考虑Banach空间$X$中一类有阻尼的二阶脉冲泛函微分方程初值问题 (IVP)

$$\begin{equation}\label{eqs1} \left\{\begin{array}{ll} x''(t\big)=Ax(t)+Bx'(t)+g(t,x_t),\ t\in[0,b],t\neq t_i,\\ \Delta x(t_i)=I_i(x_{t_i}),\ \Delta x'(t_i)=J_i(x_{t_i}),\ i=1,2,\cdots,n,\\ x_0=\varphi\in{\cal B},\ x'(0)=z\in X, \end{array}\right. \end{equation}$$

(1.1)

$$\begin{equation}\label{eqs2} \left\{\begin{array}{ll} x''(t)=Ax(t)+Bx'(t)+f(t,x_t,x'_t),\ t\in[0,b],t\neq t_i\\ \Delta x(t_i)=I_i(x_{t_i},x'_{t_i}),\Delta x'(t_i)=J_i(x_{t_i},x'_{t_i}),\ i=1,2,\cdots,n,\\ x_0=\varphi\in{\cal B},\ x'_0=\psi\in{\cal B}, \end{array} \right. \end{equation}$$

(1.2)

这里$A$为$X$中有界线性的强连续余弦算子族$(C(t))_{t\in{\Bbb R}}$的无穷小生成元,$B:X\rightarrow X$是一个有界线性算子,$x_t,x'_t: (-\infty,0]\rightarrow X$,$x_t(\theta)=x(t+\theta)$ 和 $x'_t(\theta)=x'(t+\theta)$ 属于某个抽象的相空间${\cal B}$; $I_i\in C({\cal B},X),J_i\in C({\cal B},X)\ (i=1,2,\cdots,n),g,f$ 是适当的函数; $0=t_0< t_1<\cdots< t_n< t_{n+1}=b$ 是固定的数, $\triangle x(t_i)=x(t^+_i)-x(t^-_i)$,其中 $x(t^+_i)$ 和 $x(t^-_i)$ 分别表示 $x(t)$ 在 $t=t_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 的右极限和左极限. $\triangle x'(t_i)=x'(t^+_i)-x'(t^-_i)$ 具有相同的含义.

脉冲现象在现代科技各个领域的实际问题中是普遍存在的, 其数学模型往往可归结为脉冲微分系统. 近年来,由于脉冲型泛函微分系统在力学,电子学,医学,生物学, 生态学等领域有大量应用,已经成为重要的研究对象. 关于这方面的研究, 读者可参考文献 ^[] 及他们的参考文献. 然而, 在先前的这些研究结果中,作者为了得到 mild 解的存在性, 相关算子和脉冲项的紧性条件,先验估计的限制性条件被使用. 例如, 文献^[5]研究了无时滞的初值问题 (1.1)和(1.2) mild 解的存在性, 相关算子和脉冲项的紧性条件,先验估计的限制性条件,例如

$$\begin{equation}\label{eqs3} \mu=3\overline{N}\|B\|+\sum\limits_{i=1}^n(Nc^I_i+\overline{N}c^J_i)<1, \end{equation}$$

(1.3)

$$\begin{equation}\label{eqs4} 3\overline{N}\|B\|+N\|B\|b+\liminf_{r\rightarrow\infty}\frac{\overline{N}W(2r)}{r}\int_0^bm(s){\rm d}s+\sum\limits_{i=1}^n(NL_i+\overline{N}K_i)<1 \end{equation}$$

(1.4)

在文献 ^[5]中被使用. 在文献^[]中, 作者使用Hausdorff非紧性测度和严格集压缩映射的不动点定理得 到了下列初值问题 mild 解的存在性

$$\begin{equation}\label{eqs5} \left\{\begin{array}{ll} \frac{\rm d}{{\rm d}t}[x'(t)+g(t,x_t)]=Ax(t)+f(t,x_t),\ t\in[0,b],\ t\neq t_i,\\ [2mm] \Delta x(t_i)=I_i(x_{t_i}),\ \Delta x'(t_i)=J_i(x_{t_i}),\ i=1,2,\cdots,n,\\ x_0=\varphi\in{\Bbb {B}},\ x'(0)=z. \end{array} \right. \end{equation}$$

(1.5)

然而,脉冲项的非紧性测度条件,先验估计的限制条件(1.3)和(1.4) 式以及非紧性测度估计的限制性条件

$$\begin{equation}\label{eqs6} K_b\bigg[NL_gb +\sum\limits_{i=1}^n(NL^1_i+\widetilde{N}L^2_i)\bigg]+\int_0^b\eta(s){\rm d}s<1 \end{equation}$$

(1.6)

仍然被使用.

本文应用Kuratowski非紧性测度和分段估计方法, 研究Banach空间中有阻尼的二阶脉冲无穷时滞泛函微分方程 IVP (1.1)和 IVP (1.2) mild 解存在性的和正则性. 脉冲项的紧性条件,先验估计和非紧性测度估计的限制条件已经被删除, 我们的结果改进和推广了文献^{[5, 8]}中相应的结果. 作为应用,我们举两个例子说明本文的结果.

