$ C^n$中单位球上Dirichlet型空间的Cesàro 算子


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	刘竟成

	李俊锋

	张学军

$C^n$ 中单位球上Dirichlet型空间的Cesàro 算子

刘竟成¹, 李俊锋²,张学军¹

1.湖南师范大学数学与计算机科学学院高性能计算与随机信息处理省部共建教育部重点实验室(HPCSIP) 长沙 410081;
2.湖南城市学院数学与计算科学系湖南益阳 413000

收稿日期:2013-11-08;修订日期:2014-10-26

基金项目: 国家自然科学基金 (11171100, 11301175)、湖南省自然科学基金(13JJ4042)、湖南省教育厅重点项目(12A026)、湖南省教育厅资助科研项目(11W012)、湖南省优秀博士论文专项基金(YB2012B025)和湖南师范大学青年优秀人才培养计划(ET14101)资助

作者简介：刘竟成, E-mail: liujngcheng11@126.com

摘要：讨论了不同Dirichlet型空间的广义Cesàro算子

${T_\psi }:D_\alpha ^p{\rm{ }} \to D_{}^\beta {\rm{ }},$ 给出了

$0 < {\rm{ }}p \le 1、1 < {\rm{ }}p{\rm{ }} < {\rm{ }}\alpha + {\rm{ }}1$ 或

$p>n+1+\alpha$ 时

$T_{\psi}$ 是有界算子或紧算子的充要条件. 同时,也给出了

$p$ 取其它值时

$T_{\psi}$ 是有界算子或紧算子的充分条件或必要条件.

关键词： Dirichlet型空间有界性紧性广义Cesàro 算子

Generalized Cesàro Operator Between Different Dirichlet-type Spaces in the Unit Ball of

$C^n$

Liu Jingcheng¹, Li Junfeng²;Zhang Xuejun¹

1. College of Mathematics and Computer Science, Key Laboratory of High Performance Computing and Stochastic Information Processing (HPCSIP) (Ministry of Education of China), Hunan Normal University, Changsha 410081;;
2. Department of Mathematics and Computer Science, Hunan City University, Yiyang 431000)

Abstract : In this paper, we study the generalized Cesàro operator

$T_{\psi}:D_\alpha^p\rightarrow D_\beta^q$ between different Dirichlet type spaces. For

$0<p\leq 1$ 、

$1<p<\alpha+1$ or

$p>n+1+\alpha$ , we provide sufficient and necessary conditons for

$T_{\psi}$ to be bounded or compact. Moreover, for other

$p$ , we also discuss the sufficient conditions or the necessary conditons for

$T_{\psi}$ to be bounded or compact.

Key words: Dirichlet type spaces Boundedness Compactness Generalized Cesàro operator

1 引言

用 $B_n$ 表示 $C^n$ 中的单位球; d $v$ 和d $\sigma$ 分别表示 $B_n$ 和 $\partial B_n$ 的正规Lebesgue测度; 对 $z=(z_1,\cdots,z_n)$ , $w=(w_1,\cdots,w_n)$ ,我们定义 $\langle z,w\rangle = \sum\limits_{j=1}^nz_j\overline{w}_j$ ; $H(B_n)$ 表示 $B_n$ 上全纯函数的全体; $H^\infty$ 表示 $B_n$ 上的有界全纯函数的全体. 对 $\alpha>-1$ , 定义 ${\rm d}v_\alpha(z)=c_\alpha(1-|z|^2)^\alpha {\rm d}v(z)$ , 其中 $c_\alpha=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\Gamma(\alpha+1)}$ .

若 $f\in H(B_n)$ ,用 ${\nabla f(z)=\left(\frac{\partial f}{\partial z_{1}}(z),\cdots, \frac{\partial f}{\partial z_{n}}(z)\right)}$ 表示 $f$ 的梯度, 用 $Rf(z)=\langle \nabla f(z),\overline{z}\rangle =\sum\limits_{j=1}^{n}z_{j}\frac{\partial f} {\partial z_{j}}(z)$ 表示 $f$ 的径向导数.

设 $0<p<\infty$ , $\alpha>-1$ , $B_n$ 上的加权Bergman空间 $A_\alpha^p$ 是 $H(B_n)$ 中满足 $\|f\|_{A_\alpha^p}^p=\int_{B_n}|f(z)|^p{\rm d}v_\alpha(z)<\infty$ 的函数 $f$ 的全体; $B_n$ 上的加权Dirichlet空间 $D_\alpha^p$ 是 $H(B_n)$ 中满足 $Rf\in A_\alpha^p$ 的函数全体. 因此 $f\in D_\alpha^p$ 当且仅当 $\|f\|_{D_\alpha^p}^p=|f(0)|^p+\|Rf\|_{A_\alpha^p}^p<\infty.$

在单复变中,Cesàro算子定义如下 $C[f](z)=\sum_{j=0}^\infty \bigg(\frac{1}{j+1}\sum_{k=0}^ja_k\bigg)z^j,\ \ \ \ \ \ \ f(z)=\sum_{j=0}^\infty a_jz^j\in H(B_1).$ 给定 $g\in H(B_1)$ , $H(B_1)$ 上的广义Cesàro算子定义为 $T_g(f)(z)=\int_0^zf(t)g'(t){\rm d}t \ \ \ \ (f\in H(B_1),\ z\in B_1).$ 容易验证,当 $g(z)=\log\frac{1}{1-z}$ 时, $T_g(f)(z)=zC[f](z)$ .

