20世纪80年代初,Cogburn等人开始研究随机环境中马氏链的一般理论,取得了 一系列深刻的结果^{[1, 2, 3]}. Orey^[4]在 Cogburn等人的研究基础上对随机环境中马氏链进行 了深入的研究,并提出了一系列的问题,引起了众多概率论学者的广泛关注,使得随机环境 中马氏链一般理论的研究成为国际上又一新的研究方向.国内学者对这一领域进行了深 入的研究(见文献^{[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]}).大家知道,随机变量加权和的强收敛性的研究一直是经典极限定理理论研究中的热门课题,取得的 结果已十分深入(见文献^[12]等).这种研究不仅仅是受到大数定律研究的推动,而且在考虑线性模型最小二乘估计的相容性时就要讨论 随机变量加权和的强收敛性,因此这种研究无疑是非常重要的.据笔者所知,对随机环境情形, 马氏链函数加权和的强收敛性的研究结果并不多见.本文研究了随机环境中马氏链函数 的极限定理,给出了随机环境中马氏链函数 加权和的强收敛性成立的一系列充分条件.本文约定:文中出现的$C$总表示正常数,它在不同的地方 可以代表不同的值.集合$A$的示性函数记为$I_A$.

除特别说明外，本文沿用文献^{[1, 2, 3, 4]}中的符号和术语.设$(\Omega,{{\cal F}},P)$是一概率空间, $(X,{{\cal A}})$和$(\Theta,{{\cal B}})$均为任意的可测空间， ${\vec \xi}=\{\xi_n:n\geq0\}$和${\vec X}=\{X_n:n\geq0\}$分别是$(\Omega,{{\cal F}},P)$上取值于$\Theta$和$X$的 随机序列，$\{P(\theta):\theta\in\Theta\}$是$(X,{{\cal A}})$ 上的一族转移函数,且假设对任意的$A\in {\cal A},~P(\cdot~\!;~\!\!\!\cdot~\!\!\!,A)$是${{\cal B}}\times {\cal A}$ 可测的, $\{K(\cdot~\!,~\!\cdot)\}$是$(\Theta,{{\cal B}})$上的转移函数, 且假设对任意$B\in{\cal B},~K(\cdot,B)$是关于${\cal B}$可测的.对任意序列${\vec\eta}= \{\eta_n:n\geq0\}$,记 $${\vec{\eta}}_k^{~\!r}=\{\eta_n:k\le n\le r\},~0\le k\le r\le\infty.$$ 设 $$\Xi= \prod\limits_{j=0}^{\infty} {\Theta}_j,~~{\vec{{\cal B}}}= \prod\limits_{j=0}^{\infty}{{\cal B}}_j,$$ 这里${\Theta}_j=\Theta,~{{\cal B}}_j ={{\cal B}},~j\geq0.$

如果对任意$A\in{{\cal A}},~n\ge 0$有 $$P(X_0 \in A~\!|~\!\vec {\xi})=P(X_0 \in A~\!|~\!\xi_0),P(X_{n+1} \in A~\!|~\!{\vec{X}_0^n},{\vec{\xi}})=P(\xi_n ; X_n,A), (1.1)$$ 则称$\vec X$为随机环境$\vec {\xi}$中的马氏链,称$\vec {\xi}$为随机环境序列. 若$\vec {\xi}$是一马氏序列,则称$\vec X$为马氏环境$\vec {\xi}$中的马氏链.

1.1^[7]     设$\vec X$为随机环境$\vec {\xi}$中的马氏链,则$\{(X_n ,{\vec {\xi} _n}^{\infty}):n\ge 0\}$是马氏链.

设$\{X_n,n\ge 0\}$是随机变量序列,$X$为一非负随机变量,$C>0$为常数, 若对任意的$x>0,~n\ge 0$,都有 $$P(|X_n|> x)\leq CP(X> x),$$ 则称$\{X_n,n\ge 0\}$尾概率一致有界于$X$,并记为$\{X_n\}<X$.

