20世纪80年代初,Cogburn等人开始研究随机环境中马氏链的一般理论,取得了 一系列深刻的结果[1, 2, 3]. Orey[4]在 Cogburn等人的研究基础上对随机环境中马氏链进行 了深入的研究,并提出了一系列的问题,引起了众多概率论学者的广泛关注,使得随机环境 中马氏链一般理论的研究成为国际上又一新的研究方向.国内学者对这一领域进行了深 入的研究(见文献[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]).大家知道,随机变量加权和的强收敛性的研究一直是经典极限定理理论研究中的热门课题,取得的 结果已十分深入(见文献[12]等).这种研究不仅仅是受到大数定律研究的推动,而且在考虑线性模型最小二乘估计的相容性时就要讨论 随机变量加权和的强收敛性,因此这种研究无疑是非常重要的.据笔者所知,对随机环境情形, 马氏链函数加权和的强收敛性的研究结果并不多见.本文研究了随机环境中马氏链函数 的极限定理,给出了随机环境中马氏链函数 加权和的强收敛性成立的一系列充分条件.本文约定:文中出现的C总表示正常数,它在不同的地方 可以代表不同的值.集合A的示性函数记为IA.
除特别说明外,本文沿用文献[1, 2, 3, 4]中的符号和术语.设(Ω,F,P)是一概率空间, (X,A)和(Θ,B)均为任意的可测空间, →ξ={ξn:n≥0}和→X={Xn:n≥0}分别是(Ω,F,P)上取值于Θ和X的 随机序列,{P(θ):θ∈Θ}是(X,A) 上的一族转移函数,且假设对任意的A∈A, P(⋅ ; ⋅ ,A)是B×A 可测的, {K(⋅ , ⋅)}是(Θ,B)上的转移函数, 且假设对任意B∈B, K(⋅,B)是关于B可测的.对任意序列→η={ηn:n≥0},记 →η rk={ηn:k≤n≤r}, 0≤k≤r≤∞.
如果对任意A∈A, n≥0有 P(X0∈A | →ξ)=P(X0∈A | ξ0),P(Xn+1∈A | →Xn0,→ξ)=P(ξn;Xn,A),(1.1)
1.1[7] 设→X为随机环境→ξ中的马氏链,则{(Xn,→ξn∞):n≥0}是马氏链.
设{Xn,n≥0}是随机变量序列,X为一非负随机变量,C>0为常数, 若对任意的x>0, n≥0,都有 P(|Xn|>x)≤CP(X>x),
1.2[13] 设X为随机变量,且对任意的x>0, 都有 P(|X|>x)≤CP(V>x),
1.3[9] →ξ是一步转移概率为K(θ,B)的马氏链, →X为随机环境→ξ中的马氏链的充分必要条件是:双链{(Xn,ξn):n≥0} 是一步转移概率为Q(x,θ;A×B)=K(θ,B)P(ξ;x,A)的马氏链.
定理 2.1 设{an, n≥0}和{bn, n≥0}是任意的两个正实数列,cn=bn/an, bn↑∞,~ {(Xn,Yn):n≥0}是(Ω,F,P)上取值于X×Y上的马氏序列, {fn:n≥0}是(X,A)可测函数列且{fn(Xn)}<X. 对任意的x>0,定义N(x)=Card{n:cn≤x},若X满足
(i) EN(X)<∞;
(ii) ∫∞1EN(X/t)dt<∞;
(iii) ∫10EN(X/t1/p)dt<∞, 其中1≤p≤2.\\ 则对任意的k≥1,有 ∞∑m=0fm(Xm)−E(fm(Xm)|Xm−k,Ym−k)cm a.s. 收敛,
证 先考虑k=1的情况.对任意的m≥0,记 Zm=fm(Xm)I{|fm(Xm)|≤cm}cm−E(fm(Xm)I{|fm(Xm)|≤cm}|Xm−1,Ym−1)cm;
因为E(∞∑m=0E|(Z′m|Xm−1,Ym−1)|)≤∞∑m=0E|Z′m|<∞,
由{(Xn,Yn),n≥0}的马氏性, 易知{Zn,Bn,n≥0}为鞅差序列.再由鞅差序列的正交性知 E|n∑m=0Zm|2=n∑m=0EZ2m≤Cn∑m=01c2mE|fm(Xm)|2I{|fm(Xm)|≤cm}≤Cn∑m=01cpmE|fm(Xm)|pI{|fm(Xm)|≤cm}≤Cn∑m=01cpm∫cpm0P(|fm(Xm)|p>s)ds≤Cn∑m=01cpm∫cpm0P(Xp>s)ds (令 s=cpmt)≤∫10EN(Xt1/p)dt,(2.6)
由条件(iii)及(2.6)式知 supn≥0E|n∑m=0Zm|2<∞,~ 即{n∑m=0Zm,Bn,n≥0}为L2有界鞅,从而 ∞∑m=0Zm a.s. 收敛.
