde{u}_{k+1}:= \tilde{u}_1,\ x\in\Omega,t \geq t_0. (3.35) $$

另一方面,如果 $l_i=1$ 和对于$x\in\partial\Omega,t\geq t_0$,显然从(3.30)式有 $$ \tilde{u}_{i}(t)\leq \int_\Omega k_i(x,y,t) \tilde{u}_i(t) {\rm d}y = \int_\Omega k_i(x,y,t) \tilde{u}_i^{l_i}(t) {\rm d}y. (3.36) $$

如果$l_i>1$,根据$\tilde{u}_i(t)$的定义和(3.30)式,我们可以选取常数$t_i>t_0$使得 $$ \tilde{u}_i(t) \geq \delta_0^{-\frac{1}{l_i -1}},t \geq t_i. (3.37) $$

令$t^* = \max\{ t_0,t_{s+1},\cdots,t_k \}$. 这样,对于$x\in\partial\Omega,t\geq t^*$,我们获得 $$ \tilde{u}_{i}(t)\leq \int_\Omega k_i(x,y,t) \tilde{u}_i^{l_i}(t) {\rm d}y. (3.38) $$

因此,$(\tilde{u}_1(t),\cdots,\tilde{u}_k(t))$是问题(1.5)在 $Q_T \cap \{t>t^*\}$的一个下解,这里 $t^* < T 这样,根据比较原理就可以得到结论.

(2) 类似于定理3的讨论,我们可以在${\Bbb R}^N$构造一个有界区域 $\widetilde{\Omega}\supset \Omega$ 使得(3.20)式的 常数$a$满足 $a < \frac{1}{K_0}$. 下面我们分三种情况来完成证明.

首先,假设$p_1,\cdots,p_k>1$. 令 $\varepsilon>0$ 表示一个充分小的常数且满足(3.22)式和 $$ \varepsilon \leq \min\bigg\{ \frac{1}{a}\inf_{x\in\overline{\Omega}, t\geq 0}\Big( \frac{\tilde{\lambda}}{c_i(x,t)} \Big)^{\frac{1}{p_i -1}}, \big(a^{l_{n}}K_0\big)^{\frac{-1}{l_{n}-1}}, i=1,\cdots,k; \ n=s+1,\cdots,k \bigg\}. (3.39) $$

设 $$ \bar{u}_1(x,t) = \bar{u}_2(x,t) = \cdots = \bar{u}_k(x,t) = \widetilde{\varphi}(x),x\in\Omega,t \geq 0. (3.40) $$

容易验证 $$ \bar{u}_{it} \geq \Delta \bar{u}_i + c_i(x,t) \bar{u}_{i+1}^{p_i},i=1,\cdots,k, \bar{u}_{k+1}:=\bar{u}_1,x\in\Omega,t \geq 0. (3.41) $$

另一方面,如果$l_i=1$,则对于$x\in\partial\Omega,t \geq 0$,从(3.22)和(3.31)式可以得到 $$ \bar{u}_{i}(x,t) > \int_\Omega k_i(x,y,t) \bar{u}_i(y,t) {\rm d}y = \int_\Omega k_i(x,y,t) \bar{u}_i^{l_i}(y,t) {\rm d}y. (3.42) $$

类似地,如果$l_i>1$,则对于$x\in\partial\Omega,t \geq 0$, 从(3.22),(3.23),(3.31)和(3.39)式可以得到 $$ \int_\Omega k_i(x,y,t) \bar{u}_i^{l_i}(y,t){\rm d}y \leq (a \varepsilon)^{l_i}\int_\Omega k_i(x,y,t){\rm d}y \leq K_0 (a \varepsilon)^{l_i} \leq \varepsilon < \bar{u}_i(x,t). (3.43) $$

因此,只要初值数据充分小而且满足 $$ \bar{u}_1(x,0) = \widetilde{\varphi}(x) \geq u_{1,0}(x),\cdots,\bar{u}_k(x,0) = \widetilde{\varphi}(x) \geq u_{k,0}(x),(3.44) $$

那么,$(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$就是问题(1.5)的一个上解.

其次,假设$p_1,\cdots,p_r>1$ 而 $p_{r+1}=\cdots=p_k=1$.

这样,如果选取正的常数$\varepsilon$满足(3.22)式和 $$ \varepsilon \leq \min\bigg\{ \frac{1}{a}\inf_{x\in \overline{\Omega},t\geq 0}\Big( \frac{\tilde{\lambda}}{c_i(x,t)} \Big)^{\frac{1}{p_i -1}},\big(a^{l_{n}}K_0\big)^{\frac{-1}{l_{n}-1}}, i=1,\cdots,r; \ n=s+1,\cdots,k \bigg\}. (3.45) $$

类似于情况一的讨论,我们可以得出(3.40)式定义的函数$(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$是问题(1.5)的一个上解.

