Hilbert 第十六问题是关于平面$n$次向量场的极限环个数及其分布的. 若用 $H(n)$ 表示一个给定的$n$次平面向量场存在极限环的个数, 则迄今为止,我们仅知道一个给定的多项式向量场的环性有限,且 $H(2)\geq 4$, $H(3) \geq 13$,$H(4) \geq 20$,并出现了许多关于这方面的研究, 见文献 ^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]} 等. 一般来说,对一般的平面向量场研究其极限环的个数是非常困难的, 为了规避困难许多论文转向对具有某些对称特性的系统进行研究, 如文献 ^{[12, 15, 16]}及其引用的文献等. 在文献^[12]中,我们对一类$Z_2$对称的五次系统讨论, 得到系统有 17 个极限环存在,并给出这些环的分布.

为了得到更多的环及这些环的相对位置分布,许多数学工作者提供了很 多简单有效的方法,比如李继斌等人给出了一个用 detection 函数法来摄动对称 Hamilton 系统的方法,见文献^[11]等. 还有一个最先由韩茂安在文献^[3]中给出的利用研究同宿轨稳定 性发现极限环的方法,后来又通过 文献 ^[4] 等推广到双同宿轨和异宿轨中,使该方法进一步完善. 运用这一方法的基本思路大体可以分为以下三步:

i)~ 计算决定同宿轨或双同宿轨稳定性的判定量;

ii)~ 通过改变参数的值来改变这些量的符号, 从而改变这些奇闭轨的稳定性,来产生极限环;

iii)~ 最后让同宿轨破裂再出现一个环.

文献 ^{[12, 16, 17]}等运用此方法对系统 $$\left\{ \begin{array}{ll}\dot{x} = & y(1+x^2 +cy^2)+\varepsilon f(x,y) ,\\ \dot{y} = & x(1-ax^2-y^2)+\varepsilon g(x,y) , \end{array} \right. (1.1)$$ 当$\textrm{degree}(f,g)=3,4,5$的情形分别进行研究,得到系统 (1.1) 有11,15,17个极限环的结论.

本文运用这一方法讨论下面的非光滑三次系统 $$\dot{x} = y(1+x^2 +cy^2) ,\qquad \dot{y} = x(1-ax^2-y^2)+\varepsilon g(x,y) , (1.2)$$ 其中 $a<-1<c<0,ac>1$,而且 $\varepsilon >0$ 充分小, $$g(x,y)=y(a_0+a_1|x|+a_2|y|+a_3x^2+a_4|xy|+a_5y^2) . (1.3)$$

这里为了便于数值计算,取定 $a=-4, c=-\frac{1}{2}$,且把 (1.3)式 中的 $a_{i}$ 视为参数, 再记 $\delta =(a_0,a_1,\cdots ,a_5)$.

经过对系统(1.2)全面的定性分析得到下面的定理:

定理 1     当 $a<-1<c<0,ac>1$ 时, 非光滑三次摄动系统 (1.2) 至少存在 19 个极限环,其分布情况见图 4.

迄今为止,作者还没有看到三次非光滑系统的环性数有更好的结果出现. 论文后面的组织是这样安排的: 在第二节中先给出系统 (1.2) 中当$\varepsilon =0$时的未扰动系统(2.1)的结构,再给出一些全局分析所需的引理.

在第三节中利用第二节得到的结果利用定性分析的方法和多参数扰动理论对系统(1.2)的扰动Melnikov函数的系数符号分析完成定理1的证明.

注     严格来说,系统 (1.2) 不是多项式系统扰动问题,所以不能说扰动三次系统可以有 {19} 个极限环存在,因为这里的 $g(x,y)$ 仅是一个分段光滑的函数. 也就是说我们讨论的系统(1.2)是分段光滑系统, 但是这里的$g(x,y)$及其对变量 $y$ 的偏导数$g_y(x,y)$ 都在$XY$ -平面内连续,而且对 $x$ 的偏导数$g_x(x,y)$ 也是在除去y轴的集合 ${\Bbb R}^2\setminus \{x=0\}$内连续, 这就需要证明对平面解析系统摄动的理论方法推广的非光滑系统 (1.2)上成立. 为此, 我们借鉴了韩茂安在文献^[1] 中对同宿轨 Melnikov 函数展开式证明的方法,而得到定理 A,并把这一部分放在最后的附录中. 根据这一结论及其证明,我们知道分段光滑系统(1.2) Melnikov 函数展开式的前三个量的计算公式及相关引理和解析系统的情况相同. 因为对于同宿轨 $L_3^*$ 及其关于原点对称部分的情形可以根据附录中定理 A 的证明得到,而对于其他的扰动同宿轨问题, 我们根据 $g(x,y)$ 在每一象限内解析,从而相应Hamilton系统的同宿轨解析扰动的公式也可以用到系统(1.2)中.

当 $\varepsilon =0$ 时,系统 (1.2) 成为 $$\dot{x} = y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2) , \dot{y} = x(1+4x^2-y^2) . (2.1)$$ 显然系统(2.1)有七个有限远奇点,分别是 $O(0,0),$ $S_1(0,\sqrt{2}),$ $\bar{S}_1(0,-\sqrt{2})$, $A_1(\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}),$ $A_2(-\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}),$ $\bar{A}_1(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\sqrt{3}),$ $\bar{A}_2(\frac{1}{\sqrt{2}},-\sqrt{3})$,其中 $O,S_1,\bar{S}_1$ 是鞍点,而 $A_i,\bar{A}_i,i=1,2$ 为系统(2.1)的中心. 系统(2.1)是以 $H(x,y)=\frac{1}{2}(y^2-x^2)+\frac{1}{4}(2x^2y^2-4x^4-\frac{1}{2}y^4)$ 为Hamilton函数的 Hamiltion 系统.

