本文,我们考虑如下问题 $$\begin{equation}\label{eqone} \left\{\begin{array}{ll} -\bigtriangledown \bigg[\gamma \bigg(\frac{1}{2}(v(x)u^2+ |\bigtriangledown u|^2)\bigg)\bigtriangledown u\bigg]+\gamma \bigg (\frac{1}{2}(v(x)u^2+|\bigtriangledown u|^2)\bigg)v(x)u \\[2mm] = \lambda v(x)u+h(x) x\in R^N,\\ u\in D^{1,2}(R^N),u(x)\to0,\qquad x\to\infty, \end{array}\right.(1.1) \end{equation}$$

这里 $N\geq 3$,$\lambda \in R$. 函数 $\gamma ,h(x),v(x)$ 适合如下条件

($\gamma _1$)~ $\gamma \in C([0,+\infty ),R)$ 是 $[0,\infty)$ 上的非增函数,且$\gamma (\infty )=\lim\limits_{t\longrightarrow \infty } \gamma (t)>0$;

($\gamma _2$)~ 令 $\Gamma (t)=\int _{0} ^{t}\gamma (t){\rm d}t$, $g(t)=\Gamma (t^2)$,则存在 $\rho >0$,满足 $$g(t)\geq g(s)+g'(s)(t-s)+\rho (t-s)^2$$

对所有的 $t,s\geq 0$成立;

($h_1$)~ $h(x)\in L^{\frac{2N}{N+2}}(R^N)$,且在 $R^N$ 上 $h(x)\geq 0$几乎处处成立,$h(x)\not\equiv 0$;

($v_1$)~ $0我们研究问题(1.1) 思想主要来源于 Stuart教授$^{^[9]}$研究 有界区域上拟线性椭圆型方程的狄利克里问题,他的工作很强依赖 Sobolev空间$H_{0}^{1}(\Omega )$嵌入到$L^{2*}(\Omega )$具有 紧性这一重要结果. 在他的工作之后,赵越$^{^[13]}$研究了$R^N$上一类拟线性椭圆方程正解的存在性. 为了得到问题(1.1)的解, 我们采用与文献^{[1, 2, 3, 10]}一样运用变分方法, 研究与问题(1.1)对应的变分泛函

事实上,函数 $\gamma ,h(x),v(x)$ 适合以上假设是为了对所有的 $\lambda \in R$泛函 $\Phi _{\lambda ,h} \in C^1(D^{1,2}$ $(R^N),R)$,并且 $\Phi _{\lambda ,h}$ 的临 界点的达到函数是问题(1.1)的弱解.

显然,对所有的 $\lambda$,当$h\equiv 0$时,$u\equiv 0$ 总是问题(1.1) 的一个解; 如果$\gamma (0)=\gamma (\infty )$ 并且 $h\equiv 0$,则$\gamma$ 是一个常数, 则问题(1.1) 就是如下线性方程的特征问题

令 $$\lambda _1=\inf\bigg\{ \int _{R^N}|\bigtriangledown u|^2: u\in D^{1,2}(R^N),\int _{R^N}v(x)u^2{\rm d}x=1\bigg\},$$

显然 $\lambda _1>0$ 是第一特征值,并且存在相应的特征函数 $\varphi \in D^{1,2}(R^N)$,$\varphi >0$ 且满足 $$-\Delta \varphi =\lambda _1v(x)\varphi ,\qquad x\in R^N.$$

本文,我们研究在$\gamma (\infty )<\gamma (0)$条件下, 问题 (1.1)具有拟线性椭圆方程结构的情形. 我们证明了

定理1.1 假设$(\gamma _1),(\gamma _2)$ $(h_1)$ 和$(v_1)$ 都满足, 且 $\gamma (\infty )<\gamma (0)$ 并且$\lambda$ 适合 $\gamma (\infty )+\gamma (\infty )\lambda _1<\lambda <\gamma (0)+\gamma (\infty )\lambda _1$, 则存在常数$H_\lambda >0$, 当 $0<|h|_{L^{\frac{2N}{N+2}}}<H_\lambda$时, 问题(1.1)在 $D^{1,2}(R^N)$中至少存在两个非负解.

为了证明我们的结果,我们需要如下引理. 在本节, 我们用$(X,\|.\|)$表示一个实的Banach空间,($X^*,\|.\|_*$) 为其对偶空间.