最后,假设$p_1,\cdots,p_{r} > 1$,$p_{r+1}=\cdots=p_{r_1} = 1$,$p_{r_1+1},\cdots,p_k <1$. 根据 $M < \tilde{\lambda}$的假设,我们可以构造${\Bbb R}^N$的一个有界区域$\widetilde{\Omega} \supset \Omega$ 使得 (3.20)式的常数$a$满足 \begin{eqnarray*} a &<& \min\bigg\{ \frac{1}{K_0}, \Big( \frac{\tilde{\lambda}}{M}\Big)^{\frac{p_j - p_i} {(p_j -1)(1-p_i)}}, \Big(K_0^{-1}\Big(\frac{\tilde{\lambda}}{M}\Big)^{\frac{l_n -1} {1-p_i}}\Big)^{\frac{1}{l_n}},\\ &&\qquad j=1,\cdots,r; i=r_1+1, \cdots,k; \ n=s+1,\cdots,k \bigg\}, \end{eqnarray*}

再从此不等式得到 \setcounter{section}{3}\setcounter{equation}{45} \begin{eqnarray} && \max\bigg\{ \Big( \frac{M}{\tilde{\lambda}} \Big)^{\frac{1}{1-p_i}},\ i=r_1+1,\cdots,k \bigg\} \nonumber\\ & <& \min\bigg\{ \frac{1}{a}\Big( \frac{\tilde{\lambda}}{M}\Big)^{\frac{1}{p_j-1}},\ \big(a^{l_n}K_0\big)^{-\frac{1}{l_n-1}},\ j=1,\cdots,r; \ n=s+1,\cdots,k \bigg\}. %(3.46) \end{eqnarray}

由此,选取正的常数$\varepsilon$满足(3.22)式和不等式 \begin{eqnarray} && \max\bigg\{\sup_{x\in\overline{\Omega},t\geq 0}\Big(\frac{c_i(x,t)}{\tilde{\lambda}}\Big)^{\frac{1}{1-p_i}}, \ i=r_1+1,\cdots,k \bigg\} < \varepsilon \nonumber\\ &< &\min\bigg\{\frac{1}{a}\inf_{x\in\overline{\Omega},t\geq 0}\Big( \frac{\tilde{\lambda}}{c_j(x,t)} \Big)^{\frac{1}{p_j-1}},\big( a^{l_n}K_0\big)^{-\frac{1}{l_n-1}},\ j=1,\cdots,r; \ n = s+1,\cdots,k\bigg\}. %(3.47) \end{eqnarray}

类似于上面的分析,可以证明(3.40)式定义的函数 $(\bar{u}_1,\cdots,\bar{u}_k)$是问题(1.5)的一个上解. 因此,根据比较原理,我们就完成了定理的证明.

本文所考虑的是一个具有非线性非局部边界条件,而且是权重函数与源项相乘的耦合抛物方程组,其中函数 $u_i$是在区域$\Omega$上取权重函数$\psi_i(x,y,t)$的加权均值作为其边界值条件.

粗略地说,在问题的边界条件中较大的非线性项$u_i^{l_i}(y,t)$指数$l_i$,和较大的权重函数$\psi_i(x,y,t)$有利于解 的爆破发生. 从定理1知道,如果$l_i$ 和 $p_i$ 充分小且满足 $$ \max\big\{ l_1,\cdots,l_k \big\} \leq 1,p_1 p_2 \cdots p_k \leq 1, $$

则问题(1.5)的解整体存在. 但相反,当 $$ \min\big\{ l_1,\cdots,l_k \big\} \geq 1,p_1 p_2 \cdots p_k > 1 $$

时,根据定理4(1),只要权重函数 $c_i(x,t),\psi_i(x,y,t)$ 满足(3.30)式, 则问题的解一定会在有限时刻爆破. 另外,如果 $\min\big\{ l_1,\cdots,l_k \big\} \geq 1$ 和权重函数满足(3.31)式, 则根据定理4(2)知道,问题(1.5)的解对于充分小的 初值数据是整体存在的.

换言之,问题(1.5)的解是否爆破不仅依赖于权重函数$c_i(x,t)$, $\psi_i(x,y,t)$的性质,也与指数$l_i$和$p_i$的大小有关.