对于系统(2.1)的相图和奇点分布情况在文献 ^[12] 和 ^[16] 中都有描绘, 这里为了便于理解和后面分析, 再次给出其相图如图 1 所示.

图 1

Fig. 1

图 1 未扰系统(2.1)的主要轨线分布示意图

根据文献 ^[12] 和 ^[16],得 $$L_1: y=\sqrt{2(x^2+1 \pm \sqrt{x^2-x^4})} ,\hskip 3mm 0\leq x\leq 1 ;$$ $$L_2: y=\sqrt{2(x^2+1 \pm \sqrt{x^2-x^4})} ,\hskip 3mm -1\leq x\leq 0 ;$$ $$L_3: y=\sqrt{2(x^2+1 \pm \sqrt{1+x^2-x^4})} ,\hskip 3mm x\in \left(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}},0\right) \bigcup \left(0,\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right) .$$

若记 $P(x,y)=y(1+x^2 -\frac{1}{2}y^2) ,Q(x, y)= x(1+4x^2-y^2)+\varepsilon g(x,y),$ 则系统 (1.2) 可以表示为 $$\dot{x} = P(x,y) ,\qquad \dot{y} = Q(x,y) . (2.2)$$ 由于系统 (2.2) 关于原点对称,我们只需要对上半平面进行讨论即可,至于下半平面情形可以利用系统对称性得到相同的结构.

对于充分小的 $\varepsilon >0$,系统(2.2)在$L_k,k=1,2,3$附近有分界线 $L_k^s,L_k^u$,使得 $L_1^s\bigcup L_2^s$ 和 $L_1^u\bigcup L_2^u$ 是鞍点$S_{1(\varepsilon)}$的稳定和不稳定流形,$L_3^s,L_3^u$ 是鞍点$O_{\varepsilon}$的稳定和不稳定流形, 其中 $S_{1(\varepsilon )}$ 和 $O_{\varepsilon}$ 分别是未扰动系统(2.1)原来的鞍点$S_1(0,\sqrt{2})$ 和 $O(0,0)$ 扰动后在其附近产生的鞍点.

我们知道不稳定流形 $L_k^u$ 和 稳定流形 $L_k^s$ 之间的有向距离可以由下面的式子计算 $$d_k = \varepsilon N_{k} M_k (\delta ) + O(\varepsilon ^2) ,(2.3)$$ 其中 $N_k>0$ 为常数,$M_k$ 称为系统 (2.2) 的一阶 Melnikov 函数,且 $$M_k (\delta ) =\oint _{L_k} g(x,y){\rm d}x = \sum \limits _{i=1}^6 A_{i,k}a_{i-1} ,(2.4)$$ 这里 $k=1,2,3$,且 $A_{1,k} = \oint _{L_k}y{\rm d}x, A_{2,k} = \oint _{L_k}|x|y{\rm d}x, A_{3,k} = \oint _{L_k}y|y|{\rm d}x, A_{4,k} = \oint _{L_k}x^2y {\rm d}x,\\ A_{5,k} = \oint _{L_k} |xy|y{\rm d}x, A_{6,k} = \oint _{L_k}y^3{\rm d}x.$

利用数学软件Mathematica7.0和简单的计算,得到系数 $A_{i,k},i=1,2,\cdots ,6,k=1,2,3$ 的数值值如下(为了统一起见,我们精确到20位有效数字) $$\begin{eqnarray*} A_{1}&=&A_{1,i}=\sqrt{2}laystyle\int _0^{1}\left(\sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}}\right){\rm d}x \\ & =&-0.40825717556690997860; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} A_{1,3}&=&2\sqrt{2}laystyle\int _0^{\sqrt\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt{1+x^2-\sqrt{1+x^2-x^4}}-\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2-x^4}}\right){\rm d}x \\ & =&-3.5255326669096916993; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} A_{2}&=&A_{2,i}=\sqrt{2}laystyle\int _0^{1}x\left(\sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}}\right){\rm d}x \\ & =&-0.23188188802560381785; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} A_{2,3}&=&2\sqrt{2}laystyle\int _0^{\sqrt\frac{1+\sqrt{5}}{2}}x\left[\sqrt{1+x^2-\sqrt{1+x^2-x^4}}-\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2-x^4}}\right]{\rm d}x \\ &=&-1.8476046323584734558; \end{eqnarray*}$$ $$A_{3}=B_{3,i}=-4laystyle\int _0^{1}x\sqrt{1-x^2} {\rm d}x=-\frac{4}{3} =-1.33333333333333333333;$$ $$A_{3,3}=-8laystyle\int _0^{\sqrt\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\sqrt{1+x^2-x^4}{\rm d}x=-10.0987596075361900248;$$ $$\begin{eqnarray*} A_{4}&=&A_{4,i}=\sqrt{2}laystyle\int _0^{1}x^2\left(\sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}}\right){\rm d}x \\ & =&-0.15345173010947017589; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} A_{4,3}&=&2\sqrt{2}laystyle\int _0^{\sqrt\frac{1+\sqrt{5}}{2}}x^2\left(\sqrt{1+x^2-\sqrt{1+x^2-x^4}}-\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2-x^4}}\right){\rm d}x \\ &=&-1.36897205570547346050; \end{eqnarray*}$$ $$A_{5}=A_{5,i}=-4laystyle\int _0^{1}x^2\sqrt{1-x^2}{\rm d}x =-\frac{\pi}{4}=-0.78539816339744830962;$$ $$A_{5,3}=-8laystyle\int _0^{\sqrt\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\sqrt{1+x^2-x^4}{\rm d}x =-6.0861098394892568386;$$ $$\begin{eqnarray*} A_{6}&=&A_{6,i}=2\sqrt{2}laystyle\int _0^{1}\left[\left(\sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}\right)^3-\left(\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}}\right)^3\right]{\rm d}x \\ &=&-3.3197985708311904876; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} A_{6,3}&=&4\sqrt{2}laystyle \int _0^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}} \left[\left(\sqrt{1+x^2-\sqrt{1+x^2-x^4}}\right)^3-\left(\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2-x^4}}\right)^3 \right] {\rm d}x \\ & =&-25.050325702209475317 , \end{eqnarray*}$$ 这里 $i=1,2$.