本文总假设$X$ 是具有范数$\|\cdot\|$ 的 Banach 空间, $A$ 为$X$中有界线性的强连续余弦算子族$(C(t))_{t\in{\Bbb R}}$的 无穷小生成元, 强连续正弦算子族$(S(t))_{t\in{\Bbb R}}$由相应的余弦族 $(C(t))_{t\in{\Bbb R}}$定义为 $S(t)x =\int_0^tC(s)x{\rm d}s, x\in X,t\in{\Bbb R}$. 假定$N,\overline{N}$ 是常数, 使得对所有$t\in J=[0,b]$,$\|C(t)\|\leq N$, $\|S(t)\|\leq\overline{N}$. 关于余弦算子的相关概念,读者可参考文献 ^[12]. 通常用$[D(A)]$表示$A$的赋予图像范数 $\|x\|_A=\|x\|+\|Ax\|(x\in D(A))$的定义域. 另外,记 $E=\{x\in X:C(\cdot)x \in C^1\}$. 在文献 ^[13] 中,Kisy\'{n}ski 证明了空间$E$赋予下列范数 $$\|x\|_E=\|x\|+\sup\limits_{0\leq t\leq b}\|AS(t)x\|,\ x\in E$$ 是一个Banach 空间.由定义在$D(A)\times E$上的算子 ${\cal A}=\left[\begin{array}{cc}0~&I\\ A~&0\end{array} \right]$生成的算子值函数 $G(t) =\left[\begin{array}{cc}C(t)~& S(t)\\ AS(t)~& C(t)\end{array} \right]$是空间$E \times X$上线性算子的强连续群. 由此得到$AS(t):E\rightarrow X$是一个有界线性算子,并且对所有的$x\in E$,$AS(t)x\rightarrow0\ (t \rightarrow0)$. 另外,如果$x:[0,\infty)\rightarrow X$ 是一个局部可积函数,那么$z(t) =\int_0^tS(t-s)x(s){\rm d}s$定义一个$E$ -值连续函数. 记$N_1=\sup\limits_{t\in J}\|AS(t)\|_{L(E,X)}$,其中$L(E,X)$表示从$E$ 到 $X$的有界线性算子生成的Banach空间,当$E=X$时,简写成$L(X)$.

记 $PC([0,b],X)=\{x : [0,b]\rightarrow X,x$ 在 $t\neq t_i$ 时连续,$x(t^-_i) =x(t_i)$ 且$x(t^+_i)$ 存在, $i = 1,2,\cdots,n\}$. 显然,赋予范数 $\|x\|_{pc}=\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\|$ 的空间 $PC([0,b],X)$ 是一个 Banach空间. 进一步,令 $PC^1([0,b],X)=\{x\in PC :$ $x'(t)$ 在 $t\neq t_i$ 时连续, $x'(t^-_i) =x'(t_i)$ 且$x'(t^+_i)$ 存在,$i = 1,2,\cdots,n\}$. 于是具有范数 $\|x\|_1=\|x\|_{pc}+\|x'\|_{pc}$ 的空间 $PC^1([0,b],X)$ 也是一个 Banach空间. 将它们分别简记为 $PC,PC^1$.

对 $x\in PC,i=1,2,\cdots,n$,令$\widetilde{x}_i(t)=x(t) ,t\in(t_i,t_{i+1}],$ $\widetilde{x}_i(t^+_i)=x(t^+_i)$,于是 $\widetilde{x}_i\in C([t_i,t_{i+1}],X)$. 进一步,对 $V\in PC$ 和 $i=1,2,\cdots,n$,记 $\widetilde{V}_i=\{\widetilde{x}_i:x\in V\}$. 从文献 [1,引理 1.1],$V\in PC$ 是相对紧的当且仅当每一个集合 $\widetilde{V}_i\subset C([t_i,t_{i+1}],X)\ (i=0,1,\cdots,n)$ 是相对紧的. 以下记 $J_0=\overline{J}_0=[0,t_1], \overline{J}_1=[t_1,t_2],\cdots,\overline{J}_n=[t_n,b]$.

对于脉冲微分方程,我们给出类似于文献 ^[14] 中的相空间的公理化定义.

定义2.1     ${\cal B}$ 是$(-\infty,0]$上的 $X$ 值函数构成的一个线性空间,赋予范数 $\|\cdot\|_{{\cal B}}$ 且满足下列公理:

(A)~ 如果 $x: (-\infty,\sigma+b]\rightarrow X\ (b>0)$ 使得 $x_\sigma\in{\cal B}$ 且 $x|_{[\sigma,\sigma+b]}\in PC([\sigma,\sigma+b],X)$,于是对每一个 $t\in[\sigma,\sigma+b)$,下列结论成立:

(i)~ $x_t\in{\cal B}$;

(ii)~ $\|x(t)\|\leq H\|x_t\|_{{\cal B}}$;

(iii)~ $\|x_t\|_{{\cal B}}\leq K(t-\sigma)\sup\{\|x(s)\|:\sigma\leq s\leq t\}+M(t-\sigma)\|x_\sigma\|_{{\cal B}}$,\\ 这里常数 $H>0$,$K,M:[0,\infty)\rightarrow[1,\infty),K(\cdot)$ 是连续的,$M(\cdot)$ 局部有界且 $H,K,M$ 与 $x(\cdot)$ 无关.

(B)~ 空间 ${\cal B}$ 是完备的.

注释 2.2     如果定义 2.1 中 (A) 的函数 $x(\cdot)$ 在 $[\sigma,\sigma+b]$ 上连续,则函数 $t\rightarrow x_t$ 在 $[\sigma,\sigma+b]$ 上连续.

例 2.3     相空间 $PC_r\times L^2(h,X)$.

设函数 $h:(-\infty,-r]\rightarrow(0,\infty)$ 勒贝格可积且存在 一个局部有界函数 $\gamma:(-\infty,0]\rightarrow[0,\infty)$ 使得对任何 $\xi\leq0,\theta\in (-\infty,-r)\setminus N_\xi$, $h(\xi+\theta)\leq\gamma(\xi)h(\theta)$,这里 $r\geq0$,集合 $N_\xi\subseteq(-\infty,-r)$ 的勒贝格测度为零. 令空间 $$\begin{array}{rcl} {\cal B}=PC_r\times L^2(h,X)&=&\{\psi:(-\infty,0]\rightarrow X,\ \hbox{使得}\ \psi|_{[-r,0]}\in PC([-r,0],X),\\ &&\psi(\cdot),h(\cdot)\|\psi(\cdot)\|^2\ \hbox{在}\ (-\infty,-r]\ \hbox{上勒贝格可积}\}, \end{array}$$ 其范数定义为 $\|\psi\|_{{\cal B}}= \sup\limits_{\theta\in[-r,0]}\|\psi(\theta)\| +\big(\int_{-\infty}^0h(s)\|\psi(s)\|^2{\rm d}s\big)^{\frac{1}{2}}$. 由文献 [15,定理 1.3.8]知,${\cal B}$ 是一个相空间且满足定义2.1中的公理(A) 和(B). 特别的,当 $r = 0$ 时, $H = 1,$ $M(t)=\gamma(-t)^{\frac{1}{2}}$ 并且 $K(t)=1+\big(\int_{-t}^0h(\theta){\rm d}\theta\big)^{\frac{1}{2}}, t\geq0$.