在多复变中,给定 $\psi\in H(B_n)$ , $H(B_n)$ 上广义 Cesàro算子 $T_{\psi}$ 定义为 $T_{\psi}(f)(z)=\int_{0}^{1}f(tz)R\psi(tz)\frac{{\rm d}t}{t} \ \ \ \ (f\in H(B_n),\ z\in B_n).$ 在复平面上，Cesàro 算子和广义 Cesàro算子已经被研究了相当长的时间,在 Hardy 空间、BMOA空间、 Bloch型空间、Bergman空间、混合模空间等经典函数空间上获得了一系列成果(见文献^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]}); 对于多复变情形,最近文献^{[8, 9, 10, 11, 12]}分别讨论了单位球上 Bloch空间,混合模空间,Besov-Sobolev空间以及Bloch型空间与Dirichlet型空间之间的广义Cesàro算子的有界性和紧性问题. 本文将在上述基础之上讨论从Dirichlet型空间 $D_\alpha^p$ 到 Dirichlet型空间 $D_\beta^q$ 的广义Cesàro算子 $T_{\psi}$ , 给出了当 $0<p\leq1$ 、 $1<p<\alpha+1$ 或 $p>n+1+\alpha$ 时 $T_{\psi}$ 为有界算子或紧算子的充要条件. 同时,也给出了 $p$ 取其它值时 $T_{\psi}$ 为有界算子或紧算子的充分条件或必要条件.

2 一些引理

本文中 $C,C',C''$ 等表示与变量 $z$ , $w$ , $a$ 等无关但可以与某些有界量或参数 $p$ , $q$ 等有关的正数,不同的地方可以代表不同的数.

$\bf 引理2.1$ ([13,定理2.10]) 设 $a$ , $b$ 为实数,定义积分算子 $S$ 如下 $Sf(z)=(1-|z|^2)^a \int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^b} {|1-\langle z,w \rangle|^{n+1+a+b}}f(w){\rm d}v(w),$ 则对 $- \infty < {\rm{ }}t{\rm{ }} < \infty$ 和 $1\leq p<\infty$ 以下两条等价

(1) $S$ 是 $L^p(B_n,{\rm d}v_t)$ 的有界算子( $L^p(B_n,{\rm d}v_t)$ 表示Lebesgue空间);

(2) $- pa{\rm{ }} < {\rm{ }}t + {\rm{ }}1 < {\rm{ }}p(b + {\rm{ }}1).$

$\bf引理 2.2$ ([13,定理2.15]) 设 $0<p\leq1$ , $\alpha>-1$ . 则 $\int_{B_n}|f(z)|(1-|z|^2)^{(n+1+\alpha)/p-(n+1)}{\rm d}v(z)\leq C\|f\|_{A_\alpha^p}$ 对所有的 $f\in A_\alpha^p$ 成立.

$\bf 引理 2.3$ ([13,定理 2.2]) 设 $\alpha>-1$ , $f\in A_\alpha^1$ . 则对所有的 $z\in B_n$ $f(z)=\int_{B_n}\frac{f(w){\rm d}v_\alpha(w)}{(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\alpha}}.$

$\bf 引理 2.4$ ([13,定理 1.12]) 设 $c$ 是实数, $t>-1$ . 则积分 $J_{c,t}=\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^t{\rm d}v(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+t+c}},\ \ \ \ z\in B_n$ 有如下性质:

(1) 当 $c<0$ 时, $J_{c,t}$ 有界;

(2) 当 $c=0$ 时, $J_{c,t}\sim \log\frac{1}{1-|z|^2}$ $(|z|\rightarrow 1^-$ );

(3)~ 当 $c>0$ 时, $J_{c,t}\sim (1-|z|^2)^{-c}$ $(|z|\rightarrow 1^-)$ .

$\bf 引理 2.5$ 设 $\alpha>-1$ , $p>0$ , $f\in D^p_\alpha$ 且 $f(0)=0$ ,则存在常数 $C>0$ 以及充分大的 $\gamma$ 使得

(i) 当 $0<p\leq 1$ 时,有 $|f(z)|^p\leq C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p{\rm d}v_\gamma(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma-p}}$ ;

(ii) 当 $p>1$ 时,对任给的 $s>0$ ,有 $|f(z)|^p\leq C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p{\rm d}v_\gamma(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma+s-p}}$ .