根据上面的系数值,利用隐函数定理得到下面的引理1.

引理 1     存在函数 $\phi_1(\varepsilon),\phi_4(\varepsilon)$ 使得 $$d_1=d_2\geq 0(<0) \ \ \hbox{当且仅当}\ \ a _1\leq (>) \phi_1 ,(2.5)$$ 并且 $$d_1=d_2=0,d_3 \geq 0 (<0) \ \ \hbox{当且仅当}\ \ a_1=\phi_1,a _4\geq \phi_4(<\phi_4) ,(2.6)$$ 其中 $$\begin{eqnarray*} \phi_1(\varepsilon) &=& -1.7606255453717508235 a_0 - 5.750053808368638102 a_2 \\ &&- 0.6617667788375365471 a_3 - 3.3870612753969236686 a_4 \\ &&- 14.316765311418486623 a_5 + O(\varepsilon) \\ & =&\phi_1^*+O(\varepsilon), \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \phi_4(\varepsilon )&=& 1.5863148056671902 a_0 - 3.0555495894870569 a_2 \\ && + 0.85130624812062093 a_3 - 8.1552261557300819 a_5+O(\varepsilon ). \end{eqnarray*}$$

证     根据 (2.3),(2.4) 式 利用隐函数定理借助数学软件辅助可得结论. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

显然当$d_k=0$,即 $a_i=\phi _i(\varepsilon)$ 时, 在$L_k$附近存在同宿连接$L_k^*$,其中$k=1,2,3,i=1,4$.

下面对同宿轨 $L_k^*,k=1,2$的稳定性进行研究. 在系统(2.1)的鞍点$S_1$附近扰动得到的鞍点用 $S_{1(\varepsilon )}$ 表示,并用 $\sigma_{0,1}$ 表示在扰动鞍点 $S_{1(\varepsilon )}$ 处的散度,则有 $$S_{1(\varepsilon )}=(\sqrt{2} (a_{0}+\sqrt{2}a_{2}+2a_{5})\varepsilon +O(\varepsilon ^2 ),\sqrt{2} +(a_{0}+\sqrt{2}a_{2}+2a_{5})\varepsilon +O(\varepsilon ^2)),(2.7)$$ 和 $$\sigma _{0,1}=\textrm{div}(S_{1(\varepsilon )}) = (P_x+Q_y)\left|_{S_{1(\varepsilon)}}\right. =(a_{0}+2\sqrt{2}a_{2}+6a_{5})\varepsilon +O(\varepsilon ^2). (2.8)$$

这样根据 (2.8)式,直接运用隐函数定理得到

引理2     当$a _{i}=\phi _i(\varepsilon),i=1,4$ 成立时, 存在函数 $\phi _0(\varepsilon )=-2\sqrt{2}a_2-6a_5+O(\varepsilon)$,使得 $\sigma _{0,1}\geq 0(<0)$ 当且仅当 $a _0\geq \phi _0 (<\phi_0)$.

为了研究原点附近的鞍点$O_{\varepsilon}$的同宿轨 $L_3^*$ 及其对称部分$\bar{L}_3^*$的稳定性, 利用与前相同的方法可得$O_{\varepsilon}$的坐标$(O(\varepsilon ^2 ),O(\varepsilon ^2))$,而 $O_{\varepsilon }$ 处的散度(记为$\sigma _{0,2}$)为$a_0\varepsilon +O(\varepsilon ^2)$,故有

引理3     当 $a _{i}=\phi _i(\varepsilon),i=0,1,4$ 成立时, 存在函数 $\phi _2(\varepsilon)=-\frac{3\sqrt{2}}{2}a_5+O(\varepsilon)$,使得 $\sigma _{0,2}\geq 0(<0)$ 当且仅当 $a _2\leq \phi _2 (>\phi_2)$.

另外,根据文献 ^{[3, 4, 5]},得到下面的引理(详见文献^[4]).

引理 4     对于同宿轨$L_k,k=1,2,3$的稳定性问题,有下述结论成立.

(I)~ 如果 $\sigma _{0,i}>0 (<0),i=1,2$,则同宿轨 $L_k^*,k=1,2,3$ 是内不稳定 (稳定)的,而双同宿轨$L^*=L_1^*\bigcup L_2^*$ 和 $L_3^*\bigcup \bar{L}_3^*$是外不稳定(稳定)的.

(II)~ 在 $a _i=\phi _i,i=0,1,2,4$ 成立的条件下,积分 $\oint_{L_j^{*}}(P_x+Q_y){\rm d}t=\sigma _{1,j}(\delta,\varepsilon )$ 收敛于 $\sigma _{1,j}(\delta ,0)=\oint _{L_j}(P_x+Q_y){\rm d}t ,\ j=1,2,3$.

(III)~ 若 $\sigma _{1,j}(\delta,\varepsilon )<0 (>0),j=1,2,3$,则 $L_j^*$ 是内稳定 (不稳定) 的; 若$\sigma _{1,1}(\delta ,\varepsilon)+\sigma _{1,2}(\delta,\varepsilon )>0 (<0)$,则双同宿轨 $L^*$ 是外不稳定 (稳定) 的.

