设$S^{n-1}$是${\Bbb R}^{n}(n\geq 2)$中的单位球面,赋予通常的 Lebesgue 测度${\rm d}\sigma={\rm d}\sigma(x'),$这里 $x'=x/|x|$(对任意$x\neq0$). 设$\Omega_{0}\in L^{1}(S^{n-1})$ 是 ${\Bbb R}^{n}$ 中的零阶齐次函数 且满足 $$\int_{S^{n-1}}\Omega_{0}(x'){\rm d}\sigma(x')=0. $$

定义高维的 Marcinkiewicz 积分如下 $$\mu_{\Omega_{0}}(f)(x)=\biggl(\int_{0}^{\infty} |F_{\Omega_{0},t}(f)(x)|^{2}\frac{{\rm d}t}{t}\biggr)^{1/2},$$ 其中 $F_{\Omega_{0},t}(f)(x)=\frac{1}{t}\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega_{0}(x-y)}{|x-y|^{n-1}}f(y){\rm d}y.$

高维Marcinkiewicz积分$\mu_{\Omega_{0}}$是由Stein在文献^[1]中引进的. Stein在文献^[1]中证明: 如果 $\Omega_{0}$ 是连续的且在 $S^{n-1}$上满足 $Lip_\alpha(0<\alpha\leq 1)$ 条件,则$\mu_{\Omega_{0}}$ 是强$(p,p)(1<p\leq2)$和弱(1,1)的. Benedek 等在文献^[2]中证明: 如果 $\Omega_{0}\in C^{1}(S^{n-1}),$ 则$\mu_{\Omega_{0}}$是 $L^{p}({\Bbb R}^{n})$有界的,其中$1<p<\infty.$ 近来,文献^[3]等改进了以上结果并证明: 如果 $\Omega_{0}\in H^{1}(S^{n-1}),$ 则$\mu_{\Omega_{0}}$在$L^{p} (1<p<\infty)$上有界, 其中$H^{1}(S^{n-1})$是$S^{n-1}$ 上的Hardy空间(详见文献^[3]等).

另外,如果定义在${\Bbb R}^{n}\times{\Bbb R}^{n}$上的函数$\Omega(x,z)$满足如下条件:

(1)~ 对任意$x,z\,\in{\Bbb R}^{n}, \lambda>0,\,\Omega(x,\lambda z)=\Omega(x,z);$

(2)~ $\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})}:= \sup\limits_{x\in{\Bbb R}^{n},\;\rho\geq0}(\int_{S^{n-1}}|\Omega(x+\rho z',z')|^s{\rm d}\sigma(z'))^{1/s}<\infty.$ \\ 则称$\Omega(x,z)$属于空间$L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1}).$

本文,我们假设$\Omega(x,z)$满足下面的消失条件 $$\int_{S^{n-1}}\Omega(x,z'){\rm d}\sigma(z')=0, \forall x\in{\Bbb R}^{n}.{(1.1)}$$

带变量核的Marcinkiewicz 积分可定义为 $$\mu_{\Omega}(f)(x)=\biggl(\int_{0}^{\infty} |F_{\Omega,t}(f)(x)|^{2}\frac{{\rm d}t}{t}\biggr)^{1/2},$$ 其中 $F_{\Omega,t}(f)(x)=\frac{1}{t}\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}f(y){\rm d}y.$

另外,设 $m\in{\Bbb N},$ $A$ 是 ${\Bbb R}^{n}$ 上的$m$阶可导函数.令 $$R_{m+1}(A;x,y)=A(x)-\sum\limits_{|\gamma|\leq m}\frac{1}{\gamma!} D^{\gamma}A(y)(x-y)^{\gamma},$$ $$Q_{m+1}(A;x,y)=R_{m}(A;x,y)-\sum\limits_{|\gamma|=m}\frac{1}{\gamma!} D^{\gamma}A(x)(x-y)^{\gamma}.$$ 则带变量核的广义高阶Marcinkiewicz积分交换子及其变形 分别定义如下 $$\mu_{\Omega}^{A}(f)(x)=\biggl(\int_{0}^{\infty} |F_{\Omega,t}^{A}(f)(x)|^{2}\frac{{\rm d}t}{t}\biggr)^{1/2},$$ $$\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}(f)(x)=\biggl(\int_{0}^{\infty}| \tilde{F}_{\Omega,t}^{A}(f)(x)|^{2}\frac{{\rm d}t}{t}\biggr)^{1/2}, $$ 其中 $$F_{\Omega,t}^{A}(f)(x)=\frac{1}{t}\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}} R_{m+1}(A;x,y)f(y){\rm d}y,$$ $$\tilde{F}_{\Omega,t}^{A}(f)(x)=\frac{1}{t}\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}} Q_{m+1}(A;x,y)f(y){\rm d}y.$$

对$\beta>0,$ 齐次Lipschitz空间$\dot{\Lambda}_{\beta}({\Bbb R}^{n})$定义为 $$\dot{\Lambda}_{\beta}({\Bbb R}^{n})= \bigg\{f: \|f\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}= \sup\limits_{x,h\in {\Bbb R}^{n},h\neq 0} \frac{|\Delta_{h}^{[\beta]+1}f(x)|}{|h|^{\beta}}<\infty\bigg\},$$ 其中 $\Delta_{h}^{k}$表示$k$阶差分算子(详见文献^[4]).