$\bf 证$ 若 $f\in D_\alpha^p$ ,则当 $0<p\leq 1$ 时,取充分大的 $\beta\geq\frac{n+1+\alpha}{p}-n-1$ , 当 $p>1$ 时,取充分大的 $\beta>\frac{1+\alpha}{p}$ 就有 $Rf\in A_\beta^1$ ,由引理2.3知, $Rf(z)=\int_{B_n}\frac{Rf(w){\rm d}v_\beta(w)}{(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta}},\ \ \ \ z\in B_n.$ 由于 $Rf(0)=0$ ,所以 $Rf(z)=\int_{B_n}{Rf(w)} \bigg(\frac{1}{(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta}}-1\bigg){\rm d}v_\beta(w),\ \ \ \ z\in B_n.$ 又因为 $f(z)-f(0)=\int_0^1\frac{Rf(tz)}{t}{\rm d}t=\int_{B_n}Rf(w)L(z,w){\rm d}v_\beta(w),$ 其中 $\begin{eqnarray*} |L(z,w)|&=& \bigg|\int_0^1(\frac{1}{(1-t\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta}}-1)\frac{{\rm d}t}{t}\bigg|\\ &=&\bigg|\sum_{k=1}^\infty\frac{\Gamma(k+n+1+\beta)}{kk!\Gamma(n+1+\beta)}\langle z,w\rangle ^k\bigg|\\ &\leq& \frac{C}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+\beta}}. \end{eqnarray*}$ 所以 $|f(z)|\leq C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|{\rm d}v_\beta(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+\beta}}. (2.1)$

当 $0<p\leq 1$ 时,令 $\beta=\frac{n+1+\gamma}{p}-(n+1),$ 且 $\beta$ 充分大使得 $\gamma > \alpha+p>-1$ ,对于固定的 $z\in B_n$ ,由于 $\int_{B_n}|Rf(w)/(1-\langle w,z\rangle )^{n+\beta}|^p{\rm d}v_\gamma(w)\leq \frac{C}{(1-|z|^2)^{(n+\beta)p+\alpha-\gamma}}\int_{B_n}|Rf(w)|^p{\rm d}v_\alpha(w),$ 所以 $Rf(w)/(1-\langle w,z\rangle )^{n+\beta}\in A_{\gamma}^p$ . 由引理2.2 和(2.1)式得 $\begin{eqnarray*} |f(z)|^p&\leq& C \left(\int_{B_n} \bigg|\frac{Rf(w)}{(1-\langle z,w\rangle )^{n+\beta}}\bigg|(1-|w|^2)^{\frac{n+1+\gamma}{p}-(n+1)}{\rm d}v(w)\right)^p\\ &\leq& C\int_{B_n}\bigg|\frac{Rf(w)}{(1-\langle z,w\rangle )^{n+\beta}}\bigg|^p{\rm d}v_\gamma(w)\leq C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p{\rm d}v_\gamma(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma-p}}. \end{eqnarray*}$ 当 $p>1$ 时,让 $1/p+1/q=1$ ,任取非常小的 $s>0$ ,由H $\ddot{o}$ lder 不等式以及引理2.4得 $\begin{eqnarray*} |f(z)|^p&\leq& C\left(\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|{\rm d}v_\beta(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+\beta}}\right)^p\\ &\leq&C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p(1-|w|^2)^p{\rm d}v_{\beta-1}(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+s+\beta}} \left(\int_{B_n}\frac{{\rm d}v_{\beta-1}(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n-\frac{qs}{p}+\beta}}\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq&C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p(1-|w|^2)^p{\rm d}v_{\beta-1}(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+s+\beta}} \leq C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p{\rm d}v_{\beta-1}(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+s+\beta-p}}. \end{eqnarray*}$ 取 $\gamma=\beta-1$ ,我们有 $\begin{eqnarray*} |f(z)|^p\leq C\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p{\rm d}v_\gamma(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma+s-p}}. \end{eqnarray*}$ 证毕.

$\bf 引理 2.6$ 设 $\alpha>-1$ , $p>0$ , $f\in D^p_\alpha$ , 则存在常数 $C>0$ 使得 $|f(z)|\leq C\|f\|_{D_\alpha^p}\left\{ \begin{array}{ll} 1,& n+1+\alpha<p; \\ \log\frac{2}{1-|z|^2},\ \ & n+1+\alpha=p; \\[2mm] (1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha-p}{p}},& n+1+\alpha>p. \end{array} \right. (2.2)$