如果 $\sigma _{0,1}=0$ 成立,根据 ${\rm d}t=\frac{1}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x$,通过直接计算可得 $$\begin{array}[b]{rl} \sigma _{1,j}(\delta,0) & =\oint _{L_i}(a_0+a_1|x|+2a_2|y|+a_3x^2+2a_4|xy|+3a_5y^2){\rm d}t \\[3mm] & =\sum\limits_{k=1}^5 B_{k,j} a_k ,~~ j=1,2,3, \end{array} (2.9)$$ 其中的系数 $B_{k,j}$ 有如下计算结果 $$\begin{eqnarray*} B_{1}&=&B_{1,i}=\oint _{L_1}\frac{|x|}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{2} \int _0 ^1\frac{\sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2+2x^4}}{\rm d}x \\ &=&1.9002519479919369908 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} B_{1,3}&=&\oint _{L_3}\frac{|x|}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x\\ & =& \sqrt{2}\int _0^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}\frac{\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2-x^4}}+\sqrt{1+x^2-\sqrt{1+x^2-x^4}}}{\sqrt{1+2x^2}\sqrt{1+x^2-x^4}}{\rm d}x \\ &=&3.1110789472030908010 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} B_{2}&=&B_{2,i}=\oint _{L_1}\frac{2|y|-2\sqrt{2}}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x \\ &=&2 \int _0 ^1 \frac{2\sqrt{1+x^2+2x^4}- \sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}}}{x\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2+2x^4} }{\rm d}x \\ &=&1.1192315758708453725 ; \end{eqnarray*}$$ $$B_{2,3}=\oint _{L_3}\frac{2|y|}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x = 4\int _0^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-x^4}}{\rm d}x =5.6487502839182275990 ;$$ $$\begin{eqnarray*} B_{3}=B_{3,i}&=&\oint _{L_1}\frac{x^2}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x\\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\int _0 ^1\frac{x(\sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}})}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2+2x^4}} {\rm d}x \\ &= &1.1380237675149813266 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} B_{3,3}&=&\oint _{L_3}\frac{x^2}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x \\ &=& \sqrt{2}\int _0^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}\frac{x(\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2-x^4}}+\sqrt{1+x^2-\sqrt{1+x^2-x^4}})}{\sqrt{1+2x^2}\sqrt{1+x^2-x^4}}{\rm d}x \\ &=&2.2625258492532367229 ; \end{eqnarray*}$$ $$B_{4}=B_{4,i}=\oint _{L_1}\frac{2|xy|}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}t=4 \int _0 ^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x =6.2831853071795864769 ;$$ $$B_{4,3}=\oint _{L_3}\frac{2|xy|}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x = 4\int _0^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}\frac{x}{\sqrt{1+x^2-x^4}}{\rm d}x =4.0688878715914054709 ;$$ $$\begin{eqnarray*} B_{5}&=&B_{5,i}=\oint _{L_1}\frac{3y^2-6}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x\\ &=& 3\sqrt{2}\int _0 ^1 \frac{(x+\sqrt{1-x^2})\sqrt{1+x^2-x\sqrt{1-x^2}}+(x-\sqrt{1-x^2})\sqrt{1+x^2+x\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2+2x^4}}{\rm d}x \\ &=&5.8636143559464038513 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} B_{5,3}&=&\oint _{L_3}\frac{3 y^2}{y(1+x^2-\frac{1}{2}y^2)}{\rm d}x\\ & =& 3\sqrt{2}\int _0^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}\frac{\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2-x^4}}+\sqrt{1+x^2-\sqrt{1+x^2-x^4}}}{\sqrt{1+x^2-x^4}}{\rm d}x \\ &=&13.9703867746089301822 , \end{eqnarray*}$$ 这里 $i=1,2$.

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%\qed

下面我们要对系统(2.1)的中心$A_i,i=1,2$经扰动后得到的奇点$A_{i(\varepsilon )}(x_{i0},y_{i0})$及其散度进行计算. 由于结果和方法都相同,所以这里只给出扰动 $A_1( \frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3})$ 后得到的 $A_{1(\varepsilon )}$ 及其散度的计算结果.

令 $(x_{10},y_{10})=( \frac{1}{\sqrt{2}}+A\varepsilon +O(\varepsilon ^2), \sqrt{3}+B\varepsilon +O(\varepsilon ^2))$,代入系统 (2.2)得 $$A=\frac{1}{4}\left(-2\sqrt{3} a_{0} -\sqrt{6}a_{1} -6a_{2} -\sqrt{3} a_{3}-3\sqrt{2} a_{4} -6\sqrt{3}a_{5}\right),$$ $$B=\frac{1}{4}\left(-2\sqrt{2} a_{0}-2a_{1} -2\sqrt{6}a_{2}-\sqrt{2} a_{3}-2\sqrt{3} a_{4}-6\sqrt{2}a_{5}\right).$$ 从而 $$\begin{array}[b]{rl} \textrm{div}(A_{1(\varepsilon )})= & \big[P_x(x,y)+Q_y(x, y)\big]\left|_{(x_{10},y_{10})}\right. \\[2mm] =& (a_{0} + \frac{\sqrt{2}}{2} a_{1} + 2 \sqrt{3} a_{2} + \frac{1}{2} a_{3} + \sqrt{6} a_{4}+9a_5)\varepsilon +O(\varepsilon ^2) . \end{array} (2.10)$$

把 $a _i=\phi _i,i=0,1,2,4$ 代入到 (2.9),(2.10)式中,再利用 Mathematica7.0计算可以得到

引理 5     在条件 $a _i=\phi _i,i=0,1,2,4$下,对分别同宿于鞍点 $S_1(\varepsilon )$,和 $O(\varepsilon )$ 的同宿轨的散度积分以及 奇点 $A_{i(\varepsilon )},i=1,2$ 处的散度有如下结果 $$\begin{array}{l} \sigma_{1,i}= -0.2498216168581104 a_3 - 0.28120506343469 a_5+O(\varepsilon) , \\ \sigma_{1,3} = -5.302980427691662 a_3 + 6.21962317701866 a_5+O(\varepsilon) , \\ \textrm{div}(A_{i(\varepsilon )})=(0.07843576661900 a_3 +0.06196848156750 a_5)\varepsilon +O(\varepsilon ^2),i=1,2. \end{array} (2.11)$$