易见,当 $\Omega_{0}(x-y)$ 代替$\Omega(x,x-y)$时, $\mu_{\Omega}^{A}(f)(x)$ 和 $\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}(f)(x)$变 成了广义高阶Marcinkiewicz积分交换子 $\mu_{\Omega_{0}}^{A}(f)(x)$ 及其变形 $\tilde{\mu}_{\Omega_{0}}^{A}(f)(x)$,(见文献^{[5, 6, 7]}). 当 $\Omega_{0}\in Lip_{\alpha}(S^{n-1})$ 且 $D^{\gamma}A\in \dot{\Lambda}_{\beta}(0<\beta<\min\{1/2,\alpha\}),$ 文献^[7] 研究了$\mu_{\Omega_{0}}^{A}$ 在$L^{p}$空间的有界性. 在文献^[5]和^[6]中,本文作者减弱$\Omega_{0}$的光滑性条件,研究了 $\mu_{\Omega_{0}}^{A}$ 和$\tilde{\mu}_{\Omega_{0}}^{A}$的有界性.

设 $D^{\gamma}A\in\dot{\Lambda}_{\beta}(|\gamma|=m).$ 当$\Omega(x,z)$ 满足 $L^{s,\varepsilon}$-Dini 条件时, 文献^[8]研究了 $\mu_{\Omega}^{A}$ 及$\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}$ 在 $L^{p}({\Bbb R}^{n})$ 及 Hardy空间的有界性.

受文献^{[5, 6, 7, 8]} 的启发,本文将研究当$\Omega(x,z)$ 满足某 $L^{s,\varepsilon}$-Dini 条件时,$\mu_{\Omega}^{A}$ 及 $\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}$ 在 Hertz型 Hardy 空间的有界性.

定义2.1     设 $\Omega(x,z)\in L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})(s\geq1).$ 定义$\Omega$的$s$阶连续积分模 $\omega_{s}(\delta)$为 $$\omega_{s}(\delta)=\sup\limits_{r>0,x\in{\Bbb R}^n,\,|\rho|\leq \delta} \biggl(\int_{S^{n-1}}|\Omega(rz'+x,\rho z')-\Omega(rz'+x,z')|^{s}{\rm d}\delta(z')\biggr)^{1/s},$$ 其中 $\rho$ 是 $S^{n-1}$上的一个旋转,$|\rho|=\|\rho-I\|,$ $I$ 表示恒等变换.

对 $0\leq\varepsilon\leq1$,如果 $\omega_{s}(\delta)$ 满足 $$\int_{0}^{1}\frac{\omega_{s}(\delta)}{\delta^{1+\varepsilon}}{\rm d}\delta<\infty,$$ 我们就称 $\Omega(x,z)$ 满足 $L^{s,\varepsilon}$-Dini条件.

注     $L^{s,0}$-Dini 条件比条件(2.1)弱, 而 条件(2.1)比$L^{s,\varepsilon}$-Dini 条件弱 (详见文献^[9]).

在本文中,设 $k\in{\Bbb Z}$, $B_{k}=\{x\in{\Bbb R}^{n}:\,\,|x|\leq2^{k}\}$,$C_{k}=B_{k}\backslash B_{k-1},$ 且令$\chi_{k}$表示集合 $C_{k}$的特征函数. 则 Herz 空间及 Herz 型Hardy 空间可分别定义如下 (见文献 ^{[10, 11]}).

定义 2.2     设$\alpha\in{\Bbb R},$ $0<p,q\leq\infty$. 齐次 Herz 空间 $\dot{K}^{\alpha,p}_{q}$ 定义为 $$\dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n}) =\Bigl\{f:\,\,f\in L_{loc}^{q}({\Bbb R}^{n}\backslash\{0\}),\|f\| _{\dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n})}<\infty\Bigr\},$$ 其中 $$\|f\| _{\dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n})}=\biggl(\sum\limits_{-\infty}^{\infty}2^{k\alpha p} \|f\chi_{k}\|_{L^{q}({\Bbb R}^{n})}^{p}\biggr)^{1/p}.$$

定义 2.3    ^[12] 设 $\alpha\in{\Bbb R},$ $0<p,q<\infty$. 对$f\in {\cal S}'({\Bbb R}^{n})$,令 $G(f)$ 表示 $f$的Grand极大函数. 则齐次 Herz型 Hardy空间$H\dot{K}^{\alpha,p}_{q}$ 定义为 $$H\dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n}) =\Bigl\{f\in{\cal S}'({\Bbb R}^{n}):\,\, G(f)\in \dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n})\Bigr\}.$$ $$\|f\|_{H\dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n})}= \|G(f)\|_{\dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n})}.$$