假设 $\alpha(\cdot),\alpha_c (\cdot),\alpha_{pc}(\cdot)$ 分别表示X, $C([0,b],X)$ 及 $PC$ 中的 Kuratowski 非紧性测度.

引理2.4    ^[16] 记$V=\{x_n\}\subset L^1([a,b],X)$. 如果存在 $\sigma\in L^1([a,b],{\Bbb R}^+)\ ({\Bbb R}^+=[0,+\infty))$ 使得对 $x\in V$ 及 a.e. $t\in[a,b]$,$\|x_n(t)\|\leq\sigma(t)$,那么 $\alpha(V(t))\in L^1([a,b],{\Bbb R}^+)$ 且 $$\alpha\bigg(\bigg\{\int_a^tx_n(s){\rm d}s: n\in {\Bbb N}\bigg\}\bigg)\leq 2\int_a^t\alpha\big(V(s)\big){\rm d}s,\ t\in [a,b].$$ 进一步,如果$V\subset C([a,b],X)$是等度连续的有界集,那么 $\alpha(V(t))\in C([a,b],{\Bbb R}^+)$.

引理2.5    ^[17] 设 $X$ 是一个Banach空间, $\Omega$ 是 $X$ 的一个有界开子集且 $0\in \Omega$. 假设算子 $F:\overline{\Omega}\rightarrow X$ 连续且满足下列条件:

(1)~ $x\neq\lambda Fx,\ \forall\ \lambda\in(0,1),x\in\partial\Omega$;

(2)~ 如果对任意可数集$D\subset\overline{\Omega}$, $D\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup F(D))$,可推出 $D$ 是相对紧的.\\ 那么 $F$ 在 $\overline{\Omega}$ 中有一个不动点.

我们首先研究IVP(1.1) mild 解的存在性.

定义 3.1     函数 $x:(-\infty,b]\rightarrow X$ 被称作是 IVP(1.1)的 mild 解,如果 $x_0=\varphi\in{\cal B},x(\cdot)|_J\in PC$ 且

$$\begin{eqnarray}\label{eqs7} x(t)&=&C(t)\varphi(0)+S(t)(z-B\varphi(0))+\int_0^t C(t-s)Bx(s){\rm d}s+\int_0^tS(t-s)g(s,x_s){\rm d}s \nonumber\\ &&-\sum\limits_{t_i<t}S(t-t_i)BI_i(x_{t_i})+\sum\limits_{t_i<t}C(t-t_i)I_i(x_{t_i})+\sum\limits_{t_i<t}S(t-t_i)J_i(x_{t_i}). \end{eqnarray}$$

(3.1)

我们给出下列假设:

$(H_1)$~ 函数 $g:J\times{\cal B}\rightarrow X$ 满足下列条件:

(1)~ 对每一个 $x:(-\infty,b]\rightarrow X$,满足 $x_0=\varphi,x(\cdot)|_J\in PC$,函数$t\rightarrow g(t,x_t)$ 在$J$上是强可测的且对几乎所有的 $t\in J,g(t,\cdot): {\cal B}\rightarrow X$ 是连续的;

(2)~ 存在一个可积函数 $p:J\rightarrow{\Bbb R}^+$ 使得 $\|g(t,\phi)\|\leq p(t)\|\phi\|_{{\cal B}},\ t\in J,\phi\in{\cal B}$;

(3)~ 对任意有界集$V\subset PC$,存在一个可积函数 $\mu:J\rightarrow{\Bbb R}^+$ 使得 $\alpha\big(g(t,V_t)\big) \leq\mu(t)\alpha(V_t),$ $t\in J$, 其中$V_t=\{x_t:x\in V\}\subset{\cal B}\ (t\in J)$.

$(H'_1)$~ 函数 $g(\cdot,\cdot)$ 是连续的,$g(t,0)=0$ 且存在一个正常数$L_g$ 使得 $$\|g(t,\phi)-g(t,\psi)\|\leq L_g\|\phi-\psi\|_{{\cal B}},\ t\in J,\phi,\psi\in{\cal B}.$$

$(H_2)$~ 函数 $I_i,J_i:{\cal B}\rightarrow X\ (i=1,\cdots,n)$ 连续并且存在常数 $d\geq0,e>0$ 使得对每一个 $i=1,\cdots,n$, $$\|I_i(\phi)\|\leq d\|\phi\|_{{\cal B}}+e,\ \|J_i(\phi)\|\leq d\|\phi\|_{{\cal B}}+e,\ \phi\in{\cal B}.$$

函数 $y:(-\infty,b]\rightarrow X$ 被定义为: $y_0=\varphi\in{\cal B},y(t)=C(t)\varphi(0)+S(t)(z-B\varphi(0)),\ t\in J$. 于是 $\|y(t)\|\leq N\|\varphi(0)\|+\widetilde{N}(\|z\|+\|B\|\|\varphi(0)\|)=:L,\ t\in J$.

定理3.2     假设余弦函数族 $C(t),t\in{\Bbb R}$ 是等度连续的,条件 $(H_1)$ 和 $(H_2)$ 被满足. 那么 IVP(1.1) 有一个mild 解.