1.2^[13]     设$X$为随机变量,且对任意的$x>0$, 都有 $$P(|X|> x)\leq CP(V> x),$$ 其中$V$为非负随机变量,$C>0$为常数,则对任意的$x>0,~q> 0$,有 $$E|X|^qI_{\{|X|\leq x\}}\leq Cx^qP(V>x)+CEV^qI_{\{V\leq x\}}. (1.2)$$

1.3^[9]     $\vec {\xi}$是一步转移概率为$K(\theta,B)$的马氏链, $\vec X$为随机环境$\vec {\xi}$中的马氏链的充分必要条件是:双链$\{(X_n,\xi_n):n\ge 0\}$ 是一步转移概率为$Q(x,\theta;A\times B)=K(\theta,B)P(\xi;x,A)$的马氏链.

定理 2.1    设$\{a_{n},~n\geq 0\}$和$\{b_{n},~n\geq 0\}$是任意的两个正实数列,$c_{n}={b_{n}}/{a_{n}}, ~b_{n}\uparrow\infty,$~ $\{(X_n,Y_n):n\ge 0\}$是$(\Omega,{{\cal F}},P)$上取值于$X\times Y$上的马氏序列, $\{f_n:n\ge 0\}$是$(X,{\cal A})$可测函数列且$\{f_n(X_n)\}<X$. 对任意的$x>0,$定义$N(x)=$Card$\{n:c_{n}\leq x\},$若$X$满足

(i) $EN(X)<\infty;$

(ii) $\int_{1}^{\infty}EN\big(X/t\big){\rm d}t<\infty;$

(iii) $\int_0^1EN\big(X/t^{1/p}\big){\rm d}t<\infty$, 其中$1\leq p\leq2$.\\ 则对任意的$k\ge1$,有 $$\begin{equation} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k})}{c_m}~~{\rm a.s.}~\mbox{收敛}, %(2.1) \end{equation}$$ 及 $$\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k}))=0~~ {\rm a.s.}.%(2.2) \end{equation}$$ 这里我们约定:对任意的$k\ge1,~X_{-k}\equiv0,~Y_{-k}\equiv0$.

证     先考虑$k=1$的情况.对任意的$m\ge0$,记 $$Z_m=\frac{f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}}{{c_m}}-\frac{E(f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}|X_{m-1},Y_{m-1})}{{c_m}};$$ $$Z'_m=\frac{f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|> c_m\}}}{{c_m}};~~{{\cal B}}_m=\sigma({\vec X}_0^m ,{\vec Y}_0^m).$$ 由于 $$\begin{eqnarray} \sum\limits_{m=0}^{\infty}E|Z'_m|&=& \sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{1}{{c_m}}\bigg(c_{m}P(|f_m(X_m)|>c_{m})+\int_{c_{m}}^{\infty}P(|f_m(X_m)|>t){\rm d}t\bigg)\nonumber\\ &\leq &C\bigg(\sum\limits_{m=0}^{\infty}P(X>c_{m})+\sum\limits_{m=0}^{\infty}\int_{1}^{\infty}P(X>tc_{m}){\rm d}t\bigg) \nonumber\\ &\leq &C\bigg(EN(X)+\int_{1}^{\infty}EN\bigg(\frac{X}{t}\bigg){\rm d}t\bigg)<\infty, %~~~~~~~~~~(2.3)$$ \end{eqnarray}$$ 从而 $$\sum\limits_{m=0}^{\infty}|Z'_m|<\infty~~{\rm a.s.,}$$ 故 $$\begin{equation} \sum\limits_{m=0}^{\infty}Z'_m~~{\rm a.s.}~\mbox{收敛}.%(2.4) \end{equation}$$

因为 $$E\Bigg(\sum\limits_{m=0}^{\infty}E|(Z'_m|X_{m-1},Y_{m-1})|\Bigg)\leq \sum\limits_{m=0}^{\infty}E|Z'_m|<\infty,$$ 因此 $$\begin{equation} \sum\limits_{m=0}^{\infty}E(Z'_m|X_{m-1},Y_{m-1})~~{\rm a.s.}~\mbox{收敛}.%(2.5) \end{equation}$$

