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  数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (1): 110-117   PDF (250 KB)    
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朱军明
张之正
几个级数-乘积型恒等式与 Dedekind Eta 函数展开式
朱军明, 张之正    
洛阳师范学院 数学科学学院 河南 洛阳 471022
摘要    :利用级数的重排与 Jacobi 三重积恒等式, 得到三个级数-乘积型恒等式. 作为它们的特殊情形, 得到几个与 Dedekind eta 函数相关的展开式.
关键词三重积恒等式     级数重排     级数-乘积型恒等式     Dedekind's eta 函数     模恒等式    
Some Series-Product Identities and Expansions on Dedekind's Eta Function
ZHU Jun-Ming, ZHANG Zhi-Zheng    
Department of Mathematics, Luoyang Normal University,Henan Luoyang |471022
Abstract    : We establish three series-product identities. Our tools are the Jacobi triple product identity and the method of series rearrangement. Several identities on Dedekind's eta function η(τ) are obtained.
Key words: Triple product identity     Series rearrangement     Series-product identity     Dedekind's eta function     Modular identity    
1 引言和主要结果

为了方便,本文总是假设 |q|<1. 我们使用如下标准的符号 (a;q)=n=0(1aqn),(a;q)α=(a;q)(aqα;q), 其中 α 为任意整数. 我们使用如下紧凑的记号 (a,b,,c;q)=(a;q)(b;q)(c;q).

假设 n,k1,k2s 都是整数,s>0k1+k2=s,那么我们容易验证等式 (qs,qk1+sn,qk2sn;qs)=(1)nqsn(n1)2nk1(qs,qk1,qk2;qs).(1.1)

三重积恒等式是最重要的级数-乘积型恒等式之一. 它可以写作如下形式 (例如,参见文献[1]) (q,z,qz;q)=n=(1)nq12n(n1)zn,z0.(1.2) 其他重要的级数-乘积型恒等式有五重积恒等式、七重积恒等式、 Winquist 恒等式等.在文献 [1] 中,Kongsiriwong 和 Liu 应用 n 次单位根并结合待定系数法巧妙地证明了很多 这种类型的已有恒等式并发现一些新的恒等式. 然而,在文献 [1] 中有三个等式 (即文献 [1,式 (6.12),(6.13) 和 (6.14)]) 的系数非常复杂. 例如,文献 [1,式 (6.12)] 如下 (q,qz,q/z,qz2,q/z2;q2)=(q;q2)5+4(q5;q10)5(q10;q10)(q5;q10)2n=(1)nq5n2z5n+(q;q2)5(q5;q10)5(q10;q10)(q3;q10)(q7;q10)n=(1)nq5n2+2n(z5n+1+z5n1)+(q;q2)5(q5;q10)5(q10;q10)(q;q10)(q9;q10)n=(1)nq5n2+4n(z5n+2+z5n2).

本文得到三个级数-乘积型恒等式,其中两个分别对 文献 [1,式 (6.12) 和 (6.14)] 的系数作了简化 (文献 [1,式 (6.13)] 系数的简化见文献 [1,式 (8.16)] 或 文献[2,定理2.1]). 我们使用的工具主要有 Jacobi 三重积恒等式和级数的重排. 本文所研究的级数都是绝对收敛的,从而级数重排后其和不会改变. 我们发现,不论是证明已有恒等式,还是发现新的恒等式,这种方法都非常有效. 当然,此方法对简化文献 [1,式(6.13)] 也是可行的. 特别地,这种方法似乎比文献 [1][2] 中的方法更易于确定级数的系数.

为了简化记号,在下文中我们总是把 m1=m2=mn= 写作 m1, m2,, mn. 本文的主要结果是如下三个等式.

定理 1.1     对任意非零复数 z,我们有 (q2,qz,q/z;q2)(q2,qz2,q/z2;q2)=(q10,q5,q5;q10)n(1)nq5n2z5nq(q10,q,q9;q10)n(1)nq5n2+2n(z5n+1+z5n1)q(q10,q3,q7;q10)n(1)nq5n2+4n(z5n+2+z5n2). 上式极大地简化了文献 [1,式 (6.12)] 中 z 的系数. 下面定理 1.2 中的等式简化了文献 [1,式 (6.14)].