证     记空间 $S(b)=\{x:(-\infty,b]\rightarrow X,x_0=0,x|_J\in PC\}$,其范数定义为$\|x\|_{b}=\|x_0\|_{\cal B}+\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\|=\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\|$. 于是 $S(b)$ 是一个 Banach 空间. 映射 $F:S(b)\rightarrow S(b)$ 定义为

$$\begin{equation}\label{eqs8} (Fx)(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0,\ t\leq0,\\ \int_0^t C(t-s)B(x(s)+y(s)){\rm d}s+\int_0^tS(t-s)g(s,x_s+y_s){\rm d}s\\ [3mm] -\sum\limits_{t_i<t}S(t-t_i)BI_i(x_{t_i}+y_{t_i})+\sum\limits_{t_i<t}C(t-t_i)I_i(x_{t_i}+y_{t_i})\\ [3mm] +\sum\limits_{t_i<t}S(t-t_i)J_i(x_{t_i}+y_{t_i}),\ t\in J. \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.2)

显然,$\|x_t+y_t\|_{{\cal B}}\leq\|x_t\|_{{\cal B}}+\sup\limits_{t\in J}\|y_t\|_{{\cal B}}\leq K_b\|x\|_t+M$,这里 $K_b=\sup\limits_{t\in J}K(t),M=\sup\limits_{t\in J}\|y_t\|_{{\cal B}}$,$\|x\|_t=\sup\limits_{0\leq s\leq t}\|x(s)\|$. 容易验证 $F$ 的定义是合理的且取值于 $S(b)$. 另外, 根据相空间公理,Lebesgue 控制收敛定理及条件$(H_1)$ 和 $(H_2)$, 我们能证明 $F$ 是连续的 (见文献 ^[1]). 容易知道,如果$x$ 是 $F$的一个不动点,那么 $x+y$ 是 IVP(1.1)的一个 mild 解.

首先,我们证明集合 $$\Omega_0=\{x\in S(b):x=\lambda Fx\ \hbox{对某个}\ \lambda\in(0,1)\}$$ 有界. 实际上,如果$x\in\Omega_0$,那么存在一个$\lambda\in (0,1)$ 使得 $x=\lambda Fx$.

当 $t\in J_0=[0,t_1]$时,注意到 $\|x_t\|_{{\cal B}}\leq K_b\|x\|_t$ 并且 $\|x\|_t$ 是连续不减的. 由 (3.2) 式和 $(H_1)$ 得到 $$\begin{eqnarray*} \|x(t)\|&\leq&(N+\overline{N})\int_0^t(\|B\|\|x(s)+y(s)\|+\|g(s,x_s+y_s)\|){\rm d}s\\ &\leq&(N+\overline{N})\int_0^{t_1}(\|B\|L+Mp(s)){\rm d}s+(N+\overline{N})\int_0^t(\|B\|+p(s))(\|x(s\|+\|x_s\|_{{\cal B}}){\rm d}s\\ &\leq&(N+\overline{N})\int_0^{t_1}(\|B\|L+Mp(s)){\rm d}s+(N+\overline{N})(1+H)\int_0^t(\|B\|+p(s))\|x_s\|_{{\cal B}}{\rm d}s. \end{eqnarray*}$$ 因此,

$$\begin{equation}\label{eqs9} \|x\|_t\leq(N+\overline{N})\int_0^{t_1}(\|B\|L+Mp(s)){\rm d}s+(N+\overline{N})(1+H)K_b\int_0^t(\|B\|+p(s))\|x\|_s{\rm d}s. \end{equation}$$

(3.3)

由 Gronwall 引理和 (3.3)式知,存在一个与$x$和 $\lambda\in(0,1)$ 无关的常数$G_0>0$,使得 $\|x(t)\|\leq G_0$ 且 $\|x_t\|_{{\cal B}}\leq K_bG_0,t\in J_0$. 据此和条件 $(H_2)$ 有 $$\|I_1(x_{t_1}+y_{t_1})\|\leq d(K_bG_0+M)+e=\delta,\ \|J_1(x_{t_1}+y_{t_1})\|\leq\delta,$$ $$\|x(t^+_1)\|=\|x(t_1)+I_1(x_{t_1})\|\leq G_0+\delta.$$

其次,当 $t\in J_1=(t_1,t_2]$ 时,$\widetilde{x}_1\in C([t_1,t_2],X)$. 类似于(3.3) 式,我们得到

$$\begin{eqnarray}\label{eqs10} \|\widetilde{x}_1(t)\|&\leq&(N+\overline{N}\|B\|)\|I_1(x_{t_1}+y_{t_1})\|+\overline{N}\|J_1(x_{t_1}+y_{t_1})\| \nonumber\\ &&+(N+\overline{N})\big[\int_0^{t_2}(\|B\|L+Mp(s)){\rm d}s+(1+H)K_b\int_0^t(\|B\|+p(s))\|x\|_s{\rm d}s\big]. \end{eqnarray}$$

(3.4)

因为 $\|x\|_t\leq\sup\limits_{0\leq s\leq t_1}\|x(s)\| +\sup\limits_{t_1\leq s\leq t}\|\widetilde{x}_1(s)\|=:\|x\|_{t_1}+v(t)$, (3.4)式推得 $$\begin{eqnarray*} v(t)&\leq&(N+\overline{N}\|B\|)\delta+\overline{N}\delta+(N+\overline{N})\int_0^{t_2}(\|B\|L+Mp(s)){\rm d}s\\ &&+(N+\overline{N})(1+H)K_bG_0\int_0^{t_1}(\|B\|+p(s)){\rm d}s\\ &&+(N+\overline{N})(1+H)K_b\int_{t_1}^t(\|B\|+p(s))v(s){\rm d}s,\ t\in [t_1,t_2]. \end{eqnarray*}$$ 由此再利用 Gronwall 引理知,存在一个与 $\widetilde{x}_1$和$\lambda\in(0,1)$无关的常数 $G_1>0$,使得 $\|\widetilde{x}_1\|_t\leq G_1,t\in[t_1,t_2]$. 因此对$t\in J_1,\|x(t)\|\leq G_1$ 并且 $\|x_t\|_{{\cal B}}\leq K_b(G_0+G_1)$.

类似于上述证明,知存在与 $x$和$\lambda\in(0,1)$无关的常数$G_i>0$, 使得 $\|x(t)\|\leq G_i,t\in J_i=(t_i,t_{i+1}]\ (i=2,3,\cdots,n)$. 记 $G=\max\{G_0,G_1,\cdots,G_n\}$,那么 $\|x(t)\|\leq G,t\in J$. 即$\Omega_0$是有界集.

最后,我们证明引理2.5的所有条件被满足. 令$R>G$ 且 $$\Omega_R=\{x\in S(b):\|x\|_b<R\}.$$ 那么 $\Omega_R$ 是有界开集且 $0\in\Omega$. 因为 $R>G$, 于是对任意的 $x\in\partial\Omega_R$ 和 $\lambda\in(0,1)$有 $x\neq\lambda Fx$.