定义 2.4    ^[13] 设 $1<q<\infty, n(1-1/q)\leq\alpha<\infty,s\in{\Bbb N}$ 且 $s\geq[\alpha+n(1/q-1)].$ 如果函数 $a(x)$ 满足如下条件:

(1)~ $\mbox{supp}\,a\subset B(0,r)=\{x\in{\Bbb R}^{n}: |x|<r\},$ $r>0;$

(2)~ $\|a\|_{L^{q}}\leq|B(0,r)|^{-\alpha/n};$

(3)~ 对任意 $\gamma=(\gamma_{1},\cdots,\gamma_{n})\in {\Bbb N}^{n},$ 且 $0\leq|\gamma|=\sum\limits_{i=1}^{n}\gamma_{i}\leq s,$ 有 $\int_{{\Bbb R}^{n}}a(x)x^{\gamma}{\rm d}x=0,$\\ 则称函数$a(x)$是一个中心$(\alpha,q)_{s}$ 原子.

引理 2.1    ^[13] 设 $0<p\leq\infty,1<q<\infty,$ $n(1-1/q)\leq\alpha<\infty,s\in{\Bbb N}$ 且 $s\geq[\alpha+n(1/q-1)].$ 则缓增分布$f\in H\dot{K}^{\alpha,p}_{q}({\Bbb R}^{n})$ 当且仅当 $f$ 在分布意义下能表示为

$$f(x)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\lambda_{k}a_{k}(x),$$ 其中每个 $a_{k}$ 都是一个支在$B_{k}$上的中心 $(\alpha,q)_{s}$ 原子,且 $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}|\lambda_{k}|^{p}<\infty.$

其中 $$\|f\|_{H\dot{K}^{\alpha,p}_{q}}\thicksim\inf\biggl\{\biggl(\sum\limits_ {k=-\infty}^{\infty}|\lambda_{k}|^{p}\biggr)^{1/p}\biggr\},$$ 这里 下确界是对 $f$的所有分解所取的,且令 $H\dot{K}^{\alpha,p}_{q}=H\dot{K}^{\alpha,p,s}_{q}$

定理 1     设 $0<\varepsilon\leq1, 0<\beta<1,$ $0<p<\infty,1<q_{1},q_{2}<\infty$ 使得 $1/q_{2}=1/q_{1}-\beta/n.$ 令$\xi=\min\{1/2,\beta,\varepsilon\}$ 且$\alpha\in{\Bbb R}$ 满足条件 $n(1-1/q_{1})\leq\alpha<n(1-1/q_{1})+\xi.$ 如果 $D^{\gamma}A\in\dot{\Lambda}_{\beta}(|\gamma|=m)$ 且存在某 $s\geq\max\{q_{2},n/(n-\beta)\}$ 使得 $\Omega(x,z)$ 满足 $L^{s,\varepsilon}$-Dini 条件, 则$\mu_{\Omega}^{A}$ 和$\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}$ 都是从 $H\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{1}}({\Bbb R}^{n})$ 到 $\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{2}}({\Bbb R}^{n})$有界的.

如果$0<p\leq 1$ 且 $\alpha=n(1-1/q_{1}),$ 则$L^{s,\varepsilon}$-Dini 条件可减弱为条件(2.1),且有如下结论.

定理 2     设 $0<\beta<1,$ $0<p\leq 1,1<q_{1},q_{2}<\infty,$ 使得 $1/q_{2}=1/q_{1}-\beta/n,$ 且 $D^{\gamma}A\in\dot{\Lambda}_{\beta}(|\gamma|=m).$ 如果存在某 $\eta>0,$ $s\geq\max\{q_{2},n/(n-\beta)\}$ 使得 $\eta p>1$,$\Omega(x,z)\in L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})(s\geq1)$ 满足下面的条件 $$_{0}^{1}\dfrac{\omega_{s}(\delta)}{\delta} \biggl(\log\frac{1}{\delta}\biggr)^{\eta}{\rm d}\delta<\infty,{(2.1)}$$ 则$\mu_{\Omega}^{A}$ 和 $\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}$都是从 $H\dot{K}^{n(1-1/q_{1}),p}_{q_{1}}({\Bbb R}^{n})$ 到 $\dot{K}^{n(1-1/q_{1}),p}_{q_{2}}({\Bbb R}^{n})$ 有界的.

如果 $p=1$ 且$\alpha=n(1-1/q_{1}),$ 则条件(2.1)可减弱为$L^{s,0}$-Dini 条件.

定理 3     设 $0<\beta<1,$ $1<q_{1},q_{2}<\infty,$ $1/q_{2}=1/q_{1}-\beta/n.$ 若果 $D^{\gamma}A\in\dot{\Lambda}_{\beta}(|\gamma|=m)$ 且存在某 $s\geq\max\{q_{2},n/(n-\beta)\}$ 使得 $\Omega(x,z)$ 满足 $L^{s,0}$-Dini 条件, 则 $\mu_{\Omega}^{A}$ 和$\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}$ 都是从 $H\dot{K}^{n(1-1/q_{1}),1}_{q_{1}}({\Bbb R}^{n})$ 到 $\dot{K}^{n(1-1/q_{1}),1}_{q_{2}}({\Bbb R}^{n})$ 有界的.