$\bf 证$ 若 $f\in D_\alpha^p$ ,类似引理2.5的证明, 对充分大的 $\beta>\max\{\frac{n+1+\alpha}{p}-n-1, \frac{1+\alpha}{p}\}$ 有 $Rf(z)=\int_{B_n}{Rf(w)} \bigg(\frac{1}{(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta}}-1\bigg){\rm d}v_\beta(w),\ \ \ \ z\in B_n. (2.3)$ 因此,当 $p>1$ 时,任给 $\sigma>0$ ,由引理2.4得 $\begin{eqnarray*} |Rf(z)|^p&\leq & C \left(\int_{B_n}|Rf(w)|^p\frac{|1-(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta}|^p}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\beta-p\sigma}}{\rm d}v_\beta(w)\right)\\ && \times\left(\int_{B_n}\frac{1}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\beta+\frac{p}{p-1}\sigma}}{\rm d}v_\beta(w)\right)^{p-1}\\ &\leq&C \left(\frac{|z|^p}{(1-|z|^2)^{n+1+\alpha-p\sigma}}\int_{B_n}|Rf(w)|^p{\rm d}v_\alpha(w)\right)\left((1-|z|^2)^{-\frac{p}{p-1}\sigma}\right)^{p-1}\\ &\leq&C \frac{|z|^p}{(1-|z|^2)^{n+1+\alpha}}\int_{B_n}|Rf(w)|^p{\rm d}v_\alpha(w). \end{eqnarray*}$ 当 $0<p< 1$ 时,令 $\beta=\frac{n+1+\gamma}{p}-(n+1),$ 且 $\beta$ 充分大使得 $\gamma > \alpha+p>-1$ ,对于固定的 $z\in B_n$ , $Rf(w)\langle w,z\rangle /(1-\langle w,z\rangle )^{n+1+\beta}\in A_{\gamma}^p$ . 由引理2.2和(2.3)式得 $\begin{eqnarray*} |Rf(z)|^p &\leq& C \left(\int_{B_n} \bigg|\frac{Rf(w)(1-(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta})} {(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta}}\bigg|(1-|w|^2)^{\frac{n+1+\gamma}{p}-(n+1)}{\rm d}v(w)\right)^p\\ &\leq& C\int_{B_n}\bigg|\frac{Rf(w)\langle z,w\rangle } {(1-\langle z,w\rangle )^{n+1+\beta}}\bigg|^p{\rm d}v_\gamma(w)\leq C |z|^p\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^p{\rm d}v_\gamma(w)}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma}}\\ &\leq& C\frac{|z|^p}{(1-|z|^2)^{n+1+\alpha}}\int_{B_n}|Rf(w)|^p{\rm d}v_\alpha(w). \end{eqnarray*}$ 因此,对所有的 $0<p<\infty$ 有 $|Rf(z)| \leq C\frac{|z|}{(1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}\|f\|_{D_\alpha^p},$ 所以 $\begin{eqnarray*} |f(z)|&=&\bigg|f(0)+\int_0^1\frac{Rf(tz)}{t}{\rm d}t\bigg| \leq |f(0)|+C\|f\|_{D_\alpha^p}\int_0^1\frac{|tz|} {t(1-|tz|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}{\rm d}t\\ &\leq& |f(0)|+C\|f\|_{D_\alpha^p}\int_0^1 \frac{|z|{\rm d}t}{(1-|tz|^2)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}\\ &\leq& |f(0)|+C\|f\|_{D_\alpha^p}\int_0^{|z|} \frac{{\rm d}t}{(1-t)^{\frac{n+1+\alpha}{p}}}\\ &\leq & C\|f\|_{D_\alpha^p} \left\{ \begin{array}{ll} 1,& n+1+\alpha<p; \\ \log\frac{2}{1-|z|^2},\ \ & n+1+\alpha=p; \\[2mm] (1-|z|^2)^{\frac{n+1+\alpha-p}{p}},~~ & n+1+\alpha>p. \end{array} \right. \end{eqnarray*}$ 证毕.

$\bf 引理 2.7$ $^{^[16]} $\quad 设$ q>-1 $,则存在常数$ C>0 $,使得对一切$ w\in B_n $,都有$ $\int_{B_n}\bigg|\log\frac{1}{1-\langle z,w\rangle }\bigg|^2\frac{(1-|z|^2)^q}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+q}}{\rm d}v(z)\leq C\left(\log\frac{1}{1-|w|^2}\right)^2.$ $

3 主要结论

$\bf 定理1$ 设 $\psi\in H(B_n)$ , $0<p\leq q<\infty$ , $\alpha,\ \beta>-1$ . 则

(i) 当 $0<p\leq 1$ 或 $1<p<1+\alpha$ 时, $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子的充要条件为 $\sup_{a\in B_n}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}=M_1<\infty; (3.1)$

(ii) 当 $p>n+1+\alpha$ 时, $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子的充要条件为 $\psi\in D_{\beta}^q$ ;

(iii) 当 $1<p<n+1+\alpha$ 且 $\alpha+1\leq p$ 时,若 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子,则(3.1)式成立; 若存在 $s{\rm{ }} > 0$ ,使得 $\sup_{a\in B_n}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha+s)}{p}}}=M_2<\infty,(3.2)$ 则 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子; (iv)~ 当 $p=n+1+\alpha$ 时,若 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子,则 $\sup_{a\in B_n}\int_{B_n}|R\psi(z)|^q \bigg(\log\frac{2}{1-|a|^2}\bigg)^{-\frac{2q}{p}} \bigg|\log\frac{2}{1-\langle a,z\rangle }\bigg|^{q+\frac{2q}{p}}{\rm d}v_\beta(z)=M_3<\infty;(3.3)$ 若 $\int_{B_n}|R\psi(z)|^q \bigg(\log{\frac{2}{1-|z|^2}}\bigg)^q{\rm d}v_\beta(z)=M_4<\infty,(3.4)$ 则 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子.