定理 1.2     对任意非零复数 z,我们有 (q2,qz,q/z;q2)(q6,z3,q6/z3;q6)=(q24,q9,q15;q24)nq4n2z4n(q3nq3nz3)+q(q24,q3,q21;q24)nq4n2z4n(qnz2qnz). 下面 定理 1.3 中我们给出一个新的等式.

定理 1.3     对任意非零复数 z,我们有 (q,z,q/z;q)(q3,qz3,q2/z3;q3)=q(q12,q2,q10;q12)nq2n22nz4n1+(q12,q5,q7;q12)nq2n2nz4n(q12,q4,q8;q12)nq2n2z4n+1+q(q12,q,q11;q12)nq2n2+nz4n+2.

在本文第 2 部分,我们将给出定理 1.1 的详细证明. 其他定理的证明步骤都非常类似,为了节省篇幅,在此从略. 在这些等式的证明过程中,变换 {m+n=2s,mn=2t 以及 {m+n=2s+1,mn=2t+1(1.3) 经常用来把一个级数分成两个. 它们也可以分别写作如下的等价形式: {m=s+t,n=st 以及 {m=s+t+1,n=st.(1.4)

在第 3 部分,我们将导出与 Dedekind eta 函数相关的模恒等式. 令 ω=e23πi,我们将用到以下事实 1+ωn+ω2n={3,n0(mod 3),0,n0(mod 3).(1.5)

2 定理的证明

定理1.1的证明     利用三重积恒等式 (1.2),我们有 (q2,qz,q/z;q2)(q2,qz2,q/z2;q2)=m,n(1)m+nqm2+n2zm+2n=m,n(1)nq4m2+n2z2m+2nm,n(1)nq(2m+1)2+n2z2m+2n+1(把变换 (1.3) 或 (1.4) 分别应用到以上两个求和中)=s,t(1)stq4(s+t)2+(st)2z4s+s,t(1)stq4(s+t+1)2+(st)2z4s+2s,t(1)stq(2s+2t+1)2+(st)2z4s+1s,t(1)stq(2s+2t+3)2+(st)2z4s+3=s(1)sq5s2z4st(1)tq5t2+6st+s(1)sq5s2+8s+4z4s+2t(1)tq5t2+6st+8ts(1)sq5s2+4s+1z4s+1t(1)tq5t2+6st+4ts(1)sq5s2+12s+9z4s+3t(1)tq5t2+6st+12t=s(1)sq5s2z4s(q10,q56s,q5+6s;q10)+s(1)sq5s2+8s+4z4s+2(q10,q36s,q13+6s;q10)s(1)sq5s2+4s+1z4s+1(q10,q16s,q9+6s;q10)s(1)sq5s2+12s+9z4s+3(q10,q76s,q17+6s;q10)(用 5s,5s+1,5s+2,5s1 以及 5s2 替代上式中的每一个 s,然后, 应用 (1.1) 对所得结果化简)=sq80s2z20s(q10,q5,q5;q10)+sq80s2+32s+4z20s+4(q10,q,q9;q10)sq80s2+64s+13z20s+8(q10,q3,q7;q10)+sq80s232s+4z20s4(q10,q,q9;q10)sq80s264s+13z20s8(q10,q3,q7;q10)sq80s2+16s+1z20s+2(q10,q3,q7;q10)+sq80s2+48s+8z20s+6(q10,q,q9;q10)+sq80s2+80s+20z20s+10(q10,q5,q5;q10)sq80s216s+1z20s2(q10,q3,q7;q10)+sq80s248s+8z20s6(q10,q,q9;q10)sq80s2+8s+1z20s+1(q10,q,q9;q10)sq80s2+40s+5z20s+5(q10,q5,q5;q10)sq80s2+72s17z20s+9(q10,q,q9;q10)+sq80s224s+2z20s3(q10,q3,q7;q10)+sq80s256s+10z20s7(q10,q3,q7;q10)+sq80s2+24s+2z20s+3(q10,q3,q7;q10)+sq80s2+56s+10z20s+7(q10,q3,q7;q10)sq80s2+88s+9z20s+11(q10,q,q9;q10)sq80s28s+1z20s1(q10,q,q9;q10)sq80s240s+5z20s5(q10,q5,q5;q10)=:A+BC+DEF+G+HI+JKLM+N+O+P+QRST=(A+HLT)+(B+JMS)+(D+GKR)+(CI+O+P)+(EF+N+Q)(分别把以上每个括号中的四个和式合并)=(q10,q5,q5;q10)n(1)nq5n2z5nq(q10,q,q9;q10)n(1)nq5n22nz5n1q(q10,q,q9;q10)n(1)nq5n2+2nz5n+1q(q10,q3,q7;q10)n(1)nq5n24nz5n2q(q10,q3,q7;q10)n(1)nq5n2+4nz5n+2. 这就是定理 1.1. 证毕.