为了讨论包围所有有限远奇点的极限环的存在性及其个数问题,我们需要研究对充分大的 $b_0 (>0)$,系统(2.2)从$B(0,b_0)$出发的正半轨是否有界,也就是要证明正半轨线$\gamma _B^{+}$与$y$轴正半轴的交点 $\gamma _B^{+}\bigcap \{x=0,y>0\} =B^{*}(0,b^{*})$ 是否满足 $b^{*}>b_0$. 为此,对$|h|$充分大,且$h<0$时,取 $B$ 为闭曲线 $H(x,y)=h$ 与$y$轴正半轴的交点,即$H(B)=h$,则有 $$H(B^{*})-H(B)=\varepsilon M_4+O(\varepsilon ^2)=\varepsilon M_4^{*}+O(\varepsilon ^2) ,(2.12)$$ 其中 $M_4=\oint_{H=h}Q(x,y){\rm d}x$,且 $M_4^{*}=\left. M_4\right|_{a _i=\phi _i,i=0,1,2,4}$.

如果$\varepsilon >0$充分小,且 $M_4^{*}<0$ 则有不等式 $b^{*}>b_0$ 成立. 若用 $L_4$ 表示闭曲线 $H(x,y)=h$,为了方便运用数学软件 Mathematica7.0 计算,取 $h=-100$. 把 $Q(x,y)$ 代入到 $M_4^*$,直接计算可得 $M_4^*=\sum\limits_{i=1}^6 K_i a_{i-1}$,其中 $$\begin{eqnarray*} K_1&=&laystyle\oint _{L_4:H=h}y{\rm d}x =4\sqrt{2} \bigg[\int_{\frac{\sqrt{\sqrt{1-16h}-1}}{2}}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} \sqrt{x^2+1-\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}{\rm d}x \\ &&-\int_{0}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}}\sqrt{x^2+1 +\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}{\rm d}x\bigg]\\ & =&-84.00984790394565933 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K_2&=&laystyle\oint _{L_4:H=h}|x|y{\rm d}x=4\sqrt{2}\bigg[\int_{\frac{\sqrt{\sqrt{1-16h}-1}}{2}}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} x\sqrt{x^2+1-\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}{\rm d}x \\ &&-\int_{0}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}}x \sqrt{x^2+1+\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}{\rm d}x\bigg]\\ &=&-152.54983565169497551 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K_3&=&\oint _{L_4:H=h}y|y|{\rm d}x=8\bigg[\int_{\frac{\sqrt{\sqrt{1-16h}-1}}{2}}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} (x^2+1-\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}){\rm d}x \\ &&-\int_{0}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} (x^2+1+\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}){\rm d}x\bigg]\\ &=&-531.79575392451528915 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K_4&=&laystyle\oint _{L_4:H=h}x^2y{\rm d}x=4\sqrt{2}\bigg[\int_{\frac{\sqrt{\sqrt{1-16h}-1}}{2}}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} x^2\sqrt{x^2+1-\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}{\rm d}x \\ &&-\int_{0}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}}x^2 \sqrt{x^2+1+\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}{\rm d}x\bigg] \\ &=&-364.7222181897085984 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K_5&=&\oint _{L_4:H=h}y|xy|{\rm d}x=8\bigg[\int_{\frac{\sqrt{\sqrt{1-16h}-1}}{2}}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} x(x^2+1-\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}){\rm d}x \\ &&-\int_{0}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} x(x^2+1+\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}){\rm d}x\bigg]\\ &=&-1037.1160146886281834 ; \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K_6&=&laystyle\oint _{L_4:H=h}y^3{\rm d}x=4\sqrt{2}\bigg[\int_{\frac{\sqrt{\sqrt{1-16h}-1}}{2}}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} \left(\sqrt{x^2+1-\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}\right)^3{\rm d}x \\ &&-\int_{0}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5-8h}+1}{2}}} \left(\sqrt{x^2+1+\sqrt{x^2-x^4+(1-2h)}}\right)^3{\rm d}x\bigg] \\ &=&-84.00984790394565933 . \end{eqnarray*}$$ 把 $a _k=\phi _k,k=0,1,2,4$ 代入到 $M_4^*$中,得 $$M_4^{*}= -706.8069206903958 a_3-987.357032085631 a_5 +O(\varepsilon). (2.13)$$

因为在 (2.11) 和 (2.13) 各式中都有两个参数 $a_3,a_5$, 我们限定 $a_3=-a_5$,可得 $$\left. \begin{array}{l} \sigma_{1,i} = -0.03138344657658 a_5+O(\varepsilon) ; \\ \sigma_{1,3} = 11.52260360471032 a_5+O(\varepsilon) ; \\ \textrm{div}(A_{i(\varepsilon )})= -0.01646728505150 a_5 \varepsilon +O(\varepsilon ^2); \\ M_4^{*}= -280.550111395235 a_5 +O(\varepsilon ), \end{array} \right\} (2.14)$$ 其中 $i=1,2$.

为了完成对系统(1.2)的定性分析和定理 1 的证明,我们假设 $\varepsilon>0$ 充分小,$a_3=-a_5$ 且 $a _5 >0$ 固定.