$\bf 证$ 我们先证充分性. 对任意的 $f\in D_{\alpha}^p$ , $\begin{eqnarray*} \left(\|T_\psi(f)\|_{D_\beta^q}\right)^{p} &=& \left(|T_\psi(f)(0)|^q+ \int_{B_n}|R(T_\psi(f))(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}} \\ &=&\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}. \end{eqnarray*}$ (i) (a) 当 $0 < {\rm{ }}p \le 1$ 时,若(3.1)式成立,由Minkowski不等式和引理2.5得,对充分大的 $\gamma>\alpha+p>-1$ 有 $\begin{eqnarray*} && \left(\int_{B_n}|R\psi(z)f(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq& C\left(\int_{B_n}\left(\int_{B_n} \frac{|Rf(w)|^p}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma-p}}{\rm d}v_{\gamma}(w)\right)^{\frac{q}{p}}|R\psi(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq&C\int_{B_n}\left(\int_{B_n}\frac{|Rf(w)|^q|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^{\frac{q}{p}(n+1+\gamma-p)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v_{\gamma}(w)\\ &\leq & C\int_{B_n}|Rf(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^{\frac{q}{p}(\gamma-\alpha)}|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^ {\frac{q}{p}(n+1+\gamma-p)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v(w)\\ &\leq & C\int_{B_n}|Rf(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^{q}|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^ {\frac{q}{p}(n+1+\alpha)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v(w)\\ &\leq&C(M_1)^{\frac{p}{q}}\|f\|^p_{D_\alpha^p}. \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子. (b) 当 $1<p<1+\alpha$ 时,对充分大的 $\gamma>\max\{\alpha, \frac{1+\alpha}{p}\}>1$ , 由文献^[13]中定理2.2的证明,Hölder不等式以及(2.1)式和引理2.4得 $\begin{eqnarray*} |f(z)|^p&=& \bigg|\int_{B_n}\frac{f(w)(1-|z|^2)^{n+1+\gamma}}{|1-\langle z,w\rangle |^{2(n+1+\gamma)}}{\rm d}v_\gamma(w)\bigg|^p \\ &\leq& \int_{B_n}\frac{|f(w)|^p(1-|z|^2)^{n+1+\gamma}}{|1-\langle z,w\rangle |^{2(n+1+\gamma)}}{\rm d}v_\gamma(w) \left(\int_{B_n}\frac{(1-|z|^2)^{n+1+\gamma}}{|1-\langle z,w\rangle |^{2(n+1+\gamma)}}{\rm d}v_\gamma(w)\right)^{p-1}\\ &\leq& C \int_{B_n}\frac{1}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma}} \left(\int_{B_n}\frac{|Rf(\eta)|}{|1-\langle w,\eta\rangle |^{n+\gamma}}{\rm d}v_\gamma(\eta)\right)^p{\rm d}v_\gamma(w). \end{eqnarray*}$ 由Minkowski不等式以及引理2.1得 $\begin{eqnarray*} &&\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq& C \int_{B_n}\left(\int_{B_n}\frac{|Rf(\eta)|}{|1-\langle w,\eta\rangle |^{n+\gamma}}{\rm d}v_\gamma(\eta)\right)^p\left( \int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^q|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^{\frac{q}{p}(n+1+\alpha)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v_{\alpha-p}(w)\\ &\leq& C(M_1)^{\frac{p}{q}}\int_{B_n}\left(\int_{B_n}\frac{|Rf(\eta)(1-|\eta|^2)|(1-|\eta|^2)^{\gamma-1}}{|1-\langle w,\eta\rangle |^{n+\gamma}}{\rm d}v(\eta)\right)^p{\rm d}v_{\alpha-p}(w)\\ &\leq& C'(M_1)^{\frac{p}{q}}\int_{B_n}|Rf(w)(1-|w|^2)|^p{\rm d}v_{\alpha-p}(w)\leq C'(M_1)^{\frac{p}{q}}\|f\|^p_{D_\alpha^p}. \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子.

(ii) 当 $p>n+1+\alpha$ 时,若 $\psi\in D_{\beta}^q$ ,则由引理2.6得 $\begin{eqnarray*} \|T_\psi(f)\|_{D_\beta^q} &=&\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{1}{q}}\\ &\leq & C \|f\|_{D_\alpha^p}\left(\int_{B_n}|R\psi(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{1}{q}}\leq C \|\psi\|_{D_\beta^q}\|f\|_{D_\alpha^p}. \end{eqnarray*}$

(iii) 当 $1<p<n+1+\alpha$ 且 $\alpha+1\leq p$ 时,若存在 $s>0$ ,使得 $\sup_{a\in B_n}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha+s)}{p}}}=M_2<\infty,(3.5)$ 则由Minkowski不等式和引理2.5类似(i) $_{(a)}$ 的证明得,对充分大的 $\gamma>\frac{1+\alpha}{p}>-1$ 有 $\begin{eqnarray*} && \left(\int_{B_n}|R\psi(z)f(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq& C\left(\int_{B_n}\left(\int_{B_n} \frac{|Rf(w)|^p}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma+s-p}}{\rm d}v_{\gamma}(w)\right)^{\frac{q}{p}}|R\psi(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq & C\int_{B_n}|Rf(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^{q}|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^ {\frac{q}{p}(n+1+\alpha+s)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v(w)\\ &\leq&C(M_2)^{\frac{p}{q}}\|f\|_{D_\alpha^p}. \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子.

(iv) 当 $p=n+1+\alpha$ 时,若(3.4)式成立,则由引理2.6得 $\begin{eqnarray*} \|T_\psi(f)\|_{D_\beta^q} &=&\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{1}{q}}\\ &\leq& C \|f\|_{D_\alpha^p}\left(\int_{B_n}|R\psi(z)|^{q}(\log{\frac{2}{1-|z|^2}})^q{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{1}{q}} \leq C (M_4)^{\frac{1}{q}}\|f\|_{D_\alpha^p}. \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子.

