在文献~^[1]中作者在有弱阻尼、流体动力学阻尼和外力作用的情况下研究了 单原子链的晶格孤立子的动力学. 在拟连续极限下离散系统导出一具有阻尼、外力和$m=0,2$的~IMBq型方程 $$u_{tt}-u_{xx}- u_{xxtt}-f(u)_{xx}=\nu_mu_{x^mt},(1.1)$$ 其中 $u(x,t)$ 表示位移,下标$x$和$t$分别表示对$x$和$t$求偏导数, $$f(u)=\frac{{\rm d}V(u)}{{\rm d}u}-u$$ 是非线性外力,$V(u)$是幂类位势(power-like potential)或截断Morse位势(truncated Morse potential), 方程(1.1)的右端表示系统的阻尼. $m=0$的情况对应弱阻尼,而$m=2$对应流体动力学阻尼 $$\begin{array}{ll} \nu_m =\left\{\begin{array}{ll} -\nu,&\hbox{如果}~m=0,\\ \nu,&\hbox{如果}~m=2, \end{array}\right. \end{array} (1.2)$$ 其中$\nu>0$是一常数.

文献^[1]把离散和谐晶格和拟连续Boussinesq系统一同完成的数值模拟结果与在拟连续近似框架下得到的多尺度 拢动展开的结果进行了比较,但是在文献^[1]中对于方程(1.1)的定解问题没有作任何讨论.

本文研究下列具有弱阻尼的广义IMBq方程的初值问题 $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}+\nu_0u_t=f(u)_{xx},\ \ \ x\in {{\Bbb R}},\ \ t>0,(1.3)$$ $$u(x,0)=u_0(x),\ \ \ u_t(x,0)=u_1(x),\ \ \ x\in{\Bbb R},(1.4)$$ 其中 $u(x,t)$ 表示未知函数,$\nu_0>0$是常数,$f(s)$ 是给定的非线性函数,$u_0(x)$ 和 $u_1(x)$ 是给定的初值函数.

我们知道方程(我们称之为Bq方程) $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxxx}=(u^2)_{xx} (1.5)$$ 于1872年由Boussinesq J得到,用来描述浅水波.改进的Bq方程 (我们称之为IBq方程)是 $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=(u^2)_{xx} (1.6)$$ 修正的IBq方程类似于MKdV方程给出 $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=(u^3)_{xx},(1.7)$$ 我们称之为IMBq方程(见文献^[2]).

方程(1.3)不同于方程(1.7).方程(1.3)有弱阻尼,而方程(1.7)没有阻尼项.

方程(1.7)的初值问题和它的广义方程已经有很多文献讨论.例如,在文献^[3]中作者研究了下列广义IMBq方程的初值问题 $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=f(u)_{xx},\ \ \ x\in {{\Bbb R}},\ \ t>0,(1.8)$$ $$u(x,0)=u_0(x),\ \ \ u_t(x,0)=u_1(x),\ \ \ x\in{\Bbb R},(1.9)$$ 文献^[3]的作者证明了,如果$u_0,u_1\in C^2_c({\Bbb R})$,那么初值问题(1.8),(1.9)存在惟一整体古典解 $u\in C^2([0,\infty);C^2_c({\Bbb R}))$,其中$C^2_c({\Bbb R})$由$C^2({\Bbb R})$中在${\Bbb R}$上 有紧支集的那些函数组成.在文献^[4]中作者证明了初值问题 $$u_{tt}=[F(u)]_{xx}+u_{xxtt},\ \ \ x\in {{\Bbb R}},\ \ t>0,(1.10)$$ $$u(x,0)=u_0(x),\ \ \ u_t(x,0)=u_1(x),\ \ \ x\in{\Bbb R} (1.11)$$ 对于低正则性的初值存在惟一局部解.他们还讨论了整体解的存在性和解爆破的发生.在弹性杆中纵形变波的传播 由非线性偏微分方程 $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=\frac{1}{p}(u^p)_{xx},(1.12)$$ 给出,其中$p=3$或$p=5$.方程(1.12)称为Pochhammer-Chree方程 (简称为PC方程) (见文献^[5]).在文献^[6]中作者讨论了非线性PC方程 $$u_{tt}-u_{xxtt}-f(u)_{xx}=0,\ \ \ x\in {{\Bbb R}} (1.13)$$ 的初值问题, 其中$f(u)=u+a|u|^{p-1}$.文献^[6]的作者将方程(1.13)改写为方程组,即 $$\frac{{\rm d}\vec{u}}{{\rm d}t}=A\vec{u}+N(\vec{u}),(1.14)$$ 其中 $$\vec{u}={u \choose v},\ \ N(\vec{u})={0 \choose {\Lambda^{-2}\partial_x(f(u)-u)}},\ \ A={\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \partial_x \choose {(I-\partial^2_x)^{-1}\partial_x\ \ \ 0}},$$ $\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}$, $\Lambda^s=(I-\partial^2_x)^{\frac{s}{2}}$和$I$表示单位算子.文献^[6]证明了在一定条件下,具有初值 $\vec{u}(0)=\vec{u}_0$的方程组(1.14)存在惟一整体解$\vec{u}\in C^1([0,\infty);H^s\times H^{s+1})(s\geq1)$,并 讨论了方程组(1.14)的初值问题解的爆破.

文献^[7]证明了具有流体动力学阻尼的广义IMBq方程的初值问题 $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}+\nu_2u_{xxt}=f(u)_{xx},\ \ \ x\in {{\Bbb R}},\ \ t>0,(1.15)$$ $$u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),\ \ \ x\in {{\Bbb R}} (1.16)$$ 存在惟一广义解$u\in C^2([0,\infty);H^s({\Bbb R}))$ 和惟一整体古典解 $u\in C^2([0,\infty); C^2_B({\Bbb R}))$.

虽然方程(1.3)和(1.15)都属于广义IMBq型方程,但他们具有不同的阻尼.因此我们不能用文献^[7]的方法 证明初值问题(1.3),(1.4)有惟一整体广义解和惟一整体古典解.

下面将应用辅助问题,未知函数和初值函数的变换证明初值问题(1.3),(1.4)存在惟一整体广义解和惟一整体古典解, 同时,给出初值问题解的爆破的充分条件.

为了证明初值问题(1.3),(1.4)存在惟一整体广义解和惟一整体古典解,考虑如下辅助问题 $$v_{tt}-v_{xx}-v_{xxtt}+\nu_0 v_t=f(v_x)_x,\ \ \ x\in{{\Bbb R}},\ \ \ t>0,(1.17)$$ $$v(x,0)=v_0(x),\ \ \ v_t(x,0)=v_1(x),\ \ \ x\in{\Bbb R},(1.18)$$ 其中$v_0(x)$和$v_1(x)$是给定的初值函数.