根据 (2.12) 及 (2.14)式得 $M_4<0$,从而系统(1.2)的所有轨道有界, 而且根据(2.14)式得 $\sigma_{1,i}<,\sigma_{1,3}>0$,以及 $\textrm{div}(A_{i(\varepsilon)})<0$,其中 $i=1,2$, 故焦点 $A_{i(\varepsilon )}$ 是稳定的,且同宿轨 $L_1^*$ 及 $L_2^*$ 都是内稳定的,而双同宿轨 $L^*$ 为外稳定的,但 $L_3^*$ 和 $\bar{L}_3^*$ 都是内不稳定的, 双同宿轨 $\Gamma ^*=L_3^*\bigcup\bar{L}_3^*$ 是外不稳定的. 这样根据环域定理得到在$L_1^*$ 和 $L_2^*$ 内分别存在一个不稳定的极限环,记为$\gamma_{1,i},i=1,2$ (见图 2).

图 2

Fig. 2

图 2 系统(1.2)在 $\varepsilon >0$ 充分小,$a_5=-a_3>0$,且 $a_i=\phi _i,i=0,1,2,4$ 条件下的极限环分布示意图

对固定的 $a _5(=-a_3)>0$ ,如果 $0<a_2-\phi_2\ll a_5$ 成立, 根据引理 3和引理 4 得 $\sigma _{0,2}<0$, 这样在同宿轨$L_3^*$内部以及双同宿轨 $L_3^*\bigcup \bar{L}_3^*$ 外部都改变稳定性,即由不稳定变成稳定,从而在 $L_3^*$内部(但在双同宿轨 $L_1^*\bigcup L_2^*$ 外部) 有一个不稳定的极限环 $\gamma_{2,1}$ 出现,而且在双同宿轨 $L_3^*\bigcup \bar{L}_3^*$外部也出现一个大的不稳定极限环 $\Gamma ^1$ (见图 3(a)).

图 3

Fig. 3

图 3 在参数 $a_0,a_1,a_2,a_4$ 相应变化下, 系统 (2.1) 出现极限环的局部结构示意图

对固定的 $a _k,k=2,3,5$,如果 $0<a_0-\phi _0\ll a_2 -\phi _2\ll a _5$,根据引理 2 和引理 4,得 $\sigma _{0,1}>0$,即同宿轨$L_i^*$内部以及双同宿轨 $L_1^*\bigcup L_2^*$ 外部的稳定性都由稳定变成不稳定的. 从而分别有稳定极限环 $\gamma_{3,i},i=1,2$ 出现在 $\gamma _{1,i}$和$L _i^*,i=1,2$之间, 而且还有一个稳定的极限环$\gamma _{4,1}$出现在$L_3^*$ 和$\gamma _{2,1}$之间(见图 3(b)).

对固定的 $a _k,k=0,2,3,5$,如果 $0<\phi_4-a _4\ll a_0-\phi _0\ll a_2-\phi_2\ll a _5$,根据引理 1,得 $d _{3}<0$,从而大同宿轨 $L_3^*$ 破裂,在$L_3^*$和$\gamma _{4,1}$ 之间出现一个稳定的极限环 $\gamma_{5,1}$. 最后,对固定的 $a_k,k=0,2,\cdots,5$,如果 $0< \phi_1-a_1\ll \phi_4-a _4\ll a_0-\phi _0\ll a_2-\phi_2\ll a _5$, 根据引理 1得 $d _{1}=d_2>0$,这样同宿轨 $L_i^*$,$i=1,2$ 都破裂, 在$L_i^*$和$\gamma _{3,i}$ 之间又产生一个不稳定的极限环$\gamma _{6,i}$ (分别见图 3(c),(d)).

这样综合以上分析,并根据系统 (1.2) 的对称性即可完成对系统的分析, 最终得到系统 (1.2) 有19个极限环存在(见图 4).

图 4

Fig. 4

图 4 系统(1.2)的极限环个数及其分布示意图

在本附录中,考虑 Hamilton 系统的非光滑摄动 $$\left\{ \begin{array}{ll} \dot{x} = & H_y(x,y) + \varepsilon p(x,y) ,\\ \dot{y} = & -H_x(x,y) + \varepsilon q(x,y) , \end{array} \right. {\rm (A.1)}$$ 其中当 $x\geq 0$ 时,$\left(\begin{array}{c} p(x,y) \\ q(x,y) \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} p^+(x,y) \\ q^+(x,y) \end{array} \right)$ ; 当$x\leq 0$时,$\left(\begin{array}{c} p(x,y) \\ q(x,y) \end{array} \right) =\left(\begin{array}{c} p^-(x,y) \\ q^-(x,y) \end{array} \right)$ 是 $(x,y)$ 的非光滑函数,但 $\left(\begin{array}{c} p^+(x,y) \\ q^+(x,y) \end{array} \right)$ 和 $\left(\begin{array}{c} p^-(x,y) \\ q^-(x,y) \end{array} \right)$ 在其相应的左、右半平面内都解析.

当$\varepsilon =0$时,系统 (A.1) 是一个 Hamilton 系统. 假设 Hamilton 函数对 $H(x,y)=h_0$ 相应的有同宿于初等鞍点 (设为原点$O(0,0)$) 的同宿轨 $L: z=z_0(t)$,且该同宿轨与$y$轴相交.

假设 $h(z,\varepsilon)=(H_y+\varepsilon p,-H_x+\varepsilon q)$, 而 $A_0(0,a_0)$ 是同宿轨$L$ 与$y$轴的交点 (见图 5).