首先,我们引用文献^{[3, 7, 9, 10]}中给出的变分泛函具有山 路引理几何结构,则Cerami序列存在的结果.

引理2.1 设 $\Phi \in C^1(X,R)$ 和$e\in X\setminus \{0\}$. 令 $P(e)=\{p\in C([0,1],X):p(0)=0 ,$ $p(1)=e\}$, $c(e)=\inf_{p\in P(e)}\max_{t\in [0,1]} \Phi (p(t))$. 假设

$\{p_n\}\subset P(e)$ 是一串路径使得 $M_n=\max\limits_{t\in [0,1]}\Phi(p_n(t))\rightarrow c(e)$. 则存在一 串序列$\{u_n\}\subset X$ 满足 $$\Phi(u_n)\rightarrow c(e),(1+||u_n||)||\Phi '(u_n)||_{*} \rightarrow 0$$

且 $$\frac{d(u_n,p_n([0,1]))}{(1+||u_n||)}\rightarrow 0 \mbox{当} n\rightarrow \infty .$$

引理2.1的证明已在文献^[7]中给出.

引理2.2 (1) 假设条件$(\gamma _1)$,$(h_1)$ 和 $(v_1)$ 满足, 则$\Phi _{\lambda ,h}\in C^{1}(D^{1,2}(R^N),R)$, 并且对所有的 $\lambda \in R$,我们有 $$\begin{equation} \label{eqtwo} \left\{\begin{array}{ll} (\Phi '_{\lambda ,h}(u),\varphi )=\int _{R^N} \bigg[\gamma \bigg(\frac{1}{2}(v(x)u^2+|\bigtriangledown u|^2)\bigg)(v(x) u\varphi +\bigtriangledown u.\bigtriangledown \varphi )- \lambda u\varphi -h\varphi \bigg]{\rm d}x\\ [2mm] u,\varphi \in D^{1,2}(R^N). \end{array}\right.(2.2) \end{equation}$$

(2) 如果进一步增加条件 $(\gamma _2)$,则 $\Phi _{\lambda ,h}:D^{1,2}(R^N)\rightarrow R$ 是弱下半连续的.

证 (1) 首先定义 $F:(R^N)\times R\times R^N \to R$ 映射 $$F(x,s,p)=\Gamma \bigg(\frac{1}{2}[v(x)s^2+|\bigtriangledown u|^2]\bigg) -\frac{\lambda }{2}s^2-sh(x).$$

我们容易验证 文献^[8]中定理C.1 的假设条件满足,从而结论(1)得证.

(2) 假设 $\omega _n\rightharpoonup \omega$ 在$D^{1,2}(R^N)$ 弱收敛,由$D^{1,2}(R^N)$空间的性质及嵌入定理 ,我们可以假设$\omega _n$ 在 $L^{p}_{loc}(R^N)$ ($2\leq p< \frac{2N}{N-2}$) 空间中强收敛 . 结合$v(x)$ 和 $h(x)$假设条件,我们可以得到 $$\int_{R^N}v(x)(\omega _n-\omega )^2{\rm d}x\longrightarrow 0$$

且 $$\int _{R^N}h(x)(\omega _n-\omega ){\rm d}x\longrightarrow 0.$$

从而,为了证明(2)的结果,我们只需证明 $$\Phi _{0,0}(\omega )\leq \liminf_{n\longrightarrow \infty } \Phi _{0,0}(\omega _n)$$

对于任意的 $u,v\in D^{1,2}(R^N)$成立. 令 $y=(\sqrt{v(x)} u,\bigtriangledown u)$, $z=(\sqrt{v(x)} v,\bigtriangledown v)$,则 $$yz=v(x)uv+\bigtriangledown u\bigtriangledown v.$$

由条件($\gamma _2$),我们得到 $$\begin{eqnarray} \Phi _{0,0}(u)-\Phi _{0,0}(v) &=&\int _{R^N} \bigg(g(\frac{|y|}{\sqrt{2}})-g(\frac{|z|}{\sqrt{2}})\bigg){\rm d}x \geq \int _{R^N}g'(\frac{|z|}{\sqrt{2}})\frac{|y|-|z|}{\sqrt{2}}{\rm d}x \nonumber \\ &=&\int _{R^N}\gamma (\frac{|z|^2}{2})\sqrt{2}|z|\frac{|y|-|z|}{\sqrt{2}}{\rm d}x.(2.3) \end{eqnarray}$$