首先,证明初值问题(1.17),(1.18)存在惟一光滑整体广义解和惟一光滑整体古典解.然后通过变换$v_x(x,t)=u(x,t)$, $v_{0x}(x)=u_0(x)$和$v_{1x}(x)=u_1(x)$,由辅助问题(1.17),(1.18)得到初值问题(1.3),(1.4)的惟一整体广义解和 惟一整体古典解.通过变换$u(x,t)=v_x(x,t)$, $u_0(x)=v_{0x}(x)$ 和 $u_1(x)=v_{1x}(x)$,由辅助问题(1.17),(1.18)得到初值问题(1.3),(1.4)解爆破的充分条件.

本文采用下列记号:$L^p(1\leq p\leq\infty)$表示所有定义在 ${\Bbb R}$上的$L^p$ -函数的空间,并赋予范数 $\|\cdot\|_p=\|\cdot\|_{L^p}$和 $\|\cdot\|=\|\cdot\|_2$; $H^s$表示${\Bbb R}$上的Sobolev空间,并赋予范数 $$\|g\|_{H^s}=\|(I-\partial^2_x)^{\frac{s}{2}}g\|=\|(1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\hat{g}\|,$$ 其中$s$是一实数,$\hat{g}$表示$g$的Fourier变换,$I$表示单位算子.

本文计划如下:在第2节中,首先证明辅助问题(1.17),(1.18)局部解的存在性与惟一性;其次证明辅助问题(1.17),(1.18)存在 惟一整体广义解和惟一整体古典解;最后给出辅助问题(1.17),(1.18)解爆破的充分条件.

在第3节中,通过变换$v_x(x,t)=u(x,t)$, $v_{0x}(x)=u_0(x)$和$v_{1x}(x)=u_1(x)$,由辅助问题(1.17),(1.18)证明 问题(1.3),(1.4)有惟一整体广义解和惟一整体古典解. 同时给出初值问题(1.3),(1.4)解爆破的充分条件.

为了证明辅助问题(1.17),(1.18)存在惟一局部广义解和惟一局部古典解, 需要下面的引理.

引理2.1    ^[8] 设$h\in C^k({{\Bbb R}})$,$h(0)=0$,$w\in H^s\cap L^\infty$,$k=[s]+1$, 其中$s\geq 0$是一实数,如果$\|w\|_{\infty}\leq M$,则 $$\|h(w)\|_{H^s}\leq C_1(M)\|w\|_{H^s},$$ 其中$C_1(M)$是依赖于$M$的常数.

引理2.2    ^[9] 设$s\geq 0$,$h\in C^k({{\Bbb R}})(k=[s]+1)$. 如果$w_1,w_2\in H^s\cap L^\infty$, $\|w_i\|_{H^s}+\|w_i\|_\infty\leq M$,$i=1,2$,则 $$\|h(w_1)-h(w_2)\|_{H^s}\leq C_2(M)\|w_1-w_2\|_{H^s},$$ 其中$C_2(M)$是依赖于$M$的常数.

为了证明辅助问题(1.17),(1.18)广义解的存在性, 应用二阶常微分方程的基本解化辅助问题(1.17),(1.18)为一积分方程.

为此,令$G(x)$是常微分方程 $$w(x)-w_{xx}(x)=\delta(x),$$ 的基本解,其中$\delta(x)$是Dirac函数.易证下面的引理.

引理2.3     (1)~ $G(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}>0$ 在 ${\Bbb R}$上有定义且连续;

(2)~ $G\in L^q$ 且 $\|G\|_1=1$,其中$1\leq q\leq\infty$;

(3)~ $\|G\ast g\|_{H^s}=\|g\|_{H^{s-2}}$,其中$g\in H^s$,$s\geq 0$, $h\ast w$ 表示 $h$ 与 $w$的卷积,即 $$(h\ast w)(x)=\int_{{\Bbb R}}h(y)w(x-y){\rm d}y.$$ 设$v\in C^2([0,T];H^s)(s\geq 2)$是辅助问题(1.17),(1.18)的广义解,方程(1.17)可以改写为

$$\begin{eqnarray} v_{tt}(x,t)&=&(I-\partial^2_x)^{-1}[v_{xx}(x,t)-\nu_0v_t(x,t)+f(v_x(x,t))_x]\nonumber\\ &=&G\ast[v_{xx}-\nu_0v_t+f(v_x)_x](x,t). \end{eqnarray}$$

(2.1)

方程(2.1)对$t$积分两次,并应用 $\frac{\partial^2}{\partial x^2}(G\ast h)=G\ast h-h$,可知辅助问题 (1.17),(1.18)与以下积分方程

$$\begin{eqnarray} v(x,t)&=&v_0(x)+[\nu_0(G\ast v_0)(x)+v_1(x)]t\nonumber\\ &&+\int^t_0(t-\tau)[(G\ast v)(x,\tau)-v(x,\tau)]{\rm d}\tau-\nu_0\int^t_0(G\ast v)(x,\tau){\rm d}\tau\nonumber\\ &&+\int^t_0(t-\tau)[G\ast f(v_x)_x](x,\tau){\rm d}\tau \end{eqnarray}$$

(2.2)

等价.

定义2.4     对于 $T>0$,如果 $v\in C([0,T];H^s)$ $(s\geq 2)$ 满足积分方程 (2.2),则 $v(x,t)$ 称为积分方程(2.2) 的连续解或辅助问题 (1.17),(1.18) 的广义解. 如果 $T<\infty$ ,则 $v(x,t)$ 称为辅助问题 (1.17),(1.18)的局部广义解. 如果 $T=\infty$,则 $v(x,t)$ 称为辅助问题(1.17),(1.18) 的整体广义解.

定义函数空间 $$X(T)=C([0,T];H^s)\ \ \ (s\geq 2),$$ 并赋予范数 $$\|v\|_{X(T)}=\max_{0\leq t\leq T}\|v(\cdot,t)\|_{H^s},\ \ \ \forall v\in X(T).$$ 易知 $X(T)$ 是一 Banach 空间.

首先,对$w\in X(T)$ 定义映射 $S$ 如下

$$\begin{eqnarray} Sw(x,t)&=&v_0(x)+[\nu_0(G\ast v_0)(x)+v_1(x)]t\nonumber\\ &&+\int^t_0(t-\tau)[(G\ast w)(x,\tau)-w(x,\tau)]{\rm d}\tau-\nu_0\int^t_0(G\ast w)(x,\tau){\rm d}\tau\nonumber\\ &&+\int^t_0(t-\tau)[G\ast f(w_x)_x](x,\tau) {\rm d}\tau.% ( 2.3 \end{eqnarray}$$

(2.3)

因为 $s\geq 2$,由 Sobolev 嵌入定理知,$v,~v_x\in C([0,T]; L^\infty)$,$\|v(\cdot,t)\|_\infty$,$\|v_x(\cdot,t)\|_\infty\leq C_3\|v(\cdot,t)\|_{H^s}$,其中 $C_3>0$ 是一常数. 则 $S$ 映射 $X(T)$ 到 $X(T)$.