必要性: 若 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子,则存在常数 $C>0$ 使得对任意的 $f\in D_{\alpha}^p$ ,有 $\|T_\psi(f)\|_{D^q_{\beta}}\leq C\|f\|_{D_{\alpha}^p}$ ,取 $f=1$ 得 $\psi\in D_{\beta}^q$ ,从而(ii)的必要性得证.

任取 $a\in B_n$ ,当 $0<p<n+1+\alpha$ 时,令 $f_a(z)=\frac{(1-|a|^2)}{(1-\langle z,a\rangle )^\frac{n+1+\alpha}{p}}$ ,则 $Rf_a(z)=\frac{n+1+\alpha}{p}\frac{\langle z,a\rangle (1-|a|^2)}{(1-\langle z,a\rangle )^\frac{n+1+\alpha+p}{p}}$ . 由引理2.4得 $\begin{eqnarray*} \|f_a\|^p_{D_{\alpha}^p}&=&|f_a(0)|^p+\int_{B_n}|Rf_a(z)|^p{\rm d}v_\alpha(z)\leq 1+\int_{B_n}|\frac{n+1+\alpha}{p}\frac{\langle z,a\rangle (1-|a|^2)}{(1-\langle z,a\rangle )^\frac{n+1+\alpha+p}{p}}|^p{\rm d}v_\alpha(z)\\ &\leq& C\left(1+\int_{B_n}\frac{(1-|a|^2)^p}{|1-\langle z,a\rangle |^{n+1+\alpha+p}}{\rm d}v_\alpha(z)\right)\leq C', \end{eqnarray*}$ 所以 $f_a(z)\in D_{\alpha}^p$ 且 $\|f_a\|_{D_{\alpha}^p}\leq C'$ \ ( $C'$ 与 $a$ 无关).

再由 $T_\psi$ 的有界以性及 $T_\psi(f)(0)=0$ 得 $\begin{eqnarray*} \sup_{a\in B_n}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}&=& \sup_{a\in B_n}\int_{B_n}|R\psi(z)|^q|f_a(z)|^q{\rm d}v_\beta(z)\\ &=&\sup_{a\in B_n}\|T_\psi(f_a)\|^q_{D_{\beta^q}}\\ &\leq & C\sup_{a\in B_n}\|f_a\|^{\frac{q}{p}}_{D_{\alpha}^p}<C''. \end{eqnarray*}$

(i),(iii)的必要性得证.

当 $p=n+1+\alpha$ 时,令 $f_a(z)=(\log\frac{2}{1-|a|^2})^{-\frac{2}{p}}(\log\frac{2}{1-\langle a,z\rangle })^{1+\frac{2}{p}}$ ,由引理 2.7 容易证得 $f_a(z)\in D_{\alpha}^p$ 且 $\|f_a\|_{D_{\alpha}^p}\leq C$ \ ( $C$ 与 $a$ 无关),类似前面我们可以证得(3.3)式成立.

$\bf 定理2$ 设 $\psi\in H(B_n)$ , $0<p\leq q<\infty$ , $\alpha,\ \beta>-1$ . 则

(i) 当 $0<p\leq 1$ 或当 $1<p<1+\alpha$ 时, $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子的充要条件为 $\psi\in D_{\beta}^q$ 且 $\lim_{|a|\rightarrow 1}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}=0; o(3.6)$

(ii) 当 $p>n+1+\alpha$ 时, $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子的充要条件为 $\psi\in D_{\beta}^q$ ;

(iii) 当 $1<p<n+1+\alpha$ 且 $\alpha+1\leq p$ 时,若 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子,则(3.6)式成立; 若 $\psi\in D_{\beta}^q$ 且存在 $s>0$ ,使得 $\lim_{|a|\rightarrow 1}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha+s)}{p}}}=0,(3.7)$ 则 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子;

(iv) 当 $p=n+1+\alpha$ 时,若 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子,则 $\lim_{|a|\rightarrow 1}\int_{B_n}|R\psi(z)|^q \bigg(\log\frac{2}{1-|a|^2}\bigg)^{-\frac{2q}{p}} \bigg|\log\frac{2}{1-\langle a,z\rangle }\bigg|^{q+\frac{2q}{p}}{\rm d}v_\beta(z)=0; (3.8)$ 若 $\psi\in D_{\beta}^q$ 且 $\int_{B_n}|R\psi(z)|^q\bigg(\log{\frac{2}{1-|z|^2}}\bigg)^q{\rm d}v_\beta(z)<\infty,(3.9)$

则 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子.