设 $V\subset\overline{\Omega}_R$ 是一个可数集且 $V\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup(FV))$. 那么

$$\begin{equation}\label{eqs11} V(t)\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup(FV)(t)),\ t\in[0,b]. \end{equation}$$

(3.5)

由条件$(H_1)$,$(H_2)$和$C(t),S(t)\ (t\geq0)$的等度连续性, 容易证明 $FV$ 在每一个区间$J_i\ (i=0,1,\cdots,n)$上等度连续, 据此和(3.5)式知 $V$ 在每一个区间 $J_i\ (i=0,1,\cdots,n)$上等度连续. 根据文献[1,引理1.1],下面的非紧性测度估计不区别 $V|_{J_i}$ 和 $\widetilde{V}_i\ (i=1,2,\cdots,n)$.

当 $t\in J_0=[0,t_1]$时,根据非紧性测度的性质,假设$(H_1)(3)$ 和引理2.4,我们有

$$\begin{eqnarray}\label{eqs12} \alpha(V(t))&\leq&\alpha((FV)(t))\leq2N\|B\|\int_0^t\alpha(V(s)+y(s)){\rm d}s+2\overline{N}\int_0^t\alpha(g(s,V_s+y_s)){\rm d}s \nonumber\\ &\leq&2(N+\overline{N})\int_0^t(\|B\|+\mu(s))(\alpha(V(s))+\alpha(V_s)){\rm d}s \nonumber\\ &\leq&2(N+\overline{N})(1+H)K_b\int_0^t(\|B\|+\mu(s))\sup\limits_{0\leq\tau\leq s}\alpha(V(\tau)){\rm d}s. \end{eqnarray}$$

(3.6)

记 $m(t)=\sup\limits_{0\leq s\leq t}\alpha(V(s)),t\in J_0$. 则 $m\in C(J_0,{\Bbb R}^+)$ 且(3.6)式推出 $$m(t)\leq2(\overline{N}+N)(1+H)K_b\int_0^t(\|B\|+\mu(s))m(s){\rm d}s,\ t\in J_0.$$ 由此可知$m(t)=0,t\in J_0$ 且$\alpha(V(t))=0,t\in J_0$. 因此 $V$ 是 $C(J_0,X)$中的相对紧集. 由于$0\leq\alpha(V_{t_1})\leq\alpha_c(V)= \sup\limits_{0\leq t\leq t_1}\alpha(V(t))=0$, 并且$I_1(\cdot)$和$J_1(\cdot)$连续, 所以$\alpha(V_{t_1}+y_{t_1})\leq\alpha(V_{t_1})=0$ 并且 $\alpha(I_1 (V_{t_1}+y_{t_1})=\alpha(J_1 (V_{t_1}+y_{t_1})=0$.

当 $t\in \overline{J}_1=[t_1,t_2]$时,类似于(3.6)式,易得

$$\begin{eqnarray}\label{eqs13} \alpha(V(t))&\leq&2(\overline{N}+N)(1+H)K_b\int_0^t(\|B\|+\mu(s))\sup\limits_{0\leq\tau\leq s}\alpha(V(\tau)){\rm d}s \nonumber\\ &&+(N+\overline{N}\|B\|)\alpha(I_1 (V_{t_1}+y_{t_1}))+\overline{N}\alpha(J_1 (V_{t_1}+y_{t_1})) \nonumber\\ &=&2(\overline{N}+N)(1+H)K_b\int_{t_1}^t(\|B\|+\mu(s))\sup\limits_{t_1\leq\tau\leq s}\alpha(V(\tau)){\rm d}s. \end{eqnarray}$$

(3.7)

(3.7)式推得 $\alpha(V(t))=0,t\in\overline{J}_1$且$V$是 $C(J_1,X)$中的相对紧集.

同理,我们能证明 $V$是$C(J_i,X)\ (i=2,3,\cdots,n)$中的相对紧集, 因此 $V$是$S(b)$中的相对紧集. 引理2.5推出 $F$在 $\overline{\Omega}_R$ 中有一个不动点. 设 $x$是 $F$ 在 $S(b)$ 中的不动点,那么$z = x + y$ 是 IVP(1.1)的 mild 解.

定理3.3     设余弦函数族 $(C(t))_{t\in{\Bbb R}}$ 等度连续的且条件 $(H'_1)$ 和 $(H_2)$ 被满足. 那么IVP(1.1)有一个 mild 解.

证     对任意有界集$V\subset PC$,由条件 $(H'_1)$得到 $$\|g(t,\phi)\|\leq L_g \|\phi\|_{\cal B},\ t\in J,\phi \in{\cal B},$$ $$\alpha(g(t,V_t)\leq L_g(\alpha(V_t),\ t\in J,V_t\subset{\cal B}.$$ 因此,$g$满足条件$(H_1)$. 根据定理3.2,$F$ 在$\overline{\Omega}_R$ 中有一个不动点,从而IVP(1.1)有一个 mild 解.

以下我们讨论 IVP(1.1) mild 解的正则性. 对 $x\in X$, 特征函数 ${\cal X}_x : (-\infty,0]\rightarrow X$ 被定义为 ${\cal X}_x(\theta)=0,\theta<0,{\cal X}_x(0)=x$.