其次,对于 $v_0,~v_1\in H^s$,令 $\|v_0\|_{H^s}+\|v_1\|_{H^s}=M$. 定义集合 $$Q(M,T)=\{v|v\in X(T),\|v\|_{X(T)}\leq 2M+1\}.$$

显然,对于每一对 $M,T>0$,$Q(M,T)$ 是 $X(T)$ 的一不空有界闭凸子集. 我们将证明 $S$ 在$Q(X,T)$ 中有惟一的不动点.

引理 2.5     设 $s\geq 2$,$v_0,~v_1\in H^s$,$f\in C^{[s]+1}({\Bbb R})$,$f(0)=0$,则 $S$ 映 $Q(M,T)$ 到 $Q(M,T)$, 且如果 $T$ 相对于 $M$ 适当的小,$S:Q(M,T)\rightarrow Q(M,T)$ 是严格压缩的.

证     设 $w\in Q(M,T)$. 根据 Sobolev 空间嵌入定理,如果 $s\geq 2$, $$H^s\hookrightarrow C^1_B({\Bbb R}),$$ 则 $$\sup_{0\leq t\leq T}\|w(\cdot,t)\|_\infty,\ \ \sup_{0\leq t\leq T}\|w_x(\cdot,t)\|_\infty\leq 2M+1,\ \ \forall w\in Q(M,T).$$ 这里的 $''\hookrightarrow''$表示嵌入关系, $C^1_B({\Bbb R})$由所有在 ${\Bbb R}$上 $\phi$ 和 $\phi_x$ 有界的 函数$\phi\in C^1({\Bbb R})$组成. 由引理 2.1 和引理2.3 推出

$$\begin{equation} \|(G\ast w)(\cdot, t)\|_{H^s}=\|w(\cdot,t)\|_{H^{s-2}}\leq\|w(\cdot,t)\|_{H^s}, \end{equation}$$

(2.4)

$$\begin{eqnarray} \|(G\ast f(w_x)_x)(\cdot,t)\|_{H^s}&=&\|f(w_x)_x\|_{H^{s-2}}\leq\|f(w_x)\|_{H^{s-1}}\nonumber\\ &\leq & C_1(2M+1)\|w_x\|_{H^{s-1}}\leq C_1(2M+1)\|w\|_{H^s}. \end{eqnarray}$$

(2.5)

由 式(2.3)-(2.5)和Minkowski 积分不等式,有

$$\begin{eqnarray} \|Sw(\cdot,t)\|_{H^s}&\leq&\|v_0\|_{H^s}+[\nu_0\|v_0\|_{H^s}+\|v_1\|_{H^s}]T\nonumber\\ &&+2\int^t_0(t-\tau)\|w(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau+\nu_0\int^t_0\|w(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau\nonumber\\ &&+C_1(2M+1)\int^t_0(t-\tau)\|w(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau. \end{eqnarray}$$

(2.6)

式(2.6)给出

$$\begin{equation} \|Sw\|_{X(T)}\leq M+\left[3\nu_0+1+\frac{\nu_0}{M}\right]MT+\left[1+\frac{1}{2}C_1(2M+1)\right](2M+1)T^2. \end{equation}$$

(2.7)

如果 $T$ 满足

$$\begin{equation} T\leq \min \left\{\frac{1}{3\nu_0+1+\frac{\nu_0}{M}},\frac{1}{\sqrt{[1+\frac{1}{2}C_1(2M+1)](2M+1)}}\right\}, \end{equation}$$

(2.8)

则 $\|Sw\|_{X(T)}\leq 2M+1$. 因此如果 (2.8) 式成立,则 $S$ 映 $Q(M,T)$ 到 $Q(M,T)$.

现在证明映射 $S$ 是严格压缩的. 令 $T>0$ 且 $w_1,~w_2\in Q(M,T)$ 已知. 由式(2.3)得

$$\begin{eqnarray} Sw_1(x,t)-Sw_2(x,t)&=&\int^t_0(t-\tau)\{[G\ast(w_1-w_2)](x,\tau)-[w_1(x,\tau)-w_2(x,\tau)]\}{\rm d}\tau\nonumber\\ &&-\nu_0\int^t_0[G\ast (w_1-w_2)](x,\tau){\rm d}\tau\nonumber\\ &&+\int^t_0(t-\tau)\{G\ast[f(w_{1x})_x-f(w_{2x})_x]\}(x,\tau){\rm d}\tau. \end{eqnarray}$$

(2.9)

应用引理2.2,2.3可知

$$\begin{eqnarray} \|[G\ast (f(w_{1x})_x-f(w_{2x})_x)](\cdot,t)\|_{H^s} &=&\|f(w_{1x}(\cdot,t))_x-f(w_{2x}(\cdot,t))_x\|_{H^{s-2}}\nonumber\\ &\leq&\|f(w_{1x}(\cdot,t))-f(w_{2x}(\cdot,t))\|_{H^{s-1}}\nonumber\\ &\leq& C_2(2M+1)\|w_1(\cdot,t)-w_2(\cdot,t)\|_{H^s}. \end{eqnarray}$$

(2.10)

利用引理2.2,2.3和 Minkowski 积分不等式,由式 (2.9) 和 (2.10) 断言

$$\begin{equation} \|Sw_1-Sw_2\|_{X(T)}\leq \nu_0\|w_1-w_2\|_{X(T)}T+\left(1+\frac{1}{2}C_2(2M+1)\right)\|w_1-w_2\|_{X(T)}T^2. \end{equation}$$

(2.11)

如果 $T$ 满足式(2.8)且

$$\begin{equation} T\leq \min \left\{\frac{1}{4\nu_0},\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{1}{2}C_2(2M+1)}}\right\}, \end{equation}$$ 则 $\|Sw_1-Sw_2\|_{X(T)}\leq\frac{1}{2}\|w_1-w_2\|_{X(T)}$.

(2.12)

定理 2.6     设 $s\geq 2$,$v_0,~v_1\in H^s$,$f\in C^{[s]+1}({\Bbb R})$ 且 $f(0)=0$,则积分方程 (2.2) 存在惟一局部连续解,即辅助问题(1.17),(1.18) 存在惟一局部广义解 $v\in C([0,T_0); H^s)$,其中 $[0,T_0)$ 是解存在的最大时间区间. 同时, 如果

$$\begin{equation} \sup_{t\in[0,T_0)}(\|v(\cdot,t)\|_{H^s}+\|v_t(\cdot,t)\|_{H^s})<\infty, \end{equation}$$ 则 $T_0=\infty$.

(2.13)

证     由引理2.5和压缩映射原理,对于适当选择的 $T>0$,$S$ 有惟一的不动点 $v\in Q(M,T)$,即它是辅助问题(1.17),(1.18) 的广义解.

易证对于每一个 $\bar{T}>0$,积分方程 (2.2) 至多有一解属于 $X(\bar{T})$.

令 $[0,T_0)$ 是解 $v\in X(T_0)$ 存在的最大时间区间. 应用文献 ^[10]中引理3.2的方法可以证明, 如果式(2.13)成立,则 $T_0=\infty$.