引理 3.1    ^[8] 设 $0<\beta<1,$ $s\geq n/(n-\beta),$ $1<p<n/\beta,1<q<\infty$ 使得 $1/q=1/p-\beta/n,$ 且 $D^{\gamma}A\in\dot{\Lambda}_{\beta}(|\gamma|=m).$ 如果 $\Omega(x,z)\in L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})(s\geq1)$,则 $\mu_{\Omega}^{A}$ 和 $\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}$ 都是从 $L^{p}({\Bbb R}^{n})$ 到 $L^{q}({\Bbb R}^{n})$有界的.

引理 3.2    ^[14] 假设 $0<\lambda< n,$ $\Omega(x,z)\in L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})(s\geq1).$ 如果存在常数 $0<a_{0}<\frac{1}{2}$ 使得 $|y|<a_{0}R,$ 则对任意 $x_0\in{\Bbb R}^{n},$ \begin{eqnarray*} \biggl(_{R<|x|\leq 2R}\biggl|\dfrac{\Omega(x_0+x,x-y)}{|x-y|^{n-\lambda}}-\dfrac{\Omega(x_0+x,x)}{|x|^{n-\lambda}} \biggr|^{s}{\rm d}x\biggr)^{1/s}\\ ≤& CR^{n/s-(n-\lambda)}\biggl\{\dfrac{|y|}{R}+_{2|y|/R}^{4|y|/R} \dfrac{\omega_{s}(\delta)}{\delta}{\rm d}\delta\biggr\}, \end{eqnarray*} 其中 $C>0$ 不依赖于 $R$ 和 $y$.

引理 3.3    ^[15] 设 $A$ 具有$m$导数,且 $D^{\gamma}A\in\dot{\Lambda}_{\beta}(0<\beta<1),$ 其中$|\gamma|=m.$ 则存在常数 $C>0$使得

(1)~ $|R_{m+1}(A;x,y)|\leq C(\sum\limits_{|\alpha|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}) |x-y|^{m+\beta};$

(2)~ $|Q_{m+1}(A;x,y)|\leq C(\sum\limits_{|\alpha|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}) |x-y|^{m+\beta};$

(3)~ $|R_{m+1}(A;x,y)-R_{m+1}(A;x,z)|\leq C(\sum\limits_{|\alpha|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}) \sum\limits_{i=0}^{m}|x-z|^{i}|z-y|^{m-i+\beta};$

(4)~ $ |Q_{m+1}(A;x,y)-Q_{m+1}(A;x,z)| \leq C(\sum\limits_{|\alpha|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}) \sum\limits_{i=0}^{m-1}|x-z|^{i}|z-y|^{m-i}(|x-y|^{\beta}+|y-z|^{\beta}). $

我们首先证明定理1中关于 $\mu_{\Omega}^{A}(f)$的有界性.

注意到$0\leq[\alpha+n(1/q_{1}-1)]\leq[n(1-1/q_{1})+\beta-n(1-1/q_{1})]=[\beta]=0.$ 则利用引理 2.1,任意 $f\in H\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{1}}({\Bbb R}^{n})=H\dot{K}^{\alpha,p,0}_{q_{1}}({\Bbb R}^{n}),$ 可被分解为$f=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\lambda_{j}a_{j}$,其中 $a_{j}$ 是支在 $B_{j}$上的中心$(\alpha,q_{1})_{0}$ 原子,且 $\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}<\infty.$ 故 \begin{eqnarray*} \|\mu_{\Omega}^{A}(f)\|_{K_{q_{2}}^{\alpha,p}}^{p} ≤ C\biggl[\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}2^{k\alpha p} \bigg(\sum\limits_{j=k-1}^{\infty} |\lambda_{j}|\|\mu_{\Omega}^{A}(a_{j})\chi_{k}\|_{L^{q_{2}}}\bigg)^{p}\\ +\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}2^{k\alpha p} \bigg(\sum\limits^{k-2}_{j=-\infty} |\lambda_{j}|\|\mu_{\Omega}^{A}(a_{j})\chi_{k}\|_{L^{q_{2}}}\bigg)^{p}\biggr]\\ :=C(I+II). \end{eqnarray*}

利用算子$\mu_{\Omega}^{A}$ (见引理3.1)的$(L^{q_{1}},L^{q_{2}})$有界性 和 $a_{j}$的尺寸条件,我们得到 \begin{eqnarray*} I≤ C\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}2^{k\alpha p}\bigg(\sum\limits_{j=k-1}^{\infty} |\lambda_{j}|\|a_{j}\|_{L^{q_{1}}}\bigg)^{p}\\ ≤ C\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\bigg(\sum\limits_{j=k-1}^{\infty} |\lambda_{j}|2^{(k-j)\alpha}\bigg)^{p}\\ ≤ C\left\{\begin{array}{ll} \sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}\sum\limits_{k=-\infty}^{j+1}2^{(k-j)\alpha p},0<p\leq1\\ [4mm] \sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}\sum\limits_{k=-\infty}^{j+1}2^{(k-j)\alpha p/2,} 1<p<\infty \end{array}\right. \\ ≤ C\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}. \end{eqnarray*}