由$\{(X_n,Y_n),n\ge0\}$的马氏性, 易知$\{Z_n,{{\cal B}}_n,n\ge0\}$为鞅差序列.再由鞅差序列的正交性知 $$\begin{eqnarray} E\bigg|\sum_{m=0}^{n}Z_m\bigg|^2 &=&\sum_{m=0}^{n}EZ_m^2\nonumber\\ &\leq &C\sum\limits_{m=0}^{n}\frac{1}{{c_m^2}} E|f_m(X_m)|^{2}I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_{m}\}}\nonumber\\ &\leq &C\sum\limits_{m=0}^{n}\frac{1}{{c_m^p}} E|f_m(X_m)|^{p}I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_{m}\}}\nonumber\\ &\leq &C\sum\limits_{m=0}^{n}\frac{1}{{c_m^p}}\int_{0}^{c_m^p}P(|f_m(X_m)|^p>s){\rm d}s\nonumber\\ &\leq&C\sum\limits_{m=0}^{n}\frac{1}{{c_m^p}}\int_{0}^{c_m^p}P(X^p>s){\rm d}s~~({\hbox 令}\ s=c_m^pt) \nonumber\\ &\leq& \int_0^1EN\bigg(\frac{X}{t^{1/p}}\bigg){\rm d}t ,(2.6) \end{eqnarray}$$

由条件(iii)及(2.6)式知 $\sup\limits_{n\geq0}E\Big|\sum\limits_{m=0}^{n}Z_{m}\Big|^{2}<\infty,$~ 即$\Big\{\sum\limits_{m=0}^{n}Z_m,{{\cal B}}_n,n\ge0\Big\}$为$L^2$有界鞅,从而 $$\begin{equation} \sum\limits_{m=0}^{\infty}Z_m~~{\rm a.s.}~\mbox{收敛}.%(2.7) \end{equation}$$ 综合(2.4),(2.5)及(2.7)式知$(2.1)$式对$k=1$的情形成立,又由Kronecker引理知$(2.2)$式对$k=1$的情形也成立.

下面再考虑$k>1$的情形.由$\{(X_n,Y_n):n\ge 0\}$的马氏性易知,对任意的$n=1,~2,~3,$ $\cdots, k-1,~\{(X_{mk+n},Y_{mk+n}):m\ge0\}$是马氏链, 因此对任意的$n=1,~2,~3,\cdots,k-1$,有 $$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n}) |X_{mk+n-k},Y_{mk+n-k})}{c_{mk+n}}~~{\rm a.s.}~\mbox{收敛}, \end{eqnarray*}$$ 从而 $$\begin{eqnarray*} &&\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k})}{c_m} \\ &=&\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k-1}\frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n})|X_{mk+n-k},Y_{mk+n-k})}{c_{mk+n}}\\ &=&\displaystyle\sum_{n=0}^{k-1}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f_{mk+n}(X_{mk+n})-E(f_{mk+n}(X_{mk+n})|X_{mk+n-k},Y_{mk+n-k})}{c_{mk+n}}~~ {\rm a.s.}~\mbox{收敛}, \end{eqnarray*}$$ 亦即$(2.1)$式对$k>1$成立,又由Kronecker引理知$(2.2)$式对$k>1$也成立.

推论 2.1     设$\vec X$为随机环境$\vec \xi$中的马氏链,$\{f_n:n\geq0\}$是$(X,{\cal A})$上 可测函数序列, 如果定理2.1的条件成立,则对任意的$k\ge1$,有 $$\sum_{m=0}^\infty\frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \vec{\xi}_{m-k}^{\infty})}{c_m}~~{\rm a.s}~\mbox{收敛}$$ 及 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m) -E(f_m(X_m)|X_{m-k},{\vec{\xi}}_{m-k}^{\infty}))=0~~{\rm a.s..}$$

证     由引理1.1知$\{(X_n,\vec{\xi}_{n}^{\infty}),n\geq0\}$是马氏链,从而由定理2.1知推论2.1成立.