由结论(1)可知 $$\begin{eqnarray} \Phi '_{0,0}(v)(u-v)&=&\int _{R^N}\bigg(\gamma (\frac{1}{2}|z|^2)v(u-v)+\bigtriangledown v\bigtriangledown (u-v)\bigg){\rm d}x\nonumber \\ &=&\int _{R^N}\gamma (\frac{1}{2}|z|^2)z(y-z){\rm d}x.(2.4) \end{eqnarray}$$

因此 $$\begin{eqnarray} \Phi _{0,0}(u)-\Phi _{0,0}(v)-\Phi '_{0,0}(v)(u-v) &\geq &\int _{R^N}\gamma (\frac{1}{2}|z|^2)(|z|(|y|-|z|)-z(y-z)){\rm d}x\nonumber \\ &=&\int _{R^N}\gamma (\frac{1}{2}|z|^2)(|z||y|-zy){\rm d}x\geq 0.(2.5) \end{eqnarray}$$

令 $u=\omega _n$,$v=\omega$,这样可得 $$\Phi _{0,0}(\omega )\leq \Phi _{0,0}(\omega _n)- \Phi '_{0,0}(\omega )(\omega _n-\omega ).$$

又因为$\omega _n\rightharpoonup \omega$ 在 $D^{1,2}(R^N)$ 中弱收敛,且 $$\Phi '_{0,0}(\omega )\in (D^{1,2}(R^N))^*,$$ 因此 $$\Phi '_{0,0}(\omega )(\omega _n-\omega )\longrightarrow 0.$$

则 得到我们要证的结论 $$\Phi _{0,0}(\omega )\leq \liminf_{n\longrightarrow \infty } \Phi _{0,0}(\omega _n).$$

证毕.

引理2.3 假设条件($\gamma _1$),($h_1$),($v_1$)满足, 且 $\lambda <\gamma (0)+\gamma (\infty )\lambda _1$,令 $$\mu _{\lambda }=\min\bigg\{ \gamma (\infty ),\gamma (\infty ) +\frac{\gamma (0)-\lambda }{\lambda _1}\bigg\}>0.$$ 则存在$R_\lambda >0$,使得对所有的 $\|u\|=R_{\lambda }$,及 $|h|_2\leq \frac{\mu _{\lambda }}{8}R_{\lambda } \sqrt{\lambda _1}\equiv H_{\lambda }$,有 $$\Phi _{\lambda ,h}(u)\geq \frac{\mu _{\lambda }} {8}R^{2}_{\lambda }.$$

这个引理得证明与文献^[9]中引理4.1 的证明相同,在此我们就不再重复. 引理2.4 假设 条件 $(\gamma _1)$满足,$\phi$ 是特征值$\lambda _1$ 所对应的正特征函数. 则对所有的 $\lambda \in R$,有 $$\lim_{t\longrightarrow \infty }\frac{\Phi _{\lambda ,h} (t\phi )}{t^2}\longrightarrow \frac{\lambda (\infty ) [1+\lambda _1]-\lambda }{2}\int _{R^N}v(x)\phi ^2{\rm d}x.$$

证 首先,易证 $$\lim_{t\longrightarrow \infty }\frac{\Gamma(\frac{t^2}{2} (v(x)\phi ^2+|\bigtriangledown \phi |^2))}{t^2}= \frac{\gamma (\infty )}{2}(v(x)\phi ^2 +|\bigtriangledown \phi |^2)$$ 在 $R^N$上几乎处处成立.