对于 $II,$ 我们首先估计 $\|\mu_{\Omega}^{A}(a_{j})\chi_{k}\|_{L^{q_{2}}}.$ \begin{eqnarray*} \|\mu_{\Omega}^{A}(a_{j})\chi_{k}\|_{L^{q_{2}}}\\ \leq\biggl[$\int {} $_{C_{k}}\biggl($\int {} $_{0}^{|x|+2^{j+1}}\biggl|$\int {} $_{|x-y|\leq t} \dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)a_{j}(y){\rm d}y\biggr|^{2}\dfrac{{\rm d}t}{t^{3}}\biggr)^{q_{2}/2} {\rm d}x\biggr]^{1/q_{2}}\\ +\biggl[$\int {} $_{C_{k}}\biggl($\int {} $^{\infty}_{|x|+2^{j+1}}\biggl|$\int {} $_{|x-y|\leq t} \dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)a_{j}(y){\rm d}y\biggr|^{2}\dfrac{{\rm d}t}{t^{3}} \biggr)^{q_{2}/2}{\rm d}x\biggr]^{1/q_{2}}\\ :=E_{1}+E_{2}. \end{eqnarray*}

注意到,当 $k\geq j+2$时,对 $x\in C_{k},$ $y\in B_{j},$ 我们有 $|x-y|\sim|x|\sim|x|+2^{j+1}.$ 因此,由 Minkowski 不等式和引理 3.3 (1),

另外,当$j\leq k-2$时,对任意 $x\in C_{k}$ 和 $y\in B_{j},$ 我们有$|x-y|\leq 2^{k+1}.$ 因此,由Hölder 不等式

又利用 $a_{j}$的尺寸条件,易见

因此,将不等式(3.1)和(3.2)代入$E_{1},$ 我们得到 $$E_1 \leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) 2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+1/2]}2^{-j\alpha}\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}. $$

下面我们估计$E_{2}$.

当$j\leq k-2$时,易见对任意$y\in B_{j},$ $t\geq|x|+2^{j+1}\geq|x|+|y|\geq|x-y|.$ 因此利用 $a_{j}$的消失条件,可知 \begin{eqnarray*} \biggl[_{|x|+2^{j+1}}^{\infty}\biggl|_{|x-y|\leq t} \dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)a_{j}(y){\rm d}y\biggr|^{2}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\biggr]^{1/2}\\ =\biggl[_{|x|+2^{j+1}}^{\infty}\biggl|_{B_{j}} \dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)a_{j}(y){\rm d}y\biggr|^{2}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\biggr]^{1/2}\\ =\biggl|_{B_{j}}\dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)a_{j}(y){\rm d}y\biggr| \biggl(_{|x|+2^{j+1}}^{\infty}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\biggr)^{1/2}\\ =\biggl|_{B_{j}}\biggl[\dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)-\dfrac{\Omega(x,x)} {|x|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,0)\biggr]a_{j}(y){\rm d}y\biggr|\dfrac{1}{|x|+2^{j+1}}\\ ≤_{B_{j}}\biggl|\dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}-\dfrac{\Omega(x,x)}{|x|^{n-1}}\biggr| \dfrac{|R_{m+1}(A;x,0)||a_{j}(y)|}{|x|^{m}(|x|+2^{j+1})}{\rm d}y\\ +_{B_{j}}\dfrac{|\Omega(x,x-y)|}{|x-y|^{n-1}}\biggl|\dfrac{1}{|x-y|^{m}}-\dfrac{1}{|x|^{m}}\biggr| \dfrac{|R_{m+1}(A;x,y)||a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y\\ +_{B_{j}}\dfrac{|\Omega(x,x-y)|}{|x-y|^{n-1}|x|^{m}}|R_{m+1}(A;x,y)-R_{m+1}(A;x,0)|\dfrac{|a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y. \end{eqnarray*}

因此, \begin{eqnarray*} E_{2}≤\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}}\biggl|\dfrac{\Omega(x,x-y)} {|x-y|^{n-1}}-\dfrac{\Omega(x,x)}{|x|^{n-1}}\biggr| \dfrac{|R_{m+1}(A;x,0)||a_{j}(y)|}{|x|^{m}(|x|+2^{j+1})}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ +\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}}\dfrac{|\Omega(x,x-y)|}{|x-y|^{n-1}}\biggl|\dfrac{1}{|x-y|^{m}}-\dfrac{1}{|x|^{m}}\biggr| \dfrac{|R_{m+1}(A;x,y)||a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ +\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}}\dfrac{|\Omega(x,x-y)|}{|x-y|^{n-1}|x|^m}|R_{m+1}(A;x,y)-R_{m+1}(A;x,0)| \dfrac{|a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ :=E_{21}+E_{22}+E_{23}. \end{eqnarray*}