下面再考虑k>1的情形.由{(Xn,Yn):n≥0}的马氏性易知,对任意的n=1, 2, 3, ⋯,k−1, {(Xmk+n,Ymk+n):m≥0}是马氏链, 因此对任意的n=1, 2, 3,⋯,k−1,有 ∞∑m=0fmk+n(Xmk+n)−E(fmk+n(Xmk+n)|Xmk+n−k,Ymk+n−k)cmk+n a.s. 收敛,
推论 2.1 设→X为随机环境→ξ中的马氏链,{fn:n≥0}是(X,A)上 可测函数序列, 如果定理2.1的条件成立,则对任意的k≥1,有 ∞∑m=0fm(Xm)−E(fm(Xm)|Xm−k,→ξ∞m−k)cm a.s 收敛
证 由引理1.1知{(Xn,→ξ∞n),n≥0}是马氏链,从而由定理2.1知推论2.1成立.
推论 2.2 在定理2.1的条件下,有 ∞∑m=0fm(Xm)−E(fm(Xm)|Xm−1,ξm−1)cm a.s. 收敛.
证 同文献[7]中推论2的证明.
定理 2.2 在定理2.1的条件下,若 lim supn→∞bn+kbn≤C(k)<∞,(2.8)
证 由定理2.1可知,对任意的N≥1和k=1, 2,⋯,N,有 limn→∞1bnn∑m=0am((fm(Xm)−Efm(Xm))−(E(fm(Xm)|Xm−k,Ym−k)−Efm(Xm)))=0 a.s..
下证对任意的N≥1,limn→∞IN(n)=0 a.s.. 由(2.3)式有 limm→∞1cmEfm(Xm)I{|fm(Xm)|>cm}=0.(2.10)
由(2.6)式,完全类似地可以证明 limm→∞1cpmE|fm(Xm)|pI{|fm(Xm)|≤cm}=0,
以下假设→ξ是一步转移概率为K(θ,B)的马氏链,对任意的E∈A×B, 记 Pn(E)=P((Xn,ξn)∈E).
定理 2.3 设→X为马氏环境→ξ中的马氏链,在定理2.2的条件下,若 lim supN→∞lim supn→∞1bnn∑m=0sup(x,θ1)|1NN∑k=1am+k∫(Qk(x,θ1;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)|=0,(2.14)
证 因为→ξ是一步转移概率为K(θ,B)的马氏链,由引理1.3知{(Xn,ξn):n≥0}是马氏链, 又由于定理2.1的条件满足,从而(2.2)式成立.注意到 1bnn∑m=0am(fm(Xm)−E(fm(Xm)))=(1bnn∑m=0am(fm(Xm)−E(fm(Xm)))−1bnn∑m=0HN(m))+1bnn∑m=0HN(m),
而 |1bnn∑m=0HN(m)|≤1bnn∑m=0|1NN∑k=1am+k(E(fm+k(Xm+k)|Xm,ξm))−E(fm+k(Xm+k))|=1bnn∑m=0|1NN∑k=1am+k∫(Qk(Xm,ξm;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)|≤1bnn∑m=0sup(x,θ1)|1NN∑k=1am+k∫(Qk(x,θ1;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)|,
定理 2.4 设→X为马氏环境→ξ中的马氏链, 在定理2.1的条件下,若存在C>0, 使得lim supn→∞n∑m=0am/bn=C, 且 lim supk→∞supm(x,θ1)|∫(Qk(x,θ1;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)|=0,(2.17)
证 由于定理2.1的条件满足,从而(2.2)式成立.又由于 |1bnn∑m=0am(fm(Xm)−E(fm(Xm)))|≤|1bnn∑m=0am(fm(Xm)−E(fm(Xm)|Xm−k,ξm−k))|+|1bnn∑m=0am(E(fm(Xm)|Xm−k,ξm−k)−E(fm(Xm)))|.
由于 lim supk→∞lim supn→∞|1bnn∑m=0am(E(fm(Xm)|Xm−k,ξm−k)−E(fm(Xm)))|=lim supk→∞lim supn→∞|1bnn−k∑m=0am+k(E(fm+k(Xm+k)|Xm,ξm)−E(fm+k(Xm+k)))|=lim supk→∞lim supn→∞|1bnn−k∑m=0am+k∫(Qk(Xm,ξm;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)|≤lim supk→∞lim supn→∞1bnn−k∑m=0am+ksupm(x,θ1)|∫(Qk(x,θ1;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)|≤lim supk→∞lim supn→∞1bnn∑m=0amsupm(x,θ1)|∫(Qk(x,θ1;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)|≤Clim supk→∞supm(x,θ1)|∫(Qk(x,θ1;dz,dθ)−Pm+k(dz,dθ))fm+k(z)| a.s.,