另一方面 $$0\leq \frac{\Gamma(\frac{t^2}{2}(v(x)\phi ^2+|\bigtriangledown \phi |^2))}{t^2}=\frac{\gamma (0)}{2}(v(x)\phi ^2 +|\bigtriangledown \phi |^2).$$

令 $t\longrightarrow \infty$,由控制收敛定理,可以得到 $$\begin{eqnarray} \frac{\Phi _{\lambda ,h}(t\phi )}{t^2}&=& \int _{R^N} \bigg(\frac{\Gamma(\frac{t^2}{2}(v(x)\phi ^2+|\bigtriangledown \phi |^2))}{t^2}-\frac{1}{2}\lambda v(x)\phi ^2-\frac{h\phi }{t} \bigg){\rm d}x\nonumber\\ &\longrightarrow &\int _{R^N}[(\gamma (\infty )-\lambda )v(x)\phi ^2+\gamma (\infty )|\bigtriangledown \phi |^2]{\rm d}x\nonumber\\ &=&\frac{[\gamma (\infty )-\lambda +\gamma (\infty )\lambda _1]}{2}\int _{R^N}\phi ^2{\rm d}x.(2.6) \end{eqnarray}$$

证毕. 注 结合引理2.3 和 2.4,我们可以得到对某些$\lambda$, 泛函 $\Phi _{\lambda ,h}$具有山路引理得几何结构. 引理2.5 假设条件 $(\gamma _1)$ 和($h_1$) 满足, 并且 $(\lambda ,h)$ 适合 $\gamma (\infty )(1+\lambda _1) <\lambda <\gamma (0)+\gamma (\infty )\lambda _1$,

且$|h|_2\leq H_{\lambda }$. 令 $S=\{u\in X :u\geq 0,$ a.e. in $R^N\}$. 则存在序列$\{u_n\}\in X$,满足 $$\begin{eqnarray} &&\Phi _{\lambda ,h}(u_n)\longrightarrow C>0,\nonumber \\ &&(1+\|u_n\|)\Phi '_{\lambda ,h}(u_n)\longrightarrow 0,\\ &&\frac{d(u_n,S)}{1+\|u_n\|}\longrightarrow 0.\nonumber(2.7) \end{eqnarray}$$

且,(i) $u_n\longrightarrow u\in S$ 弱收敛$X$;

(ii) $\|u_n\|\longrightarrow \infty$两种情况中有一种一定成立.

在情形 (ii)中, 对任意 $K>0$,我们可以选取序列 $\omega _n =K\frac{u_n}{\|u_n\|}\rightharpoonup \omega \in S$ (在 $X$中弱收敛).

这个引理就是文献^[9]中的性质 6.1. 性质2.1 如果条件 $(\gamma _1),(\gamma _2)$ 满足.

则对所有的 $\lambda ,t\in R$,我们有 $$\Phi _{\lambda ,h}(tu)\leq (1+t)\Phi _{\lambda ,0}(u)-t \Phi _{\lambda ,h} (u)+\frac{t^2-1}{2}\Phi '_{\lambda ,0}(u)u.$$ 证 固定$\lambda \in R$ 和 $u\in D^{1,2}(R^N)$, 对 $s\geq 0$ 考虑定义为 $$q(s)=\Phi _{\lambda ,0}(\sqrt{s}u)=\int _{R^N}\bigg(\Gamma (\frac{s}{2}[v(x)u^2+|\bigtriangledown u|^2])-\frac{\lambda } {2}sv(x)u^2\bigg){\rm d}x$$ 的映射$q:[0,\infty )\longrightarrow R$.

由引理2.1,我们可证 对所有的 $s>0$,$q\in C^1( 0,\infty )\cap C[0,\infty )$ 且 $q'(s)=\Phi '_{\lambda ,0}(\sqrt{s}u) \frac{1}{2\sqrt{s}}u$. 由条件$(\gamma _1)$,我们知道$q$ 是 $[0,\infty )$ 的凸函数,且对所有的 $s\geq 0$ $q(s)\leq q(1)+q'(1)(s-1)$. 令 $s=t^2$,我们得到 $$\begin{eqnarray} \Phi _{\lambda ,0}(tu)=\Phi _{\lambda ,0}(|t|u)=q(s)\leq \Phi _{\lambda ,0}(u)+\frac{t^2-1}{2}\Phi '_{\lambda ,0}(u)u.(2.8) \end{eqnarray}$$

由于 $$\Phi _{\lambda ,h}(u)=\Phi _{\lambda ,0}(u)-\int _{R^N}uh{\rm d}x$$

且 $$\Phi '_{\lambda ,h}(u)u=\Phi '_{\lambda ,0}(u)u-\int _{R^N}uh{\rm d}x.$$

所以 $$\Phi _{\lambda ,h}(tu)+t\int _{R^N}uh{\rm d}x=\Phi _{\lambda ,0}(tu)\leq \Phi _{\lambda ,0}(u)+\frac{t^2-1}{2}\Phi '_{\lambda ,0}(u)u,$$