$\bf 证$ 我们先证充分性. 设 $\{f_{j}\}$ 为在 $B_n$ 的任一紧子集上一致收敛于0且满足 $\|f_{j}\|_{D_\alpha^p}\leq 1$ 的序列. 则 $\begin{eqnarray*} \left(\|T_\psi(f_j)\|_{D_\beta^q}\right)^{p} &=& \left(|T_\psi(f_j)(0)|^q+ \int_{B_n}|R(T_\psi(f_j))(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}} \\ &=&\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}. \end{eqnarray*}$

若(3.6)、(3.7)和(3.9)式成立,且 $\psi\in D_{\beta}^q$ ,则容易证明存在常数 $M>0$ 使得 $\sup_{a\in B_n}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}< M; (3.10)$ $\sup_{a\in B_n}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha+s)}{p}}}< M; (3.11)$ 且对任给的 $0<\varepsilon<1$ ,存在 $0 < {\rm{ }}{r_0} < 1$ ,使得当 $|a|>r_0$ 时有

$\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}<\varepsilon; (3.12)$

$\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha+s)}{p}}}< \varepsilon; (3.13)$

$\int_{B_n-r_0 B_n}|\psi(z)|^q{\rm d}v_\beta(z)<\varepsilon; (3.14)$

$\int_{B_n-r_0 B_n}|R\psi(z)|^q\bigg(\log{\frac{2}{1-|z|^2}}\bigg)^q{\rm d}v_\beta(z)<\varepsilon. (3.15)$

同时对上述的

$\varepsilon$ 存在

${J_0}$ ,当

$j>J_0$ 时,对一切的

$z\in\{w:|w|\leq r_0\}$ 有

$|f_j(z)|<\varepsilon,\ \ \ \ \ |Rf_j(z)|<\varepsilon. (3.16)$

(i) (a) 当 $0<p\leq 1$ 时,由Minkowski不等式、引理2.5、(3.10)、(3.12)和(3.16)式得,对 $j>J_0$ 以及充分大的 $\gamma>\alpha+p>-1$ 有 $\begin{eqnarray*} && \left(\|T_\psi(f_j)\|_{D_\beta^q}\right)^{p}=\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq& C\left(\int_{B_n}\left(\int_{B_n}\frac{|Rf_j(w)|^p}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma-p}}{\rm d}v_{\gamma}(w)\right)^{\frac{q}{p}}|R\psi(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq&C\int_{B_n}\left(\int_{B_n}\frac{|Rf_j(w)|^q|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^{\frac{q}{p}(n+1+\gamma-p)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v_{\gamma}(w)\\ &\leq & C\int_{B_n}|Rf_j(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^{\frac{q}{p}(\gamma-\alpha)}|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^ {\frac{q}{p}(n+1+\gamma-p)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v(w)\\ &\leq & C\bigg(\int_{r_0B_n}+\int_{B_n-r_0B_n}\bigg)|Rf_j(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^{q}|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^ {\frac{q}{p}(n+1+\alpha)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v(w)\\ &\leq &CM^{\frac{p}{q}}\int_{r_0B_n}|Rf_j(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}{\rm d}v(z)+C\varepsilon^{\frac{p}{q}}\int_{B_n-r_0B_n}|Rf_j(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}{\rm d}v(z)\\ &\leq&C(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}}\|f_j\|^p_{D_\alpha^p}) \leq C(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}}). \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子.

(b) 当 $1<p<1+\alpha$ 时,类似有界性的证明,对充分大的 $\gamma>\max\{\alpha,\frac{1+\alpha}{p}\}>1$ 有 $\begin{eqnarray*} |f_j(z)|^p&\leq& C\int_{B_n}\frac{|f_j(w)|^p}{|1-\langle z,w\rangle |^{(n+1+\gamma)}}{\rm d}v_\gamma(w)\\ &\leq& C \int_{B_n}\frac{1}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma}} \left(\int_{B_n}\frac{|Rf_j(\eta)|}{|1-\langle w,\eta\rangle |^{n+\gamma}}{\rm d}v_\gamma(\eta)\right)^p{\rm d}v_\gamma(w). \end{eqnarray*}$ 由Minkowski不等式、引理2.1、(3.10)、(3.12)以及(3.16)式得,对 $j>J_0$ 有 $\begin{eqnarray*} &&\left(\|T_\psi(f_j)\|_{D_\beta^q}\right)^{p}=\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq& C\int_{B_n} |f_j(w)|^p\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^q|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^{\frac{q}{p}(n+1+\alpha)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v_{\alpha-p}(w)\\ &=& C\bigg(\int_{r_0B_n}+\int_{B_n-r_0B_n}\bigg) |f_j(w)|^p\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^q|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^{\frac{q}{p}(n+1+\alpha)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v_{\alpha-p}(w)\\ &\leq& C\left(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}}\int_{B_n} |f_j(w)|^p{\rm d}v_{\alpha-p}(w)\right)\\ &\leq& C\left(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}} \int_{B_n}\left(\int_{B_n}\frac{|Rf(\eta)(1-|\eta|^2)|(1-|\eta|^2)^{\gamma-1}}{|1-\langle w,\eta\rangle |^{n+\gamma}}{\rm d}v(\eta)\right)^p{\rm d}v_{\alpha-p}(w)\right)\\ &\leq& C(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}}\|f_j\|^p_{D_\alpha^p})\leq C(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}}). \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子.