图 5

Fig. 5

图 5 Hamilton系统的同宿轨在非光 滑扰动下的稳定流形和不稳定流形示意图

当 $\varepsilon \neq 0$ 且充分小时,在原点$O(0,0)$附近有唯一一个双曲鞍点 $S(\varepsilon ,\delta)$ (这里为了方便我们假设原点 $O(0,0)$ 恒为系统的鞍点,即 $S(\varepsilon ,\delta)$ 仍是原点), 在$L$附近有鞍点$S(\varepsilon ,\delta)$的稳定和不稳定的分界线$L^u(\varepsilon ,\delta)$, $L^s(\varepsilon ,\delta)$,并用参数表示为 $$\begin{array}{lll} L^s : & z=z^s(t,\varepsilon ,\delta)=(x^s(t,\varepsilon ,\delta),y^s(t,\varepsilon ,\delta)) ,& t \geq 0 ,\\ L^u : & z=z^u(t,\varepsilon ,\delta)=(x^u(t,\varepsilon ,\delta),y^u(t,\varepsilon ,\delta)) ,& t \leq 0 . \end{array} {\rm (A.2)}$$ 在$t\geq 0$的情形,相应于左半平面内,可设为 $$z^s(t,\varepsilon ,\delta )=z_0(t)+\varepsilon z_1^s(t, \delta )+O(\varepsilon ),t\geq 0 ; {\rm (A.3)}$$ 在 $t\leq 0$的情形,相应的在右半平面内,可设为 $$z^u(t,\varepsilon ,\delta )= z_0(t)+\varepsilon z_1^u(t,\delta )+O(\varepsilon ), t\geq 0 . {\rm (A.4)}$$

分别将式 (A.3) 和 (A.4) 代入式 (A.1),得 $z_1^{u,s}$ 满足 $$\dot{z}_1^s(t) = h_z(z_0,0) z_1^s(t)+h_{\varepsilon}(z_0,0) ,x\geq 0 ; \dot{z}_1^u(t) = h_z(z_0,0) z_1^u(t)+h_{\varepsilon}(z_0,0) ,x\leq 0 .$$ 令 $Q^{u,s}(t)=\langle r(t),z_1^{u,s}(t)\rangle$, 其中 $r(t)=(H_x,H_y)|_{z=z_0(t)}$. 则 $Q^{u,s}(t)$ 满足 $$\dot{Q}^{u,s}(t) = \langle \dot{r}(t),z_1^{u,s}(t)\rangle + \langle r(t),{h}_z(z_0,0)z_1^{u,s}(t)\rangle +\langle r(t),h_{\varepsilon}(z_0,0)\rangle . {\rm (A.5)}$$ 由于 $\dot{r}(t)= (DH_x,DH_y)\cdot (H_y,-H_x)= \langle H_{xx}H_y-H_{xy}H_x,H_{xy}H_y-H_{yy}H_x\rangle$,而 $$(r(t),h_z(z_0,0)z_1^{u,s}) =(H_{xy}H_x-H_{xx}H_y,H_{yy}H_x-H_{xy}H_y) ,$$ 则根据式 (A.5) 得 $$\dot{Q}^{u,s}(t) = \langle {r}(t),h_{\varepsilon }(z_0,0)\rangle .$$

由此得 $$Q^u(t)=Q^u(0)+\int_0^t(q^-H_y+p^-H_x){\rm d}t , \ \ Q^s(t)=Q^s(0)+\int_0^t(q^+H_y+p^+H_x){\rm d}t . {\rm (A.6)}$$

利用 $\lim\limits_{t\rightarrow -\infty} Q^u(t)=0,\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} Q^s(t)=0$. 可得如下的位置函数 $$d(\varepsilon ,\delta ,A)=\langle \frac{r(0)}{|r(0)|},z^u(0,\varepsilon,\delta)- z^s(0,\varepsilon,\delta)\rangle = \frac{\varepsilon}{|r(0)|} \langle r(0), z_1^u(0,\delta)-z_1^s(0,\delta)\rangle + o(\varepsilon ) .$$ 从而位置函数满足 $$d(\varepsilon ,\delta ,A)=\frac{\varepsilon M(\delta )} {|(H_y(A)),-H_x(A)|}+o(\varepsilon ) , {\rm (A.7)}$$ 其中 $M(\delta )=Q^u(0)-Q^s(0)=\int _{-\infty }^0 (q^-H_y+p^-H_x){\rm d}t +\int_{0}^{+\infty }(q^+H_y+p^+H_x){\rm d}t = \\ \int _{L_l}q^-{\rm d}x-p^-{\rm d}y + \int _{L_r}q^+{\rm d}x-p^+{\rm d}y$,这里 $L_l,L_r$ 分别指同宿轨 $L$ 的左半部分和右半部分. 注     这里关于 $M(\delta)$ 的结果可以由文献 ^[10] 直接得到,但是为了整体性和后面的讨论, 我们也给出了简要证明.

设 $A(0,a)$ 是正半轨 $L^s$ 与y轴的交点附近的一点 (在这里根据图 5 中讨论的情况取 $a<a^s$). 设 $A^s=A_0+a^s(\varepsilon ,\delta)n_0,A^u=A_0+a^u(\varepsilon , \delta)n_0$,记 $C$ 为过$A$的正半轨与y轴的第一个交点,再记 $B$ 为过$C$的正半轨与y轴的第一个交点,则 $A=A_0+ a n_0$. 若再定义 $B=A_0+P(a,\varepsilon ,\delta) n_0$, 则当 $a\rightarrow a^s$ 时,有 $a^u(\varepsilon ,\delta)=P(a,\varepsilon ,\delta)$.