由引理3.3的第一个不等式及 Minkowski 不等式,易见 \begin{eqnarray*} E_{21}≤ C\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}}\biggl|\dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}-\dfrac{\Omega(x,x)}{|x|^{n-1}}\biggr| \biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) \dfrac{|x|^{m+\beta}|a_{j}(y)|}{|x|^{m}(|x|+2^{j+1})}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{-k(1-\beta)} _{B_{j}}\biggl[_{C_{k}}\biggl|\dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}-\dfrac{\Omega(x,x)}{|x|^{n-1}}\biggr|^{q_{2}} {\rm d}x\biggl]^{1/q_{2}}|a_{j}(y)|{\rm d}y. \end{eqnarray*}

另外,当 $y\in B_{j}$时,由Hölder 不等式和 $L^{s,\varepsilon}$-Dini 条件,

注意到 $j\leq k-2$ 和 $0lt;\varepsilon\leq1,$ 我们有 \begin{eqnarray*} E_{21}≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) 2^{-k(1-\beta)}2^{k(n/q_{2}-n+1)}[2^{j-k}+2^{(j-k)\varepsilon}] \|a_{j}\|_{L^{1}}\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{(j-k) [n(1-1/q_{1})+\varepsilon]}2^{-j\alpha}. \end{eqnarray*}

另外,当 $j\leq k-2$ 时,对任意$x\in C_{k},y\in B_{j}$,易见$|x-y|\sim|x|$. 因此,由引理 3.3的第一个不等式,Minkowski 不等式及不等式 (3.1) 和 (3.2), \begin{eqnarray*} E_{22}≤ C\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}}\dfrac{|\Omega(x,x-y)|}{|x-y|^{n-1}}\dfrac{|y|}{|x-y|^{m+1}} \biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) \dfrac{|x-y|^{m+\beta}|a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) 2^{j}2^{-k(n+1-\beta)}_{B_{j}}\biggl(_{C_{k}}|\Omega(x,x-y)^{q_{2}} {\rm d}x\biggl)^{1/q_{2}}|a_{j}(y)|{\rm d}y\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) 2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+1]}2^{-j\alpha}\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}.\\ \end{eqnarray*}

对 $E_{23}$,利用引理3.3的第三个不等式,Minkowski 不等式及估计式 (3.1) 和 (3.2), \begin{eqnarray*} E_{23}\\ ≤ C\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}} \dfrac{|\Omega(x,x-y)|}{|x-y|^{n-1}|x|^m} \biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) \bigg(\sum\limits_{i=0}^{m}|x|^{i}|y|^{m-i+\beta}\bigg) \dfrac{|a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) \bigg(\sum\limits_{i=0}^{m}2^{k(i-n-m)}2^{j(m-i+\beta)}\bigg) _{B_{j}}\biggl[_{C_{k}}|\Omega(x,x-y)|^{q_{2}}{\rm d}x\biggr]^{1/q_{2}} |a_{j}(y)|{\rm d}y\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}} \biggr)2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+\beta]} \bigg(\sum\limits_{i=0}^{m}2^{(j-k)(m-i)}\bigg)2^{-j\alpha} \|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}. \end{eqnarray*}

由于,当 $j\leq k-2$ 时,$\sum\limits_{i=0}^{m}2^{(j-k)(m-i)}\leq C.$ 故 $$E_{23}\leq C2^{(j-k)[n(1-1/q)+\beta]}2^{-j\alpha}\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m} \|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}. $$

综合对 $E_{1},E_{21},E_{22}$ 及 $E_{23}$的估计, \begin{eqnarray*} \|\mu_{\Omega}^{A}(a_{j})\chi_{k}\|_{L^{q_{2}}}\leq E_{1}+E_{21}+E_{22}+E_{23}\\ ≤ C\biggl\{2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+1/2]}+2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+\varepsilon]}+ 2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+1]}\\ +2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+\beta]}\biggr\}2^{-j\alpha}\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m} \|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}\\ ≤ C2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+\xi]}2^{-j\alpha}\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m} \|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}. \end{eqnarray*}

类似对$I$的估计. 运用$n(1-1/q_{1})\leq\alpha<;n(1-1/q_{1})+\xi,$ 我们得到 \begin{eqnarray*} II≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)^{p} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\biggl\{\sum\limits_{j=-\infty}^{k-2} |\lambda_{j}|2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+\xi-\alpha]}\biggr\}^{p}\|\Omega\|^{p}_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)^{p}\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty} |\lambda_{j}|^{p}\|\Omega\|^{p}_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}. \end{eqnarray*}

综合$I$和$II,$ 知 $$\|\mu_{\Omega}^{A}(f)\|_{\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{2}}}\leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) \|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}\biggl(\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}\biggr)^{1/p}.$$

对$f$的所有分解求下确界,可得 $$\|\mu_{\Omega}^{A}(f)\|_{\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{2}}}\leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})} \|f\|_{H\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{1}}}.$$

因此,我们证明了定理1中对$\mu_{\Omega}^{A}(f)$有界性的证明.