推论 2.7     如果 $v\in C([0,T_0);H^s)(s\geq 2)$ 是辅助问题 (1.17),(1.18)的局部广义解,则 $v\in C^2([0,T_0);H^s)$ 且满足方程 (2.1); 如果 $v\in C([0,T_0);H^s)(s\geq 2)$ 是辅助问题 (1.17),(1.18) 的局部广义解, 则如果 $s>\frac{5}{2}$,$v\in C^2([0,T_0);H^s)$ 是辅助问题(1.17),(1.18)的局部古典解.

本节我们证明辅助问题 (1.17),(1.18) 存在惟一整体广义解和惟一整体古典解. 现在转化问题 (1.17),(1.18) 解的延拓条件(2.13)为下面的解的延拓条件 (2.14), 即证明下面的定理.

定理 2.8     设 $s\geq 2$,$v_0,~v_1\in H^s$,$f\in C^{[s]+1}({{\Bbb R}}),~f(0)=0$,则辅助问题 (1.17),(1.18) 存在惟一局部广义解 $v\in C^2([0,T_0);H^s)$,其中 $[0,T_0)$ 是解存在的最大时间区间. 同时,如果

$$\begin{equation} \sup_{t\in[0,T_0)}\|v_x(\cdot,t)\|_\infty=M_1<\infty, \end{equation}$$

(2.14)

则 $T_0=\infty$.

证     应用 Minkowski 积分不等式,(2.14) 式,引理2.1 和引理 2.3,由式(2.2)得

$$\begin{eqnarray} \|v(\cdot,t)\|_{H^s}&\leq&\|v_0\|_{H^s}+[\nu_0\|v_0\|_{H^s}+\|v_1\|_{H^s}]T+2\int^t_0(t-\tau)\|v(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau\nonumber\\ &&+\nu_0\int^t_0\|v(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau+C_1(M_1)\int^t_0(t-\tau)\|v(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau\nonumber\\ &\leq& C_3(T)+C_4(T)\int^t_0\|v(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau, \end{eqnarray}$$

(2.15)

其中$C_i(T)~(i=3,4,\cdots)$ 表示依赖于 $T$ 的常数.

由Gronwall 不等式推出

$$\begin{equation} \|v(\cdot,t)\|_{H^s}\leq C_5(T),\ \ \ 0\leq t\leq T. \end{equation}$$

(2.16)

式(2.2)对 $t$ 求导,得

$$\begin{eqnarray} v_t(x,t)&=&[\nu_0(G\ast v_0)(x)+v_1(x)]+\int^t_0[(G\ast v)(x,\tau)\nonumber\\ &&-v(x,t)]{\rm d}\tau-\nu_0(G\ast v)(x,t)+\int^t_0[G\ast f(v_x)_x](x,\tau){\rm d}\tau. \end{eqnarray}$$

(2.17)

由引理 2.1,2.3,Minkwoski 积分不等式和式(2.17),有

$$\begin{eqnarray} \|v_t(\cdot,t)\|_{H^s}&\leq& \nu_0\|v_0\|_{H^s}+\|v_1\|_{H^s}+\nu_0\|v(\cdot,t)\|_{H^s}\nonumber\\ &&+2\int^t_0\|v(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau+C_1(M_1)\int^t_0\|v(\cdot,\tau)\|_{H^s}{\rm d}\tau\nonumber\\ &\leq& C_6(T),\ \ \ \ 0\leq t\leq T. \end{eqnarray}$$

(2.18)

从而由式(2,16)和(2.18)得式(2.13).

为了得到辅助问题(1.17),(1.18) 整体广义解存在的条件, 我们将建立辅助问题(1.17),(1.18) 解的一能量等式.

引理 2.9    ^[11] 设$s=m+\frac{1}{2}+\lambda$, $\lambda\in(0, 1)$,$m\in Z_+$ $(Z_+$为非负整数集),则 $$H^s\hookrightarrow C^{m,\lambda}({{\Bbb R}}),$$ 且对于任意的$~h\in H^s$ 有 $$|D^k h(x)|\rightarrow 0 \ \ \ (|x|\rightarrow\infty),\ \ \ \forall k\in Z_+,\ \ \ 0\leq k\leq m.$$ 其中$C^{m,\lambda}_B({\Bbb R})$由所有在${\Bbb R}$上$D^k h(0\leq k\leq m)$有界的函数$h\in C^{m,\lambda}({\Bbb R})$ (表示H\"{o}lder空间)组成.

引理 2.10     设 $v_0,~v_1\in H^1,f\in C({{\Bbb R}}),~F(v_x)=\int^{v_x}_0f(y){\rm d}y$,$F(v_{0x})\in L^1$, 则辅助问题(1.17),(1.18) 的广义解 $v\in C^2([0,T_0);H^s)(s\geq 2)$ 满足下列能量等式

$$\begin{eqnarray} E(t)&=&\|v_t(\cdot,t)\|^2+\|v_x(\cdot,t)\|^2+\|v_{xt}(\cdot,t)\|^2+2\nu_0\int^t_0\|v_\tau(\cdot,t)\|^2{\rm d}\tau\nonumber\\ &&+2\int_{{\Bbb R}}F(v_x(x,t)){\rm d}x=E(0),\ \ \ \forall t\in [0,T],\ \ T<T_0. \end{eqnarray}$$

(2.19)

证     方程 (1.17) 两端同乘以 $2v_t(x,t)$,乘积在 ${\Bbb R}$ 上对 $x$ 积分,应用引理2.9并进行分部积分,得 $$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big(\|v_t(\cdot,t)\|^2+\|v_x(\cdot,t)\|^2+\|v_{xt}(\cdot,t)\|^2+2\nu_0\int^t_0\|v_\tau(\cdot,\tau)\|^2{\rm d}\tau +2\int_{{\Bbb R}} F(v_x(x,t)){\rm d}x\Big)=0.$$ 上式对 $t$ 积分,立得式(2.19).

定理 2.11     设 $v_0,v_1\in H^s,~f\in C^{[s]+1}({{\Bbb R}})(s\geq 3),~ f(0)=0,~F(y)\geq 0,~\forall y\in{{\Bbb R}},~F(v_{0x} )\in L^1$. 如果存在 $\rho$ 满足 $1\leq \rho\leq\infty$,使得

$$\begin{equation} |f(y)|\leq aF(y)^{\frac{1}{\rho}}|y|+b,\ \ \ \forall y\in{{\Bbb R}}, \end{equation}$$

(2.20)

其中 $a$ 和 $b$ 是正常数,则辅助问题(1.17),(1.18) 存在惟一的整体广义解 $v\in C^2([0,\infty);H^s)$.