推论 2.2     在定理2.1的条件下,有 $$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-1},\xi_{m-1})}{c_m}~~{\rm a.s.}~\mbox{收敛}.$$ 及 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-1},\xi_{m-1}))=0~~{\rm a.s..}$$

证     同文献^[7]中推论2的证明.

定理 2.2     在定理2.1的条件下,若 $$\limsup\limits_{n\to\infty} \frac{b_{n+k}}{b_n}\leq C(k)<\infty,(2.8)$$ 则对任意的$N\geq 1$,有 $$\lim\limits_{n\to \infty}\bigg(\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n a_m(f_m(X_m)-Ef_m(X_m))- \frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n H_N(m)\bigg)=0 {\rm a.s.,}$$ 其中 $$H_N(m)=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N a_{m+k}(E(f_{m+k}(X_{m+k})|X_m,Y_m)-E(f_{m+k}(X_{m+k})).$$

证     由定理2.1可知,对任意的$N\geq1$和$k=1,~2,\cdots,N$,有 $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{b_n}\sum\limits_{m=0}^n a_m ((f_m(X_m)-Ef_m(X_m))-(E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k})-Ef_m(X_m)))=0 ~~ {\rm a.s..}$$ 从而 $$\begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{n\to \infty} \bigg(\frac{1}{b_n}\sum\limits_{m=0}^n a_m (f_m(X_m)-Ef_m(X_m))\\ &&-\frac{1}{b_n}\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N \sum\limits_{m=0}^n a_m(E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k})-Ef_m(X_m))\bigg)=0 ~~ {\rm a.s..} \end{eqnarray*}$$ 注意到 $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{b_n}\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N \sum\limits_{m=0}^{k-1} a_m(E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k})-Ef_m(X_m))=0 ~~ {\rm a.s..}$$ 从而有 $$\begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{n\to \infty} \bigg(\frac{1}{b_n}\sum\limits_{m=0}^n a_m (f_m(X_m)-Ef_m(X_m))\\ &&-\frac{1}{b_n}\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N \sum\limits_{m=k}^n a_m(E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k})-Ef_m(X_m))\bigg)=0 ~~ {\rm a.s..} \end{eqnarray*}$$ 而 $$\begin{eqnarray*} && \frac{1}{b_n}\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N \sum\limits_{m=k}^n a_m(E(f_m(X_m)|X_{m-k},Y_{m-k})-Ef_m(X_m))\nonumber\\ &=&\frac{1}{b_n}\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N \sum\limits_{m=0}^{n-k} a_{m+k}(E(f_{m+k}(X_{m+k})|X_{m},Y_{m})-Ef_{m+k}(X_{m+k}))\nonumber\\ &=& \frac{1}{b_n}\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N \sum\limits_{m=0}^{n} a_{m+k}(E(f_{m+k}(X_{m+k})|X_{m},Y_{m})-Ef_{m+k}(X_{m+k}))-I_N(n), \end{eqnarray*}$$ 其中 $$I_N(n)=\frac{1}{b_n}\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N \sum\limits_{s=1}^{k} a_{n+s}(E(f_{n+s}(X_{n+s})|X_{n+s-k}, Y_{n+s-k})-Ef_{n+s}(X_{n+s})).$$ 于是有 $$\lim\limits_{n\to \infty} \bigg(\frac{1}{b_n}\sum\limits_{m=0}^n a_m (f_m(X_m)-Ef_m(X_m)) -\frac{1}{b_n}\sum\limits_{m=0}^nH_N(m)+I_N(n)\bigg)=0 ~~{\rm a.s.}.(2.9)$$