并且 $$\Phi _{\lambda ,h}(u)-\Phi _{\lambda ,0}(u)=\int _{R^N}uh{\rm d}x.$$

从而得到我们要证的结论 $$\begin{eqnarray} \Phi _{\lambda ,h }(tu)&\leq &\Phi _{\lambda ,0}(u)+\frac{t^2-1}{2}\Phi '_{\lambda ,0}(u)u-t\int _{R^N}uh{\rm d}x\nonumber \\ &=&(1+t)\Phi _{\lambda ,0}(u)-t\Phi _{\lambda ,h}(u)+\frac{t^2-1}{2}\Phi '_{\lambda ,0}(u)u.(2.9) \end{eqnarray}$$

证毕.

性质2.2 假设条件 $(\gamma _1)$ 满足,如果 $(\lambda ,h)$ 适合 $\gamma (\infty )[1+\lambda _1]<\lambda <\gamma (0)+\gamma (\infty )\lambda _1$ 且 $\|h\|_2\leq H_{\lambda }$. 记 $$S=\{u\in D^{1,2}(R^N): u\geq 0~~{\rm a.e. \ in}~ R^N\}.$$

则存在序列 $\{u_n\}$ 适合 $$\begin{eqnarray} \Phi _{\lambda ,h}(u_n)\longrightarrow c>0,(1+\|u_n\|) \Phi '_{\lambda ,h}(u_n)\longrightarrow 0,\frac{d(u_n,S)} {1+\|u_n\|}\longrightarrow 0.(2.10) \end{eqnarray}$$

性质2.3 如果条件 $(\gamma _1)$ 和 $(\gamma _2)$ 都满足,则对所有的 $u,v\in D^{1,2}(R^N)$ 和 $\lambda \in R$,有 $$\begin{eqnarray} \frac{\eta }{2}\|u-v\|^2\leq \Phi _{\lambda ,h}(u)- \Phi _{\lambda ,h}(v)+\|\Phi '_{\lambda ,h}(v)\|_{*}\|u-v\| +\frac{\lambda }{2}|u-v|^2_2(2.11) \end{eqnarray}$$

成立(这里 $\eta =\min\{\rho ,\gamma (\infty )$).

上述性质2.2 和2.3 的证明可在文献^[9]中查看. \setcounter{section}{3}\setcounter{equation}{0}

在本节,我们将证明本文的主要结果.

定理3.1 假设条件 $(\gamma _1)$,$(\gamma _2)$,$(h_1)$,$(v_1)$ 都满足,且$\lambda <\gamma (0)+\gamma (\infty )\lambda _1$, $|h|_2\leq H_{\lambda }$. 则存在函数 $u_1=u_1(\lambda ,h)\in B(0,R_\lambda ),$ 使得对所有的 $v\in \overline{B(0,R_\lambda )}$, $\Phi _{\lambda ,h}(u_1)\leq \Phi _{\lambda ,h}(v)$, 且 在$R^N$上函数 $u_1\geq 0$,并且 $\Phi '_{\lambda ,h}(u_1)=0$,$\Phi _{\lambda ,h}(u_1)<0$ (这里 $H_{\lambda }$ 和 $B_{\lambda }$ 由引理2.3给出).

证 对任意的$u\in D^{1,2}(R^N)$ 且 $u>0$,

我们可以得到 $$\begin{equation} \Phi _{\lambda ,h}(tu)=\int _{R^N}\Gamma (\frac{1}{2}(v(x)t^2u^2+t^2|\bigtriangledown u|^2)){\rm d}x-\frac{\lambda }{2}\int _{R^N}v(x)t^2u^2{\rm d}x-\int _{R^N}tuh{\rm d}x.(3.1) \end{equation}$$

因此 $$\begin{equation} \frac{{\rm d}\Phi _{\lambda ,h}(tu)}{{\rm d}t} =t\int _{R^N} \bigg[\gamma (\frac{1}{2}(v(x)t^2u^2+t^2|\bigtriangledown u|^2))(v(x)u^2 +|\bigtriangledown u|^2)-\lambda v(x)u^2 \bigg]{\rm d}x-\int _{R^N}uh{\rm d}x.(3.2) \end{equation}$$