证     根据定理 2.8只需证明条件 (2.14) 成立. 由方程 (2.1)并利用基本解 $G(x)$ 的性质 $\frac{\partial^2}{\partial x^2}(G\ast h)=G\ast h-h$,有 $$v_{tt}(x,t)+v(x,t)=G\ast [v-\nu_0v_t+f(v_x)_x](x,t).$$ 上式对 $x$ 求导后,两端同乘以 $2v_{xt}(x,t)$,可见

$$\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(v^2_{xt}(x,t)+v^2_x(x,t)+2F(v_x(x,t)))=2G\ast[v_x-\nu_0v_{xt}+f(v_x)](x,t)v_{xt}(x,t). \end{equation}$$

(2.21)

利用引理 2.3,2.10,Young 不等式和 H\"{o}lder 不等式,得

$$\begin{eqnarray} |[G\ast f(v_x)](x,t)|&\leq& [G\ast|f(v_x)|](x,t)\leq aG\ast[F(v_x)^{\frac{1}{\rho}}|v_x|](x,t)+b\nonumber\\ &\leq &a\|G(\cdot)\|_q\|v_x(\cdot,t)\|_\infty\|F(v_x(\cdot,t))\|_1^{\frac{1}{\rho}}+b\nonumber\\ &\leq & C_7\|v_x(\cdot,t)\|_\infty+b, \end{eqnarray}$$

(2.22)

其中 $\frac{1}{q}+\frac{1}{\rho}=1$,且

$$\begin{equation} |[G\ast v_x](x,t)|\leq\|v_x(\cdot,t)\|_\infty,\ \ |G\ast(-\nu_0v_{xt})(x,t)|\leq\nu_0\|v_{xt}(\cdot,t)\|_\infty. \end{equation}$$

(2.23)

由 式(2.21)-(2.23) 推出

$$\begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}[v^2_{xt}(x,t)+v^2_x(x,t)+2F(v_x(x,t))] &\leq& 2C_7\|v_x(\cdot,t)\|_\infty\|v_{xt}(\cdot,t)\|_\infty+2b\|v_{xt}(\cdot,t)\|_\infty\nonumber\\ &&+2\nu_0\|v_{xt}(\cdot,t)\|^2_\infty+2\|v_x(\cdot,t)\|_\infty\|v_{xt}(\cdot,t)\|_\infty\nonumber\\ &\leq& C_8+C_9(\|v_x(\cdot,t)\|^2_\infty+\|v_{xt}(\cdot,t)\|^2_\infty). \end{eqnarray}$$

(2.24)

式(2.24)对 $t$ 积分,有 $$\begin{eqnarray*} &&\|v_x(\cdot,t)\|^2_\infty +\|v_{xt}(\cdot,t)\|^2_\infty+2\|F(v_x(\cdot,t))\|_\infty\nonumber\\ &\leq& \|v_{0x}\|^2_\infty+\|v_{1x}\|^2_\infty+2\|F(v_{0x})\|_\infty+C_8T +C_9\int^t_0(\|v_x(\cdot,\tau)\|^2_\infty+\|v_{x\tau}(\cdot,\tau)\|^2_\infty){\rm d}\tau. \end{eqnarray*}$$ Gronwall 不等式推出 (2.14)式成立.

注 2.12     设$v\in C^2([0,\infty);H^s)(s\geq 3)$ 是辅助问题 (1.17),(1.18)的整体广义解,则 $v$ 也是辅助问题 (1.17),(1.18) 的整体古典解.

下面我们应用凸性方法研究辅助问题(1.17),(1.18)解的爆破.

引理 2.13    ^[12] 设$\phi(t)$ 是一正的, 二次连续可导的函数,且在 $t\ge0$ 上满足不等式

$$\begin{equation} \phi(t)\ddot{\phi}(t)-(1+\alpha)\dot{\phi}(t)^2\geq-2A_1\phi(t)\dot{\phi}(t)-A_2\phi(t)^2, \end{equation}$$

(2.25)

其中 $\dot{\phi}=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\phi$,~$\alpha>0,A_1,A_2\ge0$ 是常数.则

(1)~ 若 $A_1=A_2=0,\phi(0)>0$,且$\dot{\phi}(0)>0,$ 则存在 $t_1\le t_2=\frac{\phi(0)}{\alpha \dot{\phi}(0)},$ 使得 当$t\rightarrow t_1$ 时,$\phi(t)\rightarrow \infty.$

(2)~ 若 $A_1+A_2>0,\phi(0)>0$ 且 $\dot{\phi}(0)>-\beta_2\alpha^{-1}\phi(0),$ 则当$t\rightarrow t_1\le t_2$时,$\phi(t)\rightarrow \infty,$ 其中$\beta_{1, 2}=-A_1\pm\sqrt{A_1^2+\alpha A_2},$ $t_2=\frac1{2\sqrt{A_1^2+\alpha A_2}}\ln\frac{{\beta_1}\phi(0) +\alpha\dot{\phi}(0)}{{\beta_2}\phi(0)+\alpha \dot{\phi}(0)}.$

定理 2.14     设 $v_0,v_1\in H^1,f\in C({\Bbb R})$, $F(v_{0x})\in L^1$ ,且存在一常数 $\alpha>0$,使得

$$\begin{equation} yf(y)\leq(3+4\alpha)F(y),\ \ \forall y\in{\Bbb R}, \end{equation}$$

(2.26)

则辅助问题(1.17),(1.18) 的广义解 $v\in C^2([0,T_0);H^s)(s\geq 2)$ 或古典解$v(x,t)$,如果满足下列条件之一,必在有限时刻爆破:

(1)~ $E(0)<0$ 和 $$\int_{{\Bbb R}}v_0(x)v_1(x){\rm d}x+\int_{{\Bbb R}}v_{0x}(x)v_{1x}(x){\rm d}x>\frac{1}{2}\frac{\nu_0}{\sqrt{\alpha}}(\|v_0\|^2+\|v_{0x}\|^2)>0;$$

(2)~ $E(0)=0$ 和 $$\int_{{\Bbb R}} v_0(x)v_1(x){\rm d}x+\int_{{\Bbb R}}v_{0x}(x)v_{1x}(x){\rm d}x>\frac{1}{2}\frac{\nu_0}{\sqrt{\alpha}}(\|v_0 \|^2+\|v_{0x}\|^2)>0;$$

(3)~ $E(0)>0$ 和 $$\begin{eqnarray*} &&\int_{{\Bbb R}} v_0(x)v_1(x){\rm d}x+\int_{{\Bbb R}}v_{0x}(x)v_{1x}(x){\rm d}x \\ &>&\sqrt{\frac{4\alpha+3}{4\alpha+2}E(0)(\|v_0\|^2+\|v_{0x}\|^2) +\frac{\nu^2_0}{4\alpha}(\|v_0\|^2+\|v_{0x}\|^2)^2}~, \end{eqnarray*}$$ 其中 $E(0)=\|v_1\|^2+\|v_{0x}\|^2+\|v_{1x}\|^2+2\int_{{\Bbb R}} F(v_{0x}){\rm d}x.$

证     设辅助问题(1.17),(1.18)解存在的最大时间是无穷的. 令

$$\begin{equation} \phi(t)=\|v(\cdot,t)\|^2+\|v_x(\cdot,t)\|^2+\gamma_0(t+t_0)^2, \end{equation}$$