接下来我们证明定理2中,关于 $\mu_{\Omega}^{A}(f)$的有界性.

令 $\alpha=n(1-1/q_{1}).$由引理 2.1,对任意 $f\in H\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{1}},$ 我们有 $f=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\lambda_{j}a_{j},$ 其中 $a_{j}$ 是支在$B_{j}$上的中心 $(\alpha,q_{1})_{0}$原子.

由$0<p\leq1,$易见 $$\|\mu_{\Omega}^{A}(f)\|^{p}_{\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{2}}}\leq C(I+II), \quad I\leq C\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}, $$ 这里 $I$ 和 $II$ 与定理1中的一样.

类似于定理1中的证明,我们可令 $$II=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}2^{k\alpha p}\biggl(\sum\limits^{k-2}_{j=-\infty} |\lambda_{j}|(G_{1}+G_{2})\biggr)^{p}\leq C\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}\sum\limits_{k=j+2}^{\infty} 2^{k\alpha p}(G_{1}^{p}+G_{2}^{p}),$$ 这里我们用到了$0<p\leq1.$ 其中 $$G_{1}=\biggl[_{C_{k}}\biggl(_{0}^{|x|+2^{j+1}}\biggl|_{|x-y|\leq t} \dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)a_{j}(y){\rm d}y\biggr|^{2}\dfrac{{\rm d}t}{t^{3}}\biggr)^{q_{2}/2} {\rm d}x\biggr]^{1/q_{2}},$$ $$G_{2}=\biggl[_{C_{k}}\biggl(^{\infty}_{|x|+2^{j+1}}\biggl|_{|x-y|\leq t} \dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n+m-1}}R_{m+1}(A;x,y)a_{j}(y){\rm d}y\biggr|^{2}\dfrac{{\rm d}t}{t^{3}} \biggr)^{q_{2}/2}{\rm d}x\biggr]^{1/q_{2}}.$$

类似于定理1中对 $E_{1}$ 的估计, $$G_{1}\leq C2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+1/2]}2^{-j\alpha}\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m} \|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}.$$

故,当 $j\leq k-2,$ $$G_{22}\leq C2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+1]}2^{-j\alpha}\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m} \|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)\|\Omega\|^{p}_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})},$$ $$G_{23}\leq C2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+\beta]}2^{-j\alpha}\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m} \|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}.$$

由 $\alpha=n(1-1/q_{1})$ 及$0<\beta<1,$ 易见 $$\sum\limits_{k=j+2}^{\infty}2^{k\alpha p}(G_{22}^{p}+G_{23}^{p}) \leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)^{p}\|\Omega\|^{p}_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{q_{2}}(S^{n-1})}. $$

另外,利用引理 3.2 和条件 (2.1),类似于对 $E_{21}$的估计, \begin{eqnarray*} G_{21}\leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{-k(1-\beta)}$\int {} $_{B_{j}}\biggl[$\int {} $_{C_{k}} \biggl|\dfrac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}-\dfrac{\Omega(x,x)}{|x|^{n-1}}\biggr|^{q_{2}}{\rm d}x\biggr]^{1/q_{2}}|a_{j}(y)|{\rm d}y\\ \leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{-k(1-\beta)}2^{k(n/q_{2}-n+1)} $\int {} $_{B_{j}}\biggl\{\dfrac{|y|}{2^{k-1}}+$\int {} $^{\frac{|y|}{2^{k-3}}} _{\frac{|y|}{2^{k-1}}}\dfrac{\omega_{s}(\delta)}{\delta}{\rm d}\delta\biggr\}|a_{j}(y)|{\rm d}y\\ \leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{kn(1/q_{1}-1)} \\ \times $\int {} $_{B_{j}}\biggl\{2^{j-k+1}+(k-j-1)^{-\eta}$\int {} $^{\frac{|y|}{2^{k-3}}} _{\frac{|y|}{2^{k-1}}}\dfrac{\omega_{s}(\delta)}{\delta}(\log1/\delta)^{\eta}{\rm d}\delta\biggr\}|a_{j}(y)|{\rm d}y\\ \leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{kn(1/q_{1}-1)} \{2^{j-k+1}+(k-j-1)^{-\eta}\}\|a_{j}\|_{L^{1}}. \end{eqnarray*}

当$\alpha=n(1-1/q_{1})$时,易见$ \|a_{j}\|_{L^{1}}\leq 1.$ 故利用$\eta p>1,$ 可知 \begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=j+2}^{\infty}2^{k\alpha p}G_{21}^{p} ≤ C\sum\limits_{k=j+2}^{\infty}2^{k\alpha p}2^{kn(1/q_{1}-1)p}[2^{j-k+1}+(k-j-1)^{-\eta}]^{p}\|\vec{b}\|^{p}_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\\ ≤ C\sum\limits_{k=j+2}^{\infty}[2^{(j-k+1)p}+(k-j-1)^{-\eta p}] \biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)^p\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)^p. \end{eqnarray*}