由 (3.1)式,我们知道存在常数 $\bar{t}$,当$t<\bar{t}$, 有 $\frac{{\rm d}\Phi _{\lambda ,h}(tu)}{{\rm d}t}<0$.所以 $\Phi _{\lambda ,h}(tu)$ 是 $t\in (0,\bar{t})$上的减函数. 又 $\Phi _{\lambda ,h}(0)=0$,结合引理2.3,我们可以得到 $$m=\inf\{\Phi _{\lambda ,h}(u):u\in \overline{B(0,R_\lambda )}\} <0.$$

由于$D^{1,2}(R^N)$ 是自反的Banach空间, 且$\overline{B(0,R_\lambda )}$ 是凸闭子集,利用引理2.2, 可得 $v\in \overline{B(0,R_\lambda )}$ 且$\Phi _{\lambda ,h}(v)=m$,从而完成定理3.1的证明. 定理3.2 假设条件 $(\gamma _1)$ 满足, 且 $\{\omega _n\}$ 是空间 $D^{1,2}(R^N)$的一串序列,适合 $\omega _n\rightharpoonup \omega$ (弱收敛). $\{t_n\}$ 为一串数列,满足 $t_n\longrightarrow 0$,在 空间$(D^{1,2}(R^N))^{*}$中 $t_n\Phi '_{\lambda ,h} (\frac{\omega _n}{t_n})\longrightarrow 0$. 则对所以 $\phi \in D^{1,2}(R^N)$,有 $$\begin{eqnarray} \int _{R^N}(\gamma (\infty )[v(x)\omega \phi +\bigtriangledown \omega \bigtriangledown \phi]-\lambda v(x)\omega \phi ){\rm d}x=0.(3.3) \end{eqnarray}$$

证 取 $\phi$是 $c^{\infty }$ 中具有紧支集 $\Omega \in R^N$的函数,由引理2.1,可以得到 $$(t_n\Phi '_{\lambda ,h}(\frac{\omega _n}{t_n}),\phi ) =\int _{\Omega } \bigg\{\gamma (\frac{1}{2t_n}[v(x)\omega ^2 _n +|\bigtriangledown \omega _n|^2])(v(x)\omega _n \phi +\bigtriangledown \omega _n\bigtriangledown \phi) -\lambda \omega _n\phi -t_n\phi h\bigg\}{\rm d}x.$$

因为$t_n\longrightarrow 0$,$t_n\Phi '_{\lambda ,h} (\frac{\omega _n}{t_n})\longrightarrow 0$ 和$\omega _n\rightharpoonup \omega$,为了证明我们的结论, 仅需证明 $$\int _{\Omega }\bigg\{\gamma (\frac{1}{2t^2_n}[v(x)\omega ^2_n +|\bigtriangledown \omega _n|^2])-\gamma (\infty )\bigg\}[v(x) \omega _n\phi +\bigtriangledown \omega _n \bigtriangledown \phi]{\rm d}x\longrightarrow 0.$$

令$z_n=(\sqrt{v(x)}\omega _n,\bigtriangledown \omega _n)$, $z=(\sqrt{v(x)}\phi ,\bigtriangledown \phi )$,

则$z_n,z\in [L^2(\Omega )]^{N+1}$. 由于 在 $D^{1,2}(R^N)$中 $\omega _n\rightharpoonup \omega$ (弱收敛),

因此存在正常数 $Z$ 适合对所有的$n$, $\int _{\Omega }|z_n|^2{\rm d}x\leq Z$. 定义 $$A^m_n=\bigg\{x\in \Omega :|z_n|^2\leq \frac{1}{m}\bigg\}, \qquad B^m_n=\Omega -A^m_n,$$

则可得到 $$\begin{eqnarray} &&\int _{\Omega } \bigg\{\gamma (\frac{1}{2t^2_n}[v(x)\omega ^2_n+ |\bigtriangledown \omega _n|^2]) -\gamma (\infty )\bigg\}[v(x)\omega _n\phi +\bigtriangledown \omega _n\bigtriangledown \phi ]{\rm d}x\nonumber \\ &=&\int _{\Omega }\bigg\{(\gamma (\frac{|z_n|^2}{2t^2})-\gamma (\infty ))z_nz\bigg\}{\rm d}x\nonumber \\ &=&\bigg(\int _{A^m_n}+\int _{B^m_n}\bigg)\bigg\{\gamma (\frac{|z_n|^2}{2t^2_n})-\gamma (\infty )\bigg\}z_nz{\rm d}x.(3.4) \end{eqnarray}$$