(2.27)

其中 $\gamma_0$ 和 $t_0$ 是待定的非负整数. 式(2.27) 对 $t$ 求导, 得

$$\begin{equation} \dot{\phi}(t)=2\left[\int_{{\Bbb R}}v_xv_{xt}{\rm d}x +\int_{{\Bbb R}}vv_t{\rm d}x+\gamma_0(t+t_0)\right]. \end{equation}$$

(2.28)

应用 H\"{o}lder 不等式,有

$$\begin{equation} \dot{\phi}(t)^2\leq 4\phi(t)[\|v_{xt}\|^2+\|v_t\|^2+\gamma_0]. \end{equation}$$

(2.29)

式(2.28) 对 $t$ 求导,应用方程 (1.17) 和引理2.9,得

$$\begin{eqnarray} \ddot{\phi}(t)&=&2\|v_{xt}\|^2+2\int_{{\Bbb R}}v_xv_{xtt}{\rm d}x+2\|v_t\|^2+2\int_{{\Bbb R}}vv_{tt}{\rm d}x+2\gamma_0\nonumber\\ &=&2[\|v_t\|^2+\|v_{xt}\|^2+\gamma_0]+2\int_{{\Bbb R}}v(v_{tt}-v_{xxtt}){\rm d}x\nonumber\\ &\geq&\|v_t\|^2+\|v_{xt}\|^2+2\gamma_0- 2\|v_x\|^2-\nu^2_0\|v\|^2-2\int_{{\Bbb R}}f(v_x)v_x{\rm d}x. \end{eqnarray}$$

(2.30)

由式(2.26),(2.27),(2.29),(2.30) 和等式 (2.19) 可得

$$\begin{eqnarray} \phi(t)\ddot{\phi}(t)-(1+\alpha)\dot{\phi}(t)^2 %\nonumber\\ &\geq & -\phi(t) \bigg\{(3+4\alpha)\|v_{xt}\|^2+(3+4\alpha)\|v_t\|^2\nonumber\\ &&+(2+4\alpha)\gamma_0+2\|v_x\|^2+\nu^2_0\|v\|^2+2\int_{{\Bbb R}}f(v_x)v_x{\rm d}x \bigg\}\nonumber\\ &=&-\phi(t)\bigg\{(3+4\alpha)E(0)+(2+4\alpha)\gamma_0-\gamma_0\nu^2_0(t+t_0)^2+\nu^2_0\phi(t)\nonumber\\ &&-(1+4\alpha+\nu^2_0)\|v_x\|^2-2\nu_0(3+4\alpha)\int^t_0\|v_\tau\|^2{\rm d}\tau\nonumber\\ &&-2(3+4\alpha)\int_{{\Bbb R}}F(v_x){\rm d}x+2\int_{{\Bbb R}} f(v_x)v_x{\rm d}x\bigg\}\nonumber\\ &\geq& -\phi(t)\{(3+4\alpha)E(0)+(2+4\alpha)\gamma_0\}-\nu^2_0\phi(t)^2. \end{eqnarray}$$

(2.31)

(i)~ 如果 $E(0)<0$,取 $\gamma_0=-\frac{3+4\alpha}{2+4\alpha}E(0)>0$, $t_0=0$,由 式(2.31) 有 $$\phi(t)\ddot{\phi}(t)-(1+\alpha)\dot{\phi}(t)^2\geq-\nu^2_0\phi(t)^2.$$

根据假定 (1) 知 $\phi(0)>0$ , $\dot{\phi}(0)>-\beta_2\alpha^{-1}\phi(0)$. 由引理 2.13 推得,当 $t\rightarrow t_1\leq t_2$ 时,$\phi(t)\rightarrow\infty$ . 这里 $\beta_{1,2}=\pm\nu_0\sqrt{\alpha}$, $$t_2=\frac{1}{2\nu_0\sqrt{\alpha}}\ln\frac{\nu_0\sqrt{\alpha}\phi(0)+\alpha\dot{\phi}(0)}{-\nu_0\sqrt{\alpha}\phi(0)+\alpha\dot{\phi}(0)}.$$

(ii)~ 如果 $E(0)=0$,取 $\gamma_0=0$,则式(2.31) 变为 $$\phi(t)\ddot{\phi}(t)-(1+\alpha)\dot{\phi}(t)^2\geq-\nu^2_0\phi(t)^2.$$

根据假定 (2) 知 $\phi(0)>0$, $\dot{\phi}(0)>-\beta_2\alpha^{-1}\phi(0)$. 由引理 2.13断定,当 $t\rightarrow t_1\leq t_2$ 时,$\phi(t)\rightarrow \infty$ ,其中 $$t_2=\frac{1}{2\nu_0\sqrt{\alpha}}\ln\frac{\nu_0\sqrt{\alpha}\phi(0)+\alpha\dot{\phi}(0)}{-\nu_0\sqrt{\alpha}\phi(0)+\alpha\dot{\phi}(0)}.$$

(iii)~ 如果 $E(0)>0$,取 $\gamma_0=0$,式(2.31) 变为 $$\phi(t)\ddot{\phi}(t)-(1+\alpha)\dot{\phi}(t)^2\geq-\phi(t)(3+4\alpha)E(0)-\nu^2_0\phi(t)^2.$$ 令 $$J(t)=\phi^{-\alpha}(t),$$ 则

$$\dot{J}(t)=-\alpha\phi^{-\alpha-1}(t)\dot{\phi}(t),$$ $$\begin{eqnarray} \ddot{J}(t)&=&\alpha(\alpha+1)\phi^{-\alpha-2}(t)\dot{\phi}(t)^2-\alpha\phi^{-\alpha-1}(t)\ddot{\phi}(t)\nonumber\\ &=&-\alpha\phi^{-\alpha-2}(t)[\phi(t)\ddot{\phi}(t)-(1+\alpha)\dot{\phi}(t)^2]\nonumber\\ &\leq & \alpha(3+4\alpha)\phi^{-\alpha-1}(t)E(0)+\alpha\nu^2_0\phi^{-\alpha}(t). \end{eqnarray}$$

(2.32)

根据假定 (3),可知 $$\dot{J}(0)=-\alpha\phi^{-\alpha-1}(0)\dot{\phi}(0)<0.$$ 令 $$t^*=\sup\{\tau|\dot{J}(\tau)<0,\ \ \tau\in [0,t)\}.$$ 由于 $\dot{J}(t)$ 的连续性,$t^*$ 是正的. 式(2.32)两端同乘以 $2\dot{J}(t)$,得到

$$\begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\dot{J}(t)^2 &\geq &-2\alpha^2(3+4\alpha)\phi^{-2\alpha-2}(t)E(0)\dot{\phi}(t)-2\alpha^2\nu^2_0\phi^{-2\alpha-1}(t)\dot{\phi}(t) \nonumber\\ &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\frac{2\alpha^2(3+4\alpha)}{1+2\alpha}E(0)\phi^{-2\alpha-1}(t)+\alpha\nu^2_0\phi^{-2\alpha}(t)\right],\ \ t\in (0,t^*). \end{eqnarray}$$