3 与 Dedekind eta 函数相关的展开式

Dedekind eta 是一个重要的函数,它在数论,特别是模形式理论中有广泛的应用. 其定义为 η(τ)=q124(q;q),其中  q=e2πiτ, Imτ>0. 在这一部分,我们将由本文主要结果导出一些与 Dedekind eta 函数相关的展开式.

推论 3.1     我们有 (q;q)2(q2;q2)2=m(1)mq5m2+4mn(1)n(10n+3)q5n2+3n+1+m(1)mq5m2+2mn(1)n(10n+1)q5n2+nm(1)mq5m2n(1)n(5n+2)q5n2+5n+1.

     在定理 1.1 中,用 zq 替换 z,我们把定理 1.1 写为如下形式 (q2,z,q2/z;q2)(q2,qz2,q/z2;q2)=(q10,q,q9;q10)(n(1)nq5n23n+1z5n1n(1)nq5n2+3n+1z5n+2)+(q10,q3,q7;q10)(n(1)nq5n2nz5nn(1)nq5n2+nz5n+1)(q10,q5,q5;q10)n(1)nq5n25n+1z5n2. 上式两端同除以 1z,然后令 z1,在等式右端利用 L'hospital 法则就得到 推论 3.1. 推论 3.2     我们有 (q;q)2=mq4m2+m(nq12n2+nnq12n2+7n+1)+mq4m2+3m(nq12n2+11n+3nq12n2+5n+1).

     在定理 1.2 中,分别令 z=q,z=qωz=qω2,得到三个等式,把这三个等式相加有 3(q3;q3)2=(q24,q9,q15;q24)(nq4n2+n(1+ωn+ω2n)nq4n2+7n+3(1+ωn+ω2n))+(q24,q3,q21;q24)(nq4n2+5n+3(1+ωn1+ω2(n1))nq4n2+3n+2(1+ωn+1+ω2(n+1))). 应用式 (1.5),然后把 q 替换为 q13,等式两端同时消去因子 3,我们有 (q;q)2=(q8,q3,q5;q8)(nq12n2+nnq12n2+7n+1)+(q8,q,q7;q8)(nq12n2+11n+3nq12n2+5n+1). 在上式中应用三重积恒等式 (1.2) 即为推论 3.2.

已有文献中有多个关于 η2(τ) 的展开式. Rogers[3] 首先证明了 (q;q)2=m,n=;n2|m|(1)m+nq12[n(n+1)m(3m1)]. 之后,Hecke[4],Andrews[5, 6] 以及 Kac 和 Peterson[7] 又重新发现了这个等式.

Liu[8] 利用一个很一般的 q-级数等式证明了 (q;q)2=n=0nj=n(1)j(1q2n1)q2n2+n12j(3j+1).

Ewell[9] 和 Shen[10] 分别证明了以下两个关于 η2(τ) 的等式 (q;q)2=m,n(q3m2+3n2+nq3m2+3n2+3m+2n+1), (q;q)2=m,n(1)mqm2+n2+mn+n2.