首先,对所有的 $m,n\in N$ $$\begin{eqnarray} \int _{A^m_n} \bigg|\gamma (\frac{|z_n|^2}{2t^2_n})-\gamma (\infty ) \bigg||z_n||z|{\rm d}x &\leq &\frac{\gamma (0)-\gamma (\infty )}{\sqrt{m}}\int _{A^m_n}|z|{\rm d}x\nonumber\\ &\leq &\frac{\gamma (0)-\gamma (\infty )}{\sqrt{m}}|\Omega |^{\frac{1}{2}} \bigg\{\int _{\Omega }|z|^2{\rm d}x\bigg\}^{\frac{1}{2}}.(3.5) \end{eqnarray}$$

另一方面,对每个$m\in N$, 则存在 $S_m>0$ 适合 $|\gamma (s)-\gamma (\infty )|<\frac{1}{m}$ 对所有的 $s\geq S_m$. 由于 $t_n\longrightarrow 0$, 存在 $N(m)>0$

满足 $t^2_n\leq \frac{1}{2mS_m}$

对所有的 $n\geq N(m)$.

从而,在 $B^m_n$上, $|\gamma (\frac{1}{2t^2_n}|z_n|^2)-\gamma (\infty )|<\frac{1}{m}$ 对$n\geq N(m)$,我们可以得到 $$\begin{eqnarray} \int _{B^m_n} \bigg|\gamma (\frac{1}{2t^2_n}|z_n|^2)- \gamma (\infty )\bigg||z_n||z|{\rm d}x &\leq & \frac{1}{m}\bigg\{\int _{\Omega }|z_n|^2{\rm d}x \bigg\}^{\frac{1}{2}} \bigg \{\int _{\Omega }|z|^2{\rm d}x\bigg\}^{\frac{1}{2}} \nonumber \\ & \leq &\frac{Z^{\frac{1}{2}}}{m} \bigg\{\int _{\Omega }|z|^2{\rm d}x\bigg\}^{\frac{1}{2}}.(3.6) \end{eqnarray}$$

因此,对所有的 $m\in N$ 和 $n\geq N(m)$ $$\begin{equation} \int _{\Omega }\bigg|\gamma (\frac{1}{2t^2_n}|z_n|^2)-\gamma (\infty )\bigg||z_n||z|{\rm d}x \leq \bigg\{\frac{\gamma (0)-\gamma (\infty )}{\sqrt{m}} |\Omega |^{\frac{1}{2}} +\frac{Z^{\frac{1}{2}}}{m}\bigg\} \bigg\{\int _{\Omega }|z|^2{\rm d}x\bigg\}^{\frac{1}{2}}.(3.7) \end{equation}$$

令 $n\longrightarrow \infty$,我们可以得到 $$\begin{equation} \int _{\Omega }\bigg|\gamma (\frac{1}{2t^2_n}|z_n|^2)- \gamma (\infty )\bigg||z_n||z|{\rm d}x\longrightarrow 0.(3.8) \end{equation}$$

因为具有紧支集的 $C^{\infty }$ 函数在 $D^{1,2}(R^N)$中是稠密的, 则完成我们的证明.

定理3.3 在引理2.5的条件下,进一步假设条件 $(\gamma _2)$成立, 且 $h\not\equiv 0$,则存在序列 $\{u_n\}\in D^{1,2}(R^N)$ 和 $u\in S$ 满足 $u_n\rightharpoonup u$ (在 $D^{1,2}(R^N)$中弱收敛)

并且满足 (2.7)式. 证 为了证明定理的结论,我们只需证明引理2.5 中情形(ii) 不出现. 我们采用反证法,假设序列$\{u_n\}$ 满足 (2.7) 式但是 $\|u_n\|\longrightarrow \infty$. 令 $$\omega _n=K\frac{u_n}{\|u_n\|}~~ \mbox{(这里 $K>0$ 是一个后面取定的常数).}$$

则当 $n\longrightarrow \infty$ 时 $t_n=\frac{K}{\|u_n\|}\longrightarrow 0$.