定理3.4     设 $u(\cdot)$ 是 IVP(1.1) 的 mild 解,$\varphi(0)\in E,Bu\in L^1(J,E)$ 且 $I_i(u_{t_i})\in E\ (i=1,2,\cdots,n)$. 那么 $u(\cdot)\in PC^1,\triangle u'(t_i)=J_i(u_{t_i})$ 且对每一个 $i=1,2,\cdots,n,\widetilde{u}_i(\cdot)$ 是下面抽象柯西问题的 mild 解

$$\begin{equation}\label{eqs14} \left\{\begin{array}{ll} x''(t)=Ax(t)+B\widetilde{u}'_i(t)+g(t,(\widetilde{u}_i)_{t}),\ t\in[t_i,t_{i+1}],\\ x_{t_i}=u_{t_i}+{\cal X}_{I_i(u_{t_i})}\in{\cal B},\ x'(t_i)=u'(t_i)+J_i(u_{t_i}). \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.8)

证     对每一个 $i=1,2,\cdots,n$,问题(3.8)的 mild 解为 $$\begin{eqnarray*} \widetilde{u}_i(t)&=&C(t-t_i)[u(t_i)+I_i(u_{t_i})]+S(t-t_i)[u'(t_i)+J_i(u_{t_i})]\\ &&+\int^t_{t_i}C(t-s)B(\widetilde{u}_i)'(s){\rm d}s+\int^t_{t_i}S(t-s)g(s,(\widetilde{u}_i)_{s}){\rm d}s,\ t\in[t_i,t_{i+1}]. \end{eqnarray*}$$ 其余的证明类似于文 献^[5],我们省略它.

定义3.5     函数 $u:(-\infty,b]\rightarrow X$ 被称作是 IVP(1.1)或 (1.2)的一个古典解,如果$u(\cdot)|_J\in PC^1,u\in C^2(J\setminus\{t_1,t_2,\cdots,t_n\},X)$, $u$在 $J\setminus\{t_1,t_2,\cdots,t_n\}$ 上满足IVP(1.1)或 (1.2)中方程且满足IVP(1.1)或 (1.2)中的其余条件.

定义3.6     函数 $u:(-\infty,b]\rightarrow X$ 被称作是 IVP(1.1)或 (1.2)的一个强解,如果$u(\cdot)|_J\in PC^1, \widetilde{u}_i\in W^{2,1}(\overline{J}_i,X)\ (i=0,1,\cdots,n)$, $u$在 $J$ 上几乎处处满足IVP(1.1)或 (1.2)中方程且满足IVP(1.1)或 (1.2)中的其余条件.

定理3.7     设 $u$ 是 IVP(1.1)的 mild 解, 空间$X$具有 Radon-Nikodym 性质且满足 下列条件:

(a)~ $\varphi(0)\in D(A),z\in E,Bu\in L^1(J,E)$;

(b)~ 对每个 $i=1,2,\cdots,n$,$I_i(u_{t_i})\in E,u_{t_i}+I_i(u_{t_i})\in D(A),u'_{t_i}+J_i(u_{t_i})\in E$;

(c)~ 函数 $g:J\times\Omega\rightarrow X$ ($\Omega\subset{\cal B}$ 为开集) 是连续的并且在$E$上满足 Carath\'{e}dodory 条件:

(i)~ 对每个 $\phi\in\Omega$,$g(t,\phi)$ 关于$t\in J$ 是强可测的;

(ii)~ 对几乎所有的 $t\in J$,$g(t,\phi)$ 关于$\phi\in\Omega$是连续的;

(iii)~ 对每个 $R>0$,存在一个可积函数 $\beta_R : J\rightarrow{\Bbb R}^+$ 使得对几乎所有 $t\in J$和 所有$\|\phi\|_{{\cal B}}\leq R$的$\phi\in\Omega$, 都有$\|g(t,\phi)\|_E\leq\beta_R(t)$.\\ 那么 $u$ 是 IVP(1.1)的一个古典解.

证     由定理3.4知,对每一个 $i=1,2,\cdots,n$, $\widetilde{u}_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 是 IVP(3.8) 的 mild 解. 于是 $\widetilde{u}_i,\widetilde{u}_i'\in C([t_i,t_{i+1}],X)$ 并且$(\widetilde{u}_i)_t,(\widetilde{u}_i)'_t$ 在 $[t_i,t_{i+1}]$ 上连续. 因为 $\widetilde{u}_i(\cdot)$ 是下面柯西问题的 mild 解

$$\begin{equation}\label{eqs15} \left\{\begin{array}{ll} x''(t)=Ax(t)+h(t),\ t\in[t_i,t_{i+1}],\\ x(t_i)=u(t_i)+I_i(u_{t_i}),\ x'(t_i)=u'(t_i)+J_i(u_{t_i}), \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.9)

这里 $h(t)=:B\widetilde{u}'_i(t)+g(t,(\widetilde{u}_i)_{t})\in C(\overline{J}_i,X)\cap L^1(\overline{J}_i,E)$. 类似地,在IVP(3.9)中, 取$h(t)=Bu'(t)+g(t,u_{t})\in C(J_0,X)\cap L^1([J_0,E)$. 根据文献[18,定理3.1], 知$u$是 IVP(1.1)的一个古典解.

下面定理的证明类似于文献 ^[5],它被省略.

定理3.8     设 $u$ 是 IVP(1.1)的 mild 解, 空间$X$具有 Radon-Nikodym 性质,$\varphi(0)\in D(A),$ $z\in E,Bu\in L^1(J,E)$ 且满足下列条件:

(a)~ $I_i(u_{t_i})\in E,u_{t_i}+I_i(u_{t_i})\in D(A),u'({t_i})+J_i(u_{t_i})\in E\ (i=1,2,\cdots,n)$;

(b)~ 对任何有界集 $D\subset{\cal B}$,函数 $C(\cdot)g(t,\varphi),t\in J,\varphi\in D$是一致 Lipschitz 连续的.\\ 那么 $u$ 是 IVP(1.1)的一个强解.

下面研究IVP(1.2) mild 解的存在性.