下证对任意的$N\geq 1$,$\lim\limits_{n\to \infty} I_N(n)=0$ a.s.. 由(2.3)式有 $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{c_{m}}Ef_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|> c_m\}}=0.(2.10)$$ 类似于(2.5)式的证明有 $$\sum\limits_{m=0}^\infty\frac{1}{c_{m}}E(f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|> c_m\}}|X_{m-k},Y_{m-k})<\infty ~~ {\rm a.s.},$$ 从而 $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{c_{m}}E(f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|> c_m\}}|X_{m-k},Y_{m-k})=0~~ {\rm a.s.}.(2.11)$$

由(2.6)式,完全类似地可以证明 $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{c^{p}_{m}}E|f_m(X_m)|^{p}I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}=0,$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{c^p_{m}}E(|f_m(X_m)|^{p}I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}|X_{m-k},Y_{m-k})=0~~ {\rm a.s.},$$ 再由H\"{o}lder不等式 $$\frac{1}{c_{m}}E|f_m(X_m)|I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}\leq \bigg(\frac{1}{c^{p}_{m}}E|f_m(X_m)|^{p}I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}\bigg)^{1/p}$$ 及 $$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{c_{m}}E(|f_m(X_m)|I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}|X_{m-k},Y_{m-k}) \\ &\leq& \bigg(\frac{1}{c^{p}_{m}}E(|f_m(X_m)|^{p}I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}|X_{m-k},Y_{m-k})\bigg)^{1/p} \end{eqnarray*}$$ 知 $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{c_{m}}Ef_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}=0,(2.12)$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{c_{m}}E(f_m(X_m)I_{\{|f_m(X_m)|\leq c_m\}}|X_{m-k},Y_{m-k})=0~~{\rm a.s.},(2.13)$$ 综合(2.10)-(2.13)式,并利用条件(2.8), 对所有$k\geq 1,~s\geq 1$,就有 $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+s}E(f_{n+s}(X_{n+s})|X_{n+s-k},Y_{n+s-k})}{b_n}=0 ~~{\rm a.s.},$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+s}Ef_{n+s}(X_{n+s})}{b_n}=0.$$ 这就表明$\lim\limits_{n\to \infty}I_N(n)=0,$ a.s.. 从而由(2.9)式知定理2.2结论成立.

以下假设$\vec {\xi}$是一步转移概率为$K(\theta,B)$的马氏链,对任意的$E\in{{\cal A}}\times {\cal B}$, 记 $$P^n(E)=P((X_n,\xi_n)\in E).$$

定理 2.3     设$\vec X$为马氏环境$\vec {\xi}$中的马氏链,在定理2.2的条件下,若 $$\limsup\limits_{N\rightarrow\infty}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^{n}\sup\limits_{(x,{\theta}_1)} \bigg|\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N a_{m+k} \int(Q^k(x,{{\theta}}_1;{\rm d}z,{\rm d}\theta) -P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta))f_{m+k}(z)\bigg|=0, (2.14)$$ 则 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m))) =0~~{\rm a.s..} (2.15)$$

证     因为$\vec {\xi}$是一步转移概率为$K(\theta,B)$的马氏链,由引理1.3知$\{(X_n,\xi_n):n\ge 0\}$是马氏链, 又由于定理2.1的条件满足,从而(2.2)式成立.注意到 $$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)))\\ &=&\bigg(\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m))) - \frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n H_N(m)\bigg)+\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n H_N(m), \end{eqnarray*}$$ 由定理2.2,欲证(2.15)式成立,只需证 $$\limsup_{N\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\bigg|\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n H_N(m)\bigg|=0~~{\rm a.s..} (2.16)$$

而 $$\begin{eqnarray*} &&\bigg|\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n H_N(m)\bigg|\\ &\leq&\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n \bigg|\frac{1}{N} \sum\limits_{k=1}^N a_{m+k}(E(f_{m+k}(X_{m+k})|X_m,{\xi}_m)) -E(f_{m+k}(X_{m+k}))\bigg|\\ &=&\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^n \bigg|\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N a_{m+k} \int(Q^k(X_m,\xi_m;{\rm d}z,{\rm d}\theta )-P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta ))f_{m+k}(z)\bigg|\\ &\leq&\frac{1}{b_n} \sum\limits_{m=0}^{n}\sup\limits_{(x,{\theta}_1)} \bigg|\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N a_{m+k}\int(Q^k(x,{{\theta}}_1;{\rm d}z,{\rm d}\theta )-P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta ))f_{m+k}(z)\bigg|, \end{eqnarray*}$$ 从而由(2.14)式知(2.16)式成立,继而(2.15)式成立.