(2.33)

式(2.33)在 $(0,t)$ 上对$0\leq t<t^*$ 积分,有

$$\begin{eqnarray} \dot{J}(t)^2&\geq& \dot{J}(0)^2+\frac{2\alpha^2(3+4\alpha)}{1+2\alpha}E(0)[\phi^{-2\alpha-1}(t)-\phi^{-2\alpha-1}(0)]\nonumber\\ &&+\alpha\nu^2_0[\phi^{-2\alpha}(t)-\phi^{-2\alpha}(0)],\ \ \ t\in [0,t^*). \end{eqnarray}$$

(2.34)

由假定 (3) 知

$$\begin{equation} \dot{J}(0)^2-\frac{2\alpha^2(3+4\alpha)}{1+2\alpha}E(0)\phi^{-2\alpha-1}(0)-\alpha\nu^2_0\phi^{-2\alpha}(0)>0. \end{equation}$$

(2.35)

因此根据 $\dot{J}(t)$ 的连续性,由 式(2.34) 和 (2.35) 对 $0\leq t<t^*$ 得

$$\begin{equation} \dot{J}(t)\leq-\bigg[\dot{J}(0)^2-\frac{2\alpha^2(3+4\alpha)} {1+2\alpha}E(0)\phi^{-2\alpha-1}(0)-\alpha\nu^2_0 \phi^{-2\alpha}(0)\bigg]^{\frac{1}{2}}. \end{equation}$$

(2.36)

依 $t^*$ 的定义推知,(2.36) 式对所有的 $t\geq 0$ 成立. 所以, $$J(t)\leq J(0)-\bigg[\dot{J}(0)^2-\frac{2\alpha^2(3+4\alpha)}{1+2\alpha}E(0)\phi^{-2\alpha-1}(0)-\alpha\nu^2_0\phi^{-2\alpha}(0)\bigg]^{\frac{1}{2}}t,\ \ \ \forall t>0.$$ 因此,对于某个$0<t_1\leq t_2$的 $t_1$,$J(t_1)=0$,其中 $$t_2=J(0)\bigg[\dot{J}(0)^2-\frac{2\alpha^2(3+4\alpha)}{1+2\alpha}E(0)\phi^{-2\alpha-1}(0)-\alpha\nu^2_0\phi^{-2\alpha}(0)\bigg]^{-\frac{1}{2}}.$$ $\phi(t)$ 在 $t_1$ 变为无穷大. 从而或者在 (1),(2),或者在(3) 的假定下 $\phi(t)$ 总在 $t_1$ 变为无穷大. 这与问题解存在的最大时间为无穷的事实矛盾.因此解存在的最大时间是有限的.

在本节中借助于辅助问题 (1.17),(1.18) 讨论初值问题(1.3),(1.4)解的整体存在性和惟一性. 还借助于辅助问题 (1.17),(1.18)研究初值问题(1.3),(1.4)解的爆破.

定理 3.1     设 $u_0,u_1\in H^{s-1}$,$f\in C^{[s]}{({\Bbb R})}(s\geq 3)$,$f(0)=0$,$F(y)\geq 0$,$\forall y\in{\Bbb R}$,$F(u_0)\in L^1$. 如果存在 $\rho$ 满足 $0\leq \rho\leq\infty$,使得 $$|f(y)|\leq aF(y)^{\frac{1}{\rho}}|y|+b,\ \ \ \forall y\in{\Bbb R},$$ 其中 $a$ 和 $b$ 是正常数,则初值问题(1.3),(1.4) 存在惟一的整体广义解 $u\in C^2([0,\infty);H^s)$ $(s\geq 2)$.

证     令 $v_x(x,t)=u(x,t)$,则 $v(x,t)$ 应满足下列问题 $$v_{xtt}-v_{xxx}-v_{xxxtt}+\nu_0v_{xt}=f(v_x)_{xx},\ \ \ x\in {{\Bbb R}},\ \ \ t>0,(3.1)$$ $$v(x,0)=\varphi(x),\ \ \ v_t(x,0)=\psi(x),\ \ \ x\in{\Bbb R}, (3.2)$$ 其中 $\varphi(x)=\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi$, $\psi(x)=\int^x_{-\infty}u_1(\xi){\rm d}\xi$.

考虑方程 $$v_{tt}-v_{xx}-v_{xxtt}+\nu_0v_t=f(v_x)_x,x\in{{\Bbb R}},\ \ \ t>0 (3.3)$$ 与(3.2)的初值问题.经直接计算知,$\varphi$,$\psi\in H^{s}$,$f\in C^{[s]+1}({{\Bbb R}})(s\geq 3)$; $\varphi(x)$,$\psi(x)$ 和 $f(y)$ 满足定理 2.11的条件. 因此,初值问题 (3.3),(3.2) 存在惟一整体古典解 $v\in C^2([0,\infty);H^s)(s\geq 3)$. 将此 $v(x,t)$ 代入初值问题 (3.3),(3.2) 后,式(3.3),(3.2)分别对$x$ 求导,把 $v_x(x,t)=u(x,t)$ 代入所得表达式, 可知 $u\in C^2([0,\infty);H^s)(s\geq 2)$ 是 初值 问题(1.3),(1.4) 的整体广义解.

现在证明初值问题(1.3),(1.4) 广义解的惟一性.