Liu[11] 还证明了 (q;q)2=12m,n((1)n(1)m)q14(3m2+3n2+4m+1). 推论 3.3     我们有 (q;q)4=qmq6m2+4mn(4n1)q2n22n+mq6m2+mn4nq2n2+n+mq6m2+2mn(4n+1)q2n2+qmq6m2+5mn(4n2)q2n2n.

     定理 1.3 等式两端同除以 1z,然后令 z1,在右端应用 L'hospital 法则得到有 (q;q)4=q(q12,q2,q10;q12)n(4n1)q2n22n(q12,q5,q7;q12)n4nq2n2n+(q12,q4,q8;q12)n(4n+1)q2n2q(q12,q,q11;q12)n(4n+2)q2n2+n. 上式中应用 式(1.2),然后,把第二和第四个和式中的 n 改作 n,我们得到推论 3.3.

Liu [11] 给出如下等式 (q;q)4=12m, n(1)m+n(2n+1)q12(n2+3m2+nm).

Zhu[2] 证明了 (q;q)4=2mq2m2n2nq6n2+2n+2qmq2m2+2mn(2n1)q6n24n+mq2m2+mn(2n+1)q12(3n2+n).

推论 3.4     我们有 (q;q)(q3;q3)=qmq6m2+4mnq18n2+6n+mq6m2+mnq18n2+3nq2mq6m2+2mnq18n2+12n+q4mq6m2+5mnq18n2+15n.

     类于推论 3.2 的证明,在定理 1.3 中分别令 z=1,z=ωz=ω2,我们得到三个等式. 把这三个等式相加即为 3(q;q)(q3;q3)=q(q12,q2,q10;q12)nq2n22n(1+ωn1+ω2(n1))+(q12,q5,q7;q12)nq2n2n(1+ωn+ω2n)(q12,q4,q8;q12)nq2n2(1+ωn+1+ω2(n+1))+q(q12,q,q11;q12)nq2n2+n(1+ωn1+ω2(n1)).

应用 式(1.5),然后在所得的等式两端同时消去因子 3,上式变为 (q;q)(q3;q3)=q(q12,q2,q10;q12)nq18n2+6n+(q12,q5,q7;q12)nq18n2+3nq2(q12,q4,q8;q12)nq18n2+12n+q4(q12,q,q11;q12)nq18n2+15n. 此式再应用 式(1.2),我们得到推论 3.4.

致谢     第一作者感谢陶利群博士一直以来的帮助. 我们感谢审稿专家对本文的更正与建议.

参考文献
[1] Kongsiriwong S, Liu Z G. Uniform proofs of q-series-product identities. Results Math, 2003, 44(3/4):312–339
[2] Zhu J M. A sextuple product identity with applications. Mathematical Problems in Engineering, Vol 2011.Article ID 462507, 11 pages
[3] Rogers L J. Second memoir on the expansion of certain infinite products. Proc London Math Soc, 1894,25: 318–343
[4] Hecke E. Mathematische Werke. G¨otingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1959
[5] Andrews G E. Hecke modular forms and the KAC–Peterson identities. Trans Amer Math Soc, 1984,283(2): 451–458
[6] Andrews G E. The fifth and seventh order mock theta functions. Trans Amer Math Soc, 1986, 293(1):113–134
[7] Kac V G, Peterson D H. Affine Lie algebras and Hecke modular forms. Bull Amer Math Soc (N S), 1980,3(3): 1057–1061
[8] Liu Z G. An expansion formula for q-series and applications. Ramanujan J, 2002, 6(4): 429–447
[9] Ewell J A. Completion of a Gaussian derivation. Proc Amer Math Soc, 1982, 84(2): 311–314
[10] Shen L C. On the products of three theta functions. Ramanujan J, 1999, 3(4): 343–357
[11] Liu Z G. Addition formulas for Jacobi theta functions, Dedekind’s eta function, and Ramanujan’s congruences. Pacific J Math, 2009, 240(1): 135–150
几个级数-乘积型恒等式与 Dedekind Eta 函数展开式
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