定义 3.9     函数 $x:(-\infty,b]\rightarrow X$被称作是 IVP(1.2)的 mild 解,若 $x_0=\varphi,x'_0=\psi,x(\cdot)|_J\in PC^1$ 且

$$\begin{eqnarray}\label{eqs16} x(t)&=&C(t)\varphi(0)+S(t)\psi(0)+\int_0^tS(t-s)[Bx'(s)+f(s,x_s,x'_s)]{\rm d}s \nonumber\\ &&+\sum\limits_{t_i<t}C(t-t_i)I_i(x_{t_i},x'_{t_i})+\sum\limits_{t_i<t}S(t-t_i)J_i(x_{t_i},x'_{t_i}),\ t\in J. \end{eqnarray}$$

(3.10)

如果$\varphi(0)\in E,I_i(x_{t_i},x'_{t_i})\in E$,那么

$$\begin{eqnarray} \label{eqs17} x'(t)&=&AS(t)\varphi(0)+C(t)\psi(0)+\int_0^tC(t-s)[Bx'(s)+f(s,x_s,x'_s)]{\rm d}s \nonumber\\ &&+\sum\limits_{t_i<t}AS(t-t_i)I_i(x_{t_i},x'_{t_i})+\sum\limits_{t_i<t}C(t-t_i)J_i(x_{t_i},x'_{t_i}),\ t\in J. \end{eqnarray}$$

(3.11)

设函数 $y,y':(-\infty,b]\rightarrow X$ 被定义为 $y_0=\varphi,y'_0=\psi$ 并且 $$y(t)=C(t)\varphi(0)+S(t)\psi(0),y'(t)=AS(t)\varphi(0)+C(t)\psi(0),\ t\in J.$$ 记$\|y(t)\|\leq L_1,\|y'(t)\|\leq=:L'$,$\|y_t\|_{{\cal B}}\leq K_b\|y\|_b+ M_b\|\varphi\|_{{\cal B}}=:M_1,\|y'_t\|_{{\cal B}}\leq K_b\|y'\|_b+ M_b\|\psi\|_{{\cal B}}=:M'$ $(t\in J)$,其中$\|y\|_b=\sup\limits_{t\in J}\|y(t)\|,\|y'\|_b=\sup\limits_{t\in J}\|y'(t)\|,M_b=\sup\limits_{t\in J}M(t)$. 空间 $S^1(b)=:\{x : (-\infty,b]\rightarrow X,x_0=0,x'_0=0,x(\cdot)|_J \in PC^1\}$ 赋予范数$\|x\|_{1b}=\|x\|_{b}+\|x'\|_{b}$是一个Banch空间.

我们给出下列假设:

$(H_f)$~ 函数 $f:J\times{\cal B}\times{\cal B}\rightarrow X$ 满足下列条件:

(1)~ 对每一个 $x\in S^1(b)$,函数$t\rightarrow f(t,x_t,x'_t)$ 在$J$上是强可测的且对几乎所有的 $t\in J,$ $f(t,\cdot,\cdot): {\cal B}\times{\cal B}\rightarrow X$ 是连续的;

(2)~ 存在一个可积函数 $q:J\rightarrow{\Bbb R}^+$ 使得 $$\|f(t,u,v)\|\leq q(t)(\|u\|_{{\cal B}}+\|v\|_{{\cal B}}),\ t\in J,u,v\in{\cal B};$$

(3)~ 对任意有界集$V\subset PC^1$,存在一个可积函数 $\delta:J\rightarrow{\Bbb R}^+$ 使得 $$\alpha\big(f(t,V_t),V'_t\big)\leq\delta(t)(\alpha(V_t)+\alpha(V'_t)),\ t\in J,$$ 其中$V_t=\{x_t:x\in V\}\subset{\cal B},V'_t=\{x'_t:x'\in V\}\subset{\cal B}\ (t\in J)$.

$(H'_f)$~ 函数 $f(\cdot,\cdot,\cdot)$ 是连续的,$f(t,0,0)=0$ 且存在一个正常数$L_f$ 使得 $$\|f(t,u,v)-f(t,\phi,\psi)\|\leq L_f(\|u-\phi\|_{{\cal B}} \|v-\psi\|_{{\cal B}}),\ t\in J,u,v,\phi,\psi\in{\cal B}.$$

$(H_I)$~ 函数 $I_i:{\cal B}\times {\cal B} \rightarrow E,$ $J_i:{\cal B}\times {\cal B} \rightarrow X\ (i=1,\cdots,n)$ 连续并且存在常数 $d\geq0,e>0$ 使得对每一个 $i=1,\cdots,n$, $$\|I_i(\phi,\psi)\|_E\leq d(\|\phi\|_{{\cal B}}+\|\psi\|_{{\cal B}})+e,\ \|J_i(\phi,\psi)\|\leq d(\|\phi\|_{{\cal B}}+\|\psi\|_{{\cal B}})+e,\ \phi,\psi\in{\cal B}.$$

定理3.10     假设余弦函数族 $C(t),t\in{\Bbb R}$ 是等度连续的,条件 $(H_f)$ 和 $(H_I)$ 被满足并且 $\varphi(0)\in E$. 那么 IVP(1.2) 有一个mild 解.

证     定义函数 $z:(-\infty,b]\rightarrow X$ 为 $z_0=\psi,z(t)=x'(t),t\in J$,映射 $\Gamma=(\Gamma_1,\Gamma_2): S(b)\times S(b)\rightarrow S(b)$ 被定义为

$$\begin{equation}\label{eqs18} \Gamma_1(x,z)(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0,\ t\leq0,\\ \int_0^tS(t-s)[B(z(s)+y'(s))+f(s,x_s+y_s,z_s+y'_s)]{\rm d}s\\ [3mm] +\sum\limits_{t_i<t}C(t-t_i)I_i(x_{t_i}+y_{t_i},z_{t_i}+y'_{t_i})\\ [3mm] +\sum\limits_{t_i<t}S(t-t_i)J_i(x_{t_i}+y_{t_i},z_{t_i}+y'_{t_i}),\ t\in J, \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.12)

$$\begin{equation}\label{eqs19} \Gamma_2(x,z)(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0,\ t\leq0,\\ \int_0^tC(t-s)[B(z(s)+y'(s))+f(s,x_s+y_s,z_s+y'_s)]{\rm d}s\\ [3mm] +\sum\limits_{t_i<t}AS(t-t_i)I_i(x_{t_i}+y_{t_i},z_{t_i}+y'_{t_i})\\ [3mm] +\sum\limits_{0<t_i<t}C(t-t_i)J_i(x_{t_i}+y_{t_i},z_{t_i}+y'_{t_i}),\ t\in J, \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.13)

乘积空间 $S(b)\times S(b)$ 范数为 $\|(x,z)\|_b=\|x\|_b+\|z\|_b$. 类似于(3.2)式,容易验证 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 的定义是合理的且取值于 $S(b)$ 并且 $\Gamma=(\Gamma_1,\Gamma_2)$ 是连续的. 类似于定理3.2, 我们能证明集合 $$\Omega_0=\{(x,z)\in S(b)\times S(b):(x,z)=\lambda \Gamma(x,z)\ \hbox{对某个}\ \lambda\in(0,1)\}$$ 是有界的. 即存在一个常数 $G>0$ 使得 $\|(x,z)\|_b\leq G$. 令 $R>G$, $$\Omega_R=\{(x,z)\in S(b)\times S(b):\|(x,z)\|_b<R\}.$$ 那么$\Omega_R$ 是一个有界开集并且 $(0,0)\in\Omega$. 因为$R>G$, 于是对任意的 $(x,z)\in\partial\Omega_R$ 和 $\lambda\in(0,1)$, $(x,z)\neq\lambda \Gamma(x,z)$.