(ii) 当 $p>n+1+\alpha$ 时,若 $\psi\in D_{\beta}^q$ ,则由引理2.6、(3.14)和(3.16)式得,当 $j>J_0$ 时有 $\begin{eqnarray*} \|T_\psi(f_j)\|^q_{D_\beta^q} &=&\int_{B_n}|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)= \bigg(\int_{r_0B_n}+\int_{B_n-r_0B_n}\bigg)|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\\ &\leq& C\left(\varepsilon^q\|\psi\|_{D_\beta^q}+\|f\|_{D_\alpha^p}\int_{B_n-r_0B_n}|R\psi(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)\leq C(\varepsilon^q\|\psi\|_{D_\beta^q}+\varepsilon). \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子.

(iii) 当 $1<p<n+1+\alpha$ 且 $\alpha+1\leq p$ 时,若(3.7)式成立,则由Minkowski不等式、引理2.5、(3.11)、(3.13)和(3.16)式类似(i) $_{(a)}$ 的证明得,对充分大的 $\gamma>\frac{1+\alpha}{p}>-1$ 有 $\begin{eqnarray*} && \left(\|T_\psi(f_j)\|_{D_\beta^q}\right)^{p}=\left(\int_{B_n}|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq& C\left(\int_{B_n}\left(\frac{|Rf_j(w)|^p}{|1-\langle z,w\rangle |^{n+1+\gamma+s-p}}{\rm d}v_{\gamma}(w)\right)^{\frac{q}{p}}|R\psi(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}\\ &\leq & C\int_{B_n}|Rf_j(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^{q}|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^ {\frac{q}{p}(n+1+\alpha+s)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v(w)\\ &\leq&C\bigg(\int_{r_0B_n}+\int_{B_n-r_0B_n}\bigg)|Rf_j(w)|^p(1-|w|^2)^{\alpha}\left(\int_{B_n}\frac{(1-|w|^2)^{q}|R\psi(z)|^{q}}{|1-\langle z,w\rangle |^ {\frac{q}{p}(n+1+\alpha+s)}}{\rm d}v_\beta(z)\right)^{\frac{p}{q}}{\rm d}v(w)\\ &\leq& C(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}}\|f_j\|^p_{D_\alpha^p})\leq C(M^{\frac{p}{q}}\varepsilon^p+\varepsilon^{\frac{p}{q}}). \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子.

(iv) 当 $p=n+1+\alpha$ 时,若 $\psi\in D_{\beta}^q$ 且(3.9)式成立, 则由引理2.6、(3.15)和(3.16)式得 $\begin{eqnarray*} \|T_\psi(f_j)\|^q_{D_\beta^q} &=&\int_{B_n}|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\\ &\leq&C\bigg(\int_{r_0B_n}+\int_{B_n-r_0B_n}\bigg)|R\psi(z)f_j(z)|^{q}{\rm d}v_\beta(z)\\ &\leq& C\left(\varepsilon^q\|\psi\|^q_{D_\beta^q} +\|f_j\|_{D_\alpha^p}^{q}\int_{B_n-r_0B_n}|R\psi(z)|^q \bigg(\log{\frac{2}{1-|z|^2}}\bigg)^q{\rm d}v_\beta(z)\right)\\ &\leq& C(\varepsilon^q\|\psi\|^q_{D_\beta^q}+\varepsilon ) . \end{eqnarray*}$ 所以 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子.

必要性: 若 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是紧算子, 则 $T_\psi:D_{\alpha}^p \rightarrow D_{\beta}^q$ 是有界算子. 取 $f=1$ 得 $\psi\in D_{\beta}^q$ ,则(ii)的必要性得证.

任取 $a_j\in B_n$ 且 $|a_j|\rightarrow 1(j\rightarrow\infty)$ , 当 $0<p<n+1+\alpha$ 时,令 $f_j(z)=\frac{(1-|a_j|^2)} {(1-\langle z,a_j\rangle)^\frac{n+1+\alpha}{p}}$ ,则 $\{f_{j}\}$ 在 $B_n$ 上内闭一致收敛于0且 $\|f_j\|_{D_\alpha^p}\leq c$ , 再根据 $T_\psi$ 的紧性知 ${\lim\limits_{j\rightarrow \infty}\|T_{\psi}f_{j}\|_{D_\beta^q}=0}$ .

由 $T_\psi(f_j)(0)=0$ 得 $\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a_j|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)} {|1-\langle a_j,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}= \int_{B_n}|R\psi(z)|^q|f_j(z)|^q{\rm d}v_\beta(z)=\|T_\psi(f_j)\|_{D_{\beta}^q}^q.$ 所以 $\lim_{j\rightarrow\infty}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q (1-|a_j|^2)^{q}{\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a_j,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}=0.$ 由 $a_j$ 的任意性得 $\lim_{|a|\rightarrow 1}\int_{B_n}\frac{|R\psi(z)|^q(1-|a|^2)^{q} {\rm d}v_\beta(z)}{|1-\langle a,z\rangle |^{\frac{q(n+1+\alpha)}{p}}}=0.$ (i),(iii)的必要性得证.

当 $p=n+1+\alpha$ 时,令 $f_j(z)= (\log\frac{2}{1-|a_j|^2})^{-\frac{2}{p}} (\log\frac{2}{1-\langle a_j,z\rangle })^{1+\frac{2}{p}}$ 类似可以证得(3.8)式成立.

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