利用空间 $D^{1,2}(R^N)$的性质, 我们可以得到$\{\omega _n\}$的一串子列,我们仍用 $\{\omega _n\}$表示, 其在$n\longrightarrow \infty$时在 $D^{1,2}(R^N)$弱收敛到$\omega$ 且 $\omega \in S$. 由于 $\Phi _{\lambda ,h}(\omega _n)=\Phi _{\lambda ,h}(t_nu_n)$ 由性质2.1,我们可以得到 $$\limsup_{n\longrightarrow \infty } \Phi _{\lambda ,h} (\omega _n)\leq c.$$

另一方面, $$\begin{eqnarray} \Phi _{\lambda ,h}(\omega _n)&=&\int _{R^N} \bigg\{\Gamma (\frac{1}{2}[v(x)\omega ^2_n+|\bigtriangledown \omega _n|^2])-\frac{\lambda }{2}v(x)\omega ^2_n-\omega _nh \bigg\}{\rm d}x\nonumber \\ &\geq &\frac{1}{2}\int _{R^N}\{[\gamma (\infty )-\lambda]\omega ^2_n+\gamma (\infty )|\bigtriangledown \omega _n|^2-\omega _nh\}{\rm d}x\nonumber \\ &=&\frac{\gamma (\infty )-\lambda }{2}\int _{R^N}v(x)\omega ^2_n{\rm d}x+\frac{\gamma (\infty )}{2}K^2-\int _{R^N}\omega _nh{\rm d}x,(3.9) \end{eqnarray}$$

由于对所有的$n$,$\|\omega _n\|=K$. 如果 $\omega =0$,则有 $\int _{R^N}v(x)\omega ^2_n{\rm d}x\longrightarrow 0$和 $\int _{R^N}\omega _nh{\rm d}x\longrightarrow 0$,所以 $$\liminf_{n\longrightarrow \infty } \Phi _{\lambda ,h}(\omega _n) \geq \frac{\gamma (\infty )}{2}K^2.$$

由于 $K>0$ 可任意选取,因此我们可以将$K>0$选取适当大, 使其满足 $\frac{\gamma (\infty )}{2}K^2>c$,则与我们前面的结论 $\limsup\limits_{n\longrightarrow \infty } \Phi _{\lambda ,h}(\omega _n)\leq c$矛盾.

所以,我们有 $\omega \not\equiv 0$ 且 $\omega \geq 0$. 从而 $\int _{R^N}\omega \phi {\rm d}x >0$,

这里$\phi$ 是 $\lambda _1$对应的一个正的特征函数. 结合定理3.2, 则得到 $$\lambda \int _{R^N}\omega \phi {\rm d}x=\gamma (\infty ) \int _{R^N}[\omega \phi +\bigtriangledown \omega \bigtriangledown \phi]{\rm d}x= \gamma (\infty )\int _{R^N}[\omega \phi +\lambda _1\omega \phi]{\rm d}x,$$

则有 $\lambda =\gamma (\infty )[1+\lambda _1]$,这与前面的假设 $\lambda >\gamma (\infty )[1+\lambda _1]$矛盾. 这样由假设 $\|u_n\|\longrightarrow \infty$ 就导出矛盾结果,则假设不成立,

因此定理结论得证.

现在,我们来证明定理1.1: 首先,由定理3.1我们证得 $u_1$ 是 T中使泛函 $\Phi _{\lambda ,h}$ 达到局部极小. 然后, 由引理2.3 和引理2.4,知泛函 $\Phi _{\lambda ,h}$ 具有山路 引理几何结构. 从而运用引理2.1,我们得到泛函 $\Phi _{\lambda ,h}$ 的一串 Cerami 序列 $\{u_n\}$. 应用引理2.5,性质2.2,性质2.3 和定理3.3,我们可以证明 $\{u_n\}$至少存在一串子序列在 $D^{1,2}(R^N)$中强收敛到 $u_2$, 结合泛函 $\Phi _{\lambda ,h}$的性质,我们可以得到 $\Phi '_{\lambda ,h}(u_2)=0$,$\Phi _{\lambda ,h}(u_2)=c$. 则完成定理的证明.