设 $V\subset\overline{\Omega}_R$ 是一个可数集且 $V\subset\overline{\rm co}(\{(0,0)\}\cup\Gamma(V))$. 令 $$V_1=\{x\in S(b):\exists\ z\in S(b),(x,z)\in V\},\ V_2=\{z\in S(b):\exists\ x\in S(b),(x,z)\in V\}.$$ 于是有

$$\begin{eqnarray}\label{eqs20} V&\subset& V_1\times V_2\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup\Gamma_1(V))\times\overline{\rm co}(\{0\}\cup\Gamma_2(V)) \nonumber\\ &\subset&\overline{\rm co}(\{0\}\cup\Gamma_1(V_1\times V_2))\times\overline{\rm co}(\{0\}\cup\Gamma_2(V_1\times V_2)) . \end{eqnarray}$$

(3.14)

容易证明 $\Gamma_k(V_1\times V_2)\ (k=1,2)$ 在每一个区间 $J_i\ (i=0,1,\cdots,n)$上等度连续,据此和(3.14)式知 $V_1,V_2$ 在每一个区间 $J_i\ (i=0,1,\cdots,n)$上等度连续. 类似于定理3.2,我们能证明$V_1,V_2$ 是$C(J_i,X)\ (i=0,1,\cdots,n)$ 中的相对紧集,因此 $V$是$S(b)\times S(b)$中的相对紧集. 引理2.7推出 $F$在 $\overline{\Omega}_R$ 中有一个不动点.

类似于定理3.3,3.4和定理3.7,3.8的证明,我们能得到下面的结果.

定理3.11     设余弦函数族 $(C(t))_{t\in{\Bbb R}}$ 等度连续且条件 $(H'_f)$ 和 $(H_2)$ 被满足并且 $\varphi(0)\in E$. 那么IVP(1.2)有一个 mild 解.

定理3.12     设 $u$ 是 IVP(1.2) 的 mild 解, $\varphi(0)\in E,Bu\in L^1(J,E)$ 且 $I_i(u_{t_i})\in E\ (i=1,2,\cdots,n)$. 那么 $u\in PC^1,\triangle u'(t_i)=J_i(u_{t_i},u'_{t_i})$ 且对每一个 $i=1,2,\cdots,n,\widetilde{u}_i(\cdot)$ 是下面初值问题的 mild 解

$$\begin{equation}\label{eqs21} \left\{\begin{array}{ll} x''(t)=Ax(t)+B\widetilde{u}'_i(t)+f(t,(\widetilde{u}_i)_{t},(\widetilde{u}_i)'_{t}),\ t\in[t_i,t_{i+1}],\\ x_{t_i}=u_{t_i}+{\cal X}_{I_i(u_{t_i},u'_{t_i})}\in{\cal B},\ x'_{t_i}=u'(t_i)+{\cal X}_{J_i(u_{t_i},u'_{t_i})}\in{\cal B}. \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.15)

定理3.13     设 $u$ 是 IVP(1.2)的 mild 解, 空间$X$具有 Radon-Nikodym 性质且满足下列条件:

(a)~ $\varphi(0)\in D(A),\psi(0)\in E,Bu\in L^1(J,E)$;

(b)~ 对每个 $i=1,2,\cdots,n$,$u_{t_i}+I_i(u_{t_i},u'_{t_i})\in D(A),u'_{t_i}+J_i(u_{t_i},u'_{t_i})\in E$;

(c)~ 函数 $f:J\times\Omega\rightarrow X$ ($\Omega\subset{\cal B}\times{\cal B}$为开集) 是连续的并且在$E$上满足 Carath\'{e}dodory 条件:

(i)~ 对每个 $\phi,\psi\in\Omega$,$f(t,\phi,\psi)$ 关于$t\in J$ 是强可测的;

(ii)~ 对几乎所有的 $t\in J$,$f(t,\phi,\psi)$ 关于 $\phi,\psi\in\Omega$ 是连续的;

(iii)~ 对每个 $R>0$,存在一个可积函数 $\beta_R :J\rightarrow{\Bbb R}^+$ 使得对几乎所有 $t\in J$和所有$\|\phi\|_{{\cal B}}+\|\psi\|_{{\cal B}}\leq R$的$(\phi,\psi)\in\Omega$, 都有$\|f(t,\phi,\psi)\|_E\leq\beta_R(t)$.\\ 那么 $u$ 是 IVP(1.2)的一个古典解.

定理3.14     设 $u$ 是 IVP(1.2)的 mild 解, 空间$X$具有 Radon-Nikodym 性质,$\varphi(0)\in D(A),\psi(0)\in E, Bu\in L^1(J,E)$ 且满足下列条件:

(a)~ $I_i(u_{t_i})\in E,u_{t_i}+I_i(u_{t_i}u'_{t_i})\in D(A), u'({t_i})+J_i(u_{t_i},u'_{t_i})\in E\ (i=1,2,\cdots,n)$;

(b)~ 对任何有界集 $D_1,D_2\subset{\cal B}$,函数 $C(\cdot)f(t,\phi,\psi),t\in J,(\phi,\psi)\in D_1\times D_2$一致 Lipschitz 连续.\\ 那么 $u$ 是 IVP(1.2)的一个强解.