定理 2.4     设$\vec X$为马氏环境$\vec {\xi}$中的马氏链, 在定理2.1的条件下,若存在$C>0,$ 使得$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{m=0}^{n}a_m/b_n= C$, 且 $$\limsup\limits_{k\rightarrow\infty} \sup\limits_{ m \atop (x,\theta_1) } \bigg|\int(Q^k(x,\theta_1;{\rm d}z,{\rm d}\theta)-P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta))f_{m+k}(z)\bigg|=0, (2.17)$$ 则 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)))=0~~{\rm a.s..} (2.18)$$

证     由于定理2.1的条件满足,从而(2.2)式成立.又由于 $$\begin{eqnarray*} &&\bigg|\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)))\bigg|\\ &\leq&\bigg|\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(f_m(X_m)-E(f_m(X_m)|X_{m-k},\xi_{m-k}))\bigg|\\ &&+\bigg|\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n}a_m(E(f_m(X_m)|X_{m-k}, \xi_{m-k})-E(f_m(X_m)))\bigg|. \end{eqnarray*}$$ 因此欲证(2.18)式成立,只需证 $$\limsup_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\bigg|\frac{1}{b_n} \sum_{m=0}^{n}a_m(E(f_m(X_m)|X_{m-k},\xi_{m-k})-E(f_m(X_m)))\bigg|=0~~ {\rm a.s..} (2.19)$$

由于 $$\begin{eqnarray*} &&\limsup_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\bigg|\frac{1}{b_n} \sum_{m=0}^{n}a_m(E(f_m(X_m)|X_{m-k},\xi_{m-k})-E(f_m(X_m)))\bigg|\\ &=&\limsup_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\bigg|\frac{1}{b_n} \sum_{m=0}^{n-k}a_{m+k}(E(f_{m+k}(X_{m+k})|X_{m},\xi_{m}) -E(f_{m+k}(X_{m+k})))\bigg|\\ &=&\limsup_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\bigg|\frac{1}{b_n}\sum_{m=0}^{n-k}a_{m+k}\int(Q^k(X_{m},\xi_{m};{\rm d}z,{\rm d}\theta)-P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta))f_{m+k}(z)\bigg|\\ &\leq&\limsup_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum\limits_{m=0}^{n-k}a_{m+k}\sup\limits_{ m \atop (x,\theta_1) } \bigg|\int(Q^k(x,\theta_1;{\rm d}z,{\rm d}\theta)-P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta))f_{m+k}(z)\bigg|\\ &\leq&\limsup_{k\to\infty}\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum\limits_{m=0}^{n}a_{m}\sup\limits_{ m \atop (x,\theta_1) } \bigg|\int(Q^k(x,\theta_1;{\rm d}z,{\rm d}\theta)-P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta))f_{m+k}(z)\bigg|\\ &\leq&C \limsup\limits_{k\rightarrow\infty} \sup\limits_{ m \atop (x,\theta_1) } \bigg|\int(Q^k(x,\theta_1;{\rm d}z,{\rm d}\theta)-P^{m+k}({\rm d}z,{\rm d}\theta))f_{m+k}(z)\bigg|~~{\rm a.s.,} \end{eqnarray*}$$ 上述第一个等式是由于$m<k$时,有 $$E(f_m(X_m)|X_{m-k},\xi_{m-k})=E(f_m(X_m)~~{\rm a.s.}.$$ 从而由(2.17)式知(2.19)式成立,继而(2.18)式成立.