令 $u_1(x,t)$ 和 $u_2(x,t)$ 是初值问题(1.3),(1.4) 的两个广义解,则,$u(x,t)=u_1(x,t)-u_2(x,t)$ 满足下列初值问题 $$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}+\nu_0u_t=[f(u_1(x,t))-f(u_2(x,t))]_{xx},\ \ \ x\in {{\Bbb R}},\ \ \ t>0,(3.4)$$ $$u(x,0)=0,\ \ \ u_t(x,0)=0,\ \ \ x\in{\Bbb R}. (3.5)$$ 式(3.4)两端同乘以 $2u_t(x,t)$,乘积在 ${\Bbb R}$ 上积分, 两端分别加上 $2\int_{{\Bbb R}}u(x,t)u_t(x,t){\rm d}x$,应用引理 2.9 并分部积分,得到 $$\begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u(\cdot,t)\|^2+\|u_t(\cdot,t)\|^2+\|u_x(\cdot,t)\|^2+\|u_{xt}(\cdot,t)\|^2)\nonumber\\ &=&-2\nu_0\|u_t(\cdot,t)\|^2-2\int_{{\Bbb R}}[f(u_1(x,t))-f(u_2(x,t))]_xu_{xt}(x,t){\rm d}x\nonumber\\ &&+2\int_{{\Bbb R}}u(x,t)u_t(x,t){\rm d}x\nonumber\\ &=&-2\nu_0\|u_t(\cdot,t)\|^2-2\int_{{\Bbb R}}[f'(u_1(x,t))u_{1x}(x,t)-f'(u_2(x,t))u_{2x}(x,t)]\nonumber\\ &&\times u_{xt}(x,t){\rm d}x+2\int_{{\Bbb R}}u(x,t)u_t(x,t){\rm d}x\nonumber\\ &=&-2\nu_0\|u_t(\cdot,t)\|^2-2\int_{{\Bbb R}}[f'(u_1(x,t))-f'(u_2(x,t))]u_{1x}(x,t)u_{xt}(x,t){\rm d}x\nonumber\\ &&-2\int_{{\Bbb R}}f'(u_2(x,t))u_x(x,t)u_{xt}(x,t){\rm d}x+2\int_{{\Bbb R}}u(x,t)u_t(x,t){\rm d}x\nonumber\\ &=&-2\nu_0\|u_t(\cdot,t)\|^2-2\int_{{\Bbb R}}\int^1_0f''(u_2(x,t)+\theta(u_1(x,t)-u_2(x,t)))u(x,t)d\theta\nonumber\\ &&\times u_{1x}(x,t)u_{xt}(x,t){\rm d}x-2\int_{{\Bbb R}}f'(u_2(x,t))u_x(x,t)u_{xt}(x,t){\rm d}x\nonumber\\ &&+2\int_{{\Bbb R}}u(x,t)u_t(x,t){\rm d}x\nonumber\\ &\leq& C_{10}(\|u(\cdot,t)\|^2+\|u_t(\cdot,t)\|^2+\|u_x(\cdot,t)\|^2+\|u_{xt}(\cdot,t)\|^2),\nonumber \end{eqnarray*}$$ 其中 $0<\theta<1$. 由 Gronwall 不等式给出 $$\|u(\cdot,t)\|_{H^1}+\|u_t(\cdot,t)\|_{H^1}\leq 0.$$ 因此解的惟一性得证.

注 3.2     在定理3.1的条件下,如果 $s>\frac{7}{2}$,则 初值问题(1.3),(1.4)的整体广义解,也是整体古典解.

定理 3.3     设 $u_0,u_1\in H^1$,$f\in C^2({\Bbb R})$, $F(u_0)\in L^1$ 且存在一常数 $\alpha>0$,使得 $$yf(y)\leq(3+4\alpha)F(y),\ \ \ \forall y\in {\Bbb R},$$ 则 Cauchy 问题(1.3),(1.4) 的广义解 $u(x,t)\in C^2([0,T]; H^s)(s\geq 2)$ 或古典解 $u(x,t)$ 在有限时刻爆破, 如果下列条件之一成立:

(1)~ $E_1(0)<0$ 和 $$\begin{eqnarray*} &&\int_{{\Bbb R}} \bigg[\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi\int^x_{-\infty}u_1(\xi) {\rm d}\xi\bigg]{\rm d}x+\int_{{\Bbb R}}u_0(x)u_1(x){\rm d}x \\ &>&\frac{\nu_0}{2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\bigg\{\int_{{\Bbb R}} \bigg[\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi\bigg]^2{\rm d}x+\|u_0\|^2\bigg\}>0; \end{eqnarray*}$$

(2)~ $E_1(0)=0$ 和 $$\begin{eqnarray*} &&\int_{{\Bbb R}}\bigg[\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi \int^x_{-\infty}u_1(\xi){\rm d}\xi\bigg]{\rm d}x+\int_{{\Bbb R}}u_0(x)u_1(x){\rm d}x \\ &>&\frac{\nu_0}{2\sqrt{\alpha}} \bigg\{\int_{{\Bbb R}}\bigg[\int^x_{-\infty}u_0(\xi) {\rm d}\xi\bigg]^2{\rm d}x+\|u_0\|^2\bigg\}>0; \end{eqnarray*}$$

(3)~ $E_1(0)>0$ 和 $$\begin{eqnarray*} &&\int_{{\Bbb R}}\bigg[\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi \int^x_{-\infty}u_1(\xi){\rm d}\xi\bigg] {\rm d}x+\int_{{\Bbb R}}u_0(x)u_1(x){\rm d}x\\ &>&\bigg\{\frac{4\alpha+3}{4\alpha+2}E_1(0) \bigg\{\int_{{\Bbb R}}\bigg[\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi\bigg]^2{\rm d}x+\|u_0\|^2\bigg\} \\ && +\frac{\nu^2_0}{4\alpha} \bigg\{\int_{{\Bbb R}}\bigg[\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi\bigg]^2{\rm d}x +\|u_0\|^2\bigg\}^2\bigg\}^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray*}$$ 其中 $E_1(0)=\int_{{\Bbb R}}[\int^x_{-\infty}u_1(\xi){\rm d}\xi]^2{\rm d}x+\|u_0\|^2+\|u_1\|^2+2\int_{{\Bbb R}}F(u_0(x)){\rm d}x$.

证     令 $$\phi_1(t)=\int_{{\Bbb R}}\left [\int^x_{-\infty}u(\xi,t){\rm d}\xi\right ]^2{\rm d}x+\|u(\cdot,t)\|^2+\gamma_0(t+t_0)^2,$$ 其中 $\gamma_0$ 和 $t_0$ 是定理 2.14 中的非负常数.

根据定理3.3的假定,$u(x,t)$ 在广义意义或古典意义下满足方程 (1.3), 并在古典意义下满足初值条件(1.4). 作变换 $$u(x,t)=v_x(x,t),\ \ u_0(x)=v_{0x}(x),\ \ u_1(x)=v_{1x}(x), (3.6)$$ 则 $$v(x,t)=\int^x_{-\infty}u(\xi,t){\rm d}\xi,\ \ v_0(x)=\int^x_{-\infty}u_0(\xi){\rm d}\xi,\ \ v_1(x)=\int^x_{-\infty}u_1(\xi){\rm d}\xi.$$ 将变换 (3.6) 代入初值问题 (1.3),(1.4),有 $$v_{xtt}-v_{xxx}-v_{xxxtt}+\nu_0v_{xt}=f(v_x)_{xx},(3.7)$$ $$v_x(x,0)=u_0(x),\ \ \ v_{xt}(x,0)=u_1(x). (3.8)$$ 在 $(-\infty,x)$ 上对方程(3.7) 和 (3.8)积分,得到 $$v_{tt}-v_{xx}-v_{xxtt}+\nu_0v_t=f(v_x)_x,(3.9)$$ $$v(x,0)=v_0(x),\ \ \ v_t(x,0)=v_1(x). (3.10)$$ 令 $$\phi(t)=\|v\|^2+\|v_x\|^2+\gamma_0(t+t_0)^2,$$ 其中 $\gamma_0$ 和 $t_0$ 是定理 2.14 中的非负常数. 按照定理3.3 的假定,初值问题 (3.9),(3.10)满足定理2.14 解爆破的充分条件. 因此,存在 $t_1$,使得 $\phi(t)$ 在 $t_1$ 变为无穷大. 因为按照变换 (3.6),$\phi_1(t)=\phi(t)$,所以 $\phi_1(t)$ 在 $t_1$ 变为无穷大.