因此,当 $0lt;p\leq1$时, \begin{eqnarray*} II≤ C\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}\sum\limits_{k=j+2}^{\infty} 2^{k\alpha p}(G_{1}^{p}+G_{21}^{p}+G_{22}^{p}+G_{23}^{p})\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)^{p} \|\Omega\|^{p}_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})} \sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}. \end{eqnarray*}

综合对$I$ 和 $II$的估计, $$\|\mu_{\Omega}^{A}(f)\|_{\dot{K}^{\alpha,p}_{q_{2}}}\leq C \biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) \|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})}\biggl(\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|\lambda_{j}|^{p}\biggr)^{1/p}.$$

这样,我们就完成了定理 2中 $\mu_{\Omega}^{A}(f)$的有界性证明.

为了证明定理3中 $\mu_{\Omega}^{A}(f)$ 的有界性,我们仅需证明 $\sum\limits_{k=j+2}^{\infty}2^{k\alpha}G_{21}<\infty.$

事实上,从定理2对$G_{21}$ 估计中,易见 \begin{eqnarray*} G_{21}≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) 2^{-k(1-\beta)}2^{k(n/q_{2}-n+1)}_{B_{j}}\biggl\{\dfrac{|y|}{2^{k-1}}+^{\frac{|y|}{2^{k-3}}} _{\frac{|y|}{2^{k-1}}}\dfrac{\omega_{s}(\delta)}{\delta}{\rm d}\delta\biggr\}|a_{j}(y)|{\rm d}y\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{-kn(1-1/q_{1})} _{B_{j}}\biggl\{2^{j-k+1}+^{\frac{|y|}{2^{k-1}}} _{\frac{|y|}{2^{k}}}\dfrac{\omega_{s}(\delta)}{\delta}{\rm d}\delta\biggr\}|a_{j}(y)|{\rm d}y. \end{eqnarray*}

故 $$\sum\limits_{k=j+2}^{\infty}2^{k\alpha}G_{21} \leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr).$$

从而,对定理1-3,我们完成了$\mu_{\Omega}^{A}(f)$的有界性证明.

对定理1-3,下面我们证明$\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}(f)$的有界性.

在以上的证明过程中,我们将 $\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}(f)$代替$\mu_{\Omega}^{A}(f)$,并用引理3.3的第二个和第四个不等式,可见所有的结论对算子$\tilde{\mu}_{\Omega}^{A}(f)$都成立.

事实上,我们仅需验证 $G_{23}$ 或 $E_{23}$是成立的,其中 $R_{m+1}$ 被 $Q_{m+1}$ 代替. 下面我们以$G_{23}$为例来说明.

对$j\leq k-2,$ 由引理3.3的第四个不等式,易见 \begin{eqnarray*} G_{23}=\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}}\dfrac{|\Omega(x,x-y)|}{|x-y|^{n-1}|x|^m}|Q_{m+1}(A;x,y)-Q_{m+1}(A;x,0)| \dfrac{|a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ ≤ C\biggl\{_{C_{k}}\biggl[_{B_{j}}\dfrac{|\Omega(x,x-y)|} {|x-y|^{n-1}|x|^m} \biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr) \\ \times \biggl(\sum\limits_{i=0}^{m-1}|x|^{i}|y|^{m-i} (|x-y|^{\beta}+|y|^{\beta})\biggr) \dfrac{|a_{j}(y)|}{|x|+2^{j+1}}{\rm d}y\biggr]^{q_{2}}{\rm d}x\biggr\}^{1/q_{2}}\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{-k(n+m)}\sum\limits_{i=0}^{m-1} 2^{ki}2^{j(m-i)}(2^{k\beta}+2^{j\beta})\\ \times _{B_{j}}\biggl[_{C_{k}} |\Omega(x,x-y)|^{q_{2}}{\rm d}x\biggr]^{1/q_{2}}|a_{j}(y)|{\rm d}y\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{-k(n+m)} \sum\limits_{i=0}^{m-1}2^{ki}2^{j(m-i)}2^{k\beta}2^{kn/q_{2}}2^{j[n(1-1/q_{1})-\alpha]} \\ \times \|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})}\\ ≤ C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{(j-k)n(1-1/q_{1})}2^{-j\alpha} \bigg(\sum\limits_{i=0}^{m-1}2^{(j-k)(m-i)}\bigg)\|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})}. \end{eqnarray*}

注意到 $j\leq k-2,$ 我们有 $\sum\limits_{i=0}^{m-1}2^{(j-k)(m-i)}\leq C2^{j-k} .$ 故 $$G_{23}\leq C\biggl(\sum\limits_{|\gamma|=m}\|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}}\biggr)2^{(j-k)[n(1-1/q_{1})+1]}2^{-j\alpha} \|\Omega\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^{n})\times L^{s}(S^{n-1})}.$$

综上述,我们完成了定理 1-3的证明.