这样同宿轨扰动后的位置函数$d$满足 $$d(\varepsilon ,\delta ,A)=a^u(\varepsilon ,\delta)-a^s(\varepsilon ,\delta) =\langle n_0,z^u(0,\varepsilon ,\delta)-z^s(0,\varepsilon ,\delta)\rangle =P(a,\varepsilon ,\delta )-a =F(a,\varepsilon,\delta).$$

完全类似于文献 ^[1] 中的证明,可得 $$\frac{\partial F}{\partial a} = -1+\frac{1}{1+\mu (F,a ,\varepsilon ,\delta)} \exp \left[\int _{AC} \varepsilon (p^+_x+q^+_y){\rm d}t + \int _{CB} \varepsilon (p^-_x+q^-_y){\rm d}t\right] . {\rm (A.8) }$$ 如果 $\sigma _0=\textrm{div}(S(\varepsilon ,\delta))\neq 0$, 则在我们研究的系统 (A.1) 中有 $$\int _{AC}(p^+_x+q^+_y){\rm d}t=\int _{L_{r1}}(p^+_x+q^+_y){\rm d}t+ \int _{L_{r2}}(p^+_x+q^+_y){\rm d}t . {\rm (A.9)}$$ 但是当$a\rightarrow a^s$时,$\int _{L_{r1}}(p^+_x+q^+_y){\rm d}t \rightarrow -\infty$,且$\int _{L_{r2}}(p^+_x+q^+_y){\rm d}t$ 有界.

类似地,有 $$\int _{CB}(p^-_x+q^-_y){\rm d}t=\int _{L_{l1}} (p^-_x+q^-_y){\rm d}t+ \int _{L_{l2}}(p^-_x+q^-_y){\rm d}t . {\rm (A.10)}$$ 且在$a\rightarrow a^s$时,$\int _{L_{l1}}(p^-_x+q^-_y){\rm d}t \rightarrow -\infty$, 且 $\int _{L_{l2}}(p^-_x+q^-_y){\rm d}t$ 有界. 这样在$a\rightarrow a^s$时,有 $\int _{AC}(p^+_x+q^+_y){\rm d}t +\int _{CB}(p^-_x+q^-_y){\rm d}t\rightarrow -\infty$. 这样若$\sigma _0<0$,在$a\rightarrow a^s$时, 有$\frac{\partial F}{\partial a}\rightarrow -1$. 所以 $F(a,0,\delta)$ 有一个且至多有一个根, 从而同宿轨 $L^*$ 是稳定的.

说明     这里的 $L_{r1}$ 和 $L_{l1}$ 是包含在原点邻域内的稳定和不稳定流形$L^{u,s}$的右半部分和左半部分, 而$L_{r2}$ 和 $L_{l2}$是原点外的相应的部分(见图 5). $L_l,L_r$ 是指同宿轨$L$左、右半部分.

对于$\sigma _0>0$的情形下的证明方法完全相似,故从略.

下一步我们讨论在 $M(\delta)=0$,及$\sigma _0=0$ 的情形下, 同宿轨$L^*$的稳定性.

根据$y$轴左、右两边函数 $\left(\begin{array}{c} p^{\pm} \\ q^{\pm} \end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c} H_y \\ -H_x \end{array}\right)$ 都解析的事实,再由式 (A.8),可得 $$\frac{\partial F}{\partial a} =-1+\frac{1}{1+O(F)}\exp \bigg(\triangle _1 \tau _1 + \triangle _2 \tau _2 + \int _{AC}G_1{\rm d}t+\int _{CB}G_2{\rm d}t \bigg ) ,{\rm (A.11)}$$ 这里 $\triangle _1=\varepsilon (p^+_x+q^+_y)|_{x=y=0}$, $\triangle _2=\varepsilon (p^-_x+q^-_y)|_{x=y=0}$, $\tau _1=\int _{AC}{\rm d}t, \tau _2=\int _{CB}{\rm d}t$,$G_1=\varepsilon (p^+_x+q^+_y) - \triangle _1$,$G_2=\varepsilon (p^-_x+q^-_y) - \triangle _2$. 则在条件 $M(\delta)=0$ 和 $\sigma _0=0$ 下,有 $$\frac{\partial F}{\partial a}=-1+\exp \bigg( \int _{AC}G_1{\rm d}t+\int _{CB}G_2{\rm d}t+O(F)\bigg) .$$ 所以 $\frac{\partial F}{\partial a}=0$ 当且仅当 $F_1=\int _{AC}G_1{\rm d}t+\int _{CB}G_2{\rm d}t+O(F)=0$. 但是在 $(a,\varepsilon )\rightarrow (0,0)$ 时, $\int _{AC}G_1{\rm d}t+\int _{CB}G_2{\rm d}t \rightarrow \sigma _1 \neq 0$. 而在 $\sigma _1<0$ 时,有 $F_1<0$,所以 $\frac{\partial F}{\partial a}<0$,从而 $L^*$ 是稳定同宿轨.

根据上述讨论,可得下面的定理 A.

定理 A     对于系统 (A.1),有下面的结论

(1)~ 在$L$附近存在同宿轨 $L^*$ 当且仅当位置函数 $d(\varepsilon , \delta,A)=0$, 相应的一阶 Melnikov 函数为 $$M(\delta )= \int _{L_l}q^-{\rm d}x-p^-{\rm d}y + \int _{L_r}q^+{\rm d}x-p^+{\rm d}y,$$ 其中 $L_l,L_r$ 分别是同宿轨$L$的左半部分和右半部分.

(2)~ 如果位置函数 $d(\varepsilon ,\delta,A)=0$ 成立,而 $\sigma _0=\textrm{div} (S(\varepsilon , \delta)) \neq 0$,则在 $\sigma _0<0$ (相应地,$\sigma _0 >0$)时, 同宿轨 $L^*$ 是稳定的 (相应地,是不稳定的).

(3)~ 如果位置函数 $d(\varepsilon ,\delta,A)=0$ 且 $\sigma _0=0$ 成立,则 $\sigma_1=\int _{L_r} (p^+_x+q^+_y){\rm d}t+\int _{L_l} (p^-_x+q^-_y){\rm d}t$ 收敛,且在 $\sigma _1<0$ (相应地,$\sigma _1 >0$),同宿轨 $L^*$ 是稳定的 (相应地,是不稳定的).

说明     对于双同宿轨的非光滑摄动情形的证明和 同宿轨情形的证明完全相似,这里就不再重复了.