设$M$ 是$n$维带有光滑边界的紧黎曼流形,边界为$\partial M$. 假设 $u$ 是下面方程的解

$$\begin{equation} Lu:=\triangle u+\nabla\phi\cdot\nabla u=-\lambda\rho(x)f(u),\ \ x\in M,\label{eq_L-operator} \end{equation}$$

(1.1)

其中$\triangle$和$\nabla$分别表示拉普拉斯算子和梯度算子, $\lambda$是参数,$\rho(x)$和 $\phi(x)$是$M$上正的$C^{2}$函数,而且$f(u)$是正的$C^{1}$函数, 这里$u\geq0$. 当$M$是$R^{2}$中的域且$L=\triangle$时, Schaeffer 和 Sperb^[1]利用Hopf极大值原理^[2]建立了 方程(1.1)带一些边界条件的解的梯度估计. 本文把文献^[1]中的结果推广到紧黎曼流形. 关于这类非线性边界值问题的一些结果可以参考文献^{[3, 4]} 和Sperb的专著^[5]. 然而大部分文献只讨论欧式空间中的情况, 很少有文献讨论黎曼流形上的情况.

我们考虑方程(1.1)的解满足下列边界值条件, 即在$\partial M$上

$$\begin{equation}u=0,\label{eq_DB} \end{equation}$$

(1.2)

$$\begin{equation}\frac{\partial u}{\partial \nu}=0,\label{eq_NB} \end{equation}$$

(1.3)

其中$\frac{\partial u}{\partial \nu}$表示$u$的外法向导数. 下面我们引进一个新的曲率张量,称为Bakry-Emery里奇张量. 我们引用文献^[6]中的定义 $$\widetilde{Ric}_{m} := Ric - \nabla^2\phi - \frac{\nabla\phi\otimes\nabla\phi}{m-n},\nonumber$$ 其中$Ric$和$\nabla^2$分别表示$M$上关于度量$g$的里奇曲率和Hessian算子,常数$m \ge n$,且$m = n$成立当且仅当$\phi = 0$. 当$m=\infty$,Bakry-Emery里奇张量变成 $$\widetilde{Ric}_{\infty} := Ric - \nabla^2\phi.\nonumber$$

这种张量近几年来在微分几何的研究中引起广泛关注, 见文献^{[7, 8, 9, 10]}. 可以利用这个定义来定义度量几何和芬斯拉 几何中的里奇曲率,见文献^{[11, 12, 13, 14, 15]}. 在文献^{[16, 17, 18, 19, 20, 21]}中李向东等人讨论了完备非紧 黎曼流形上具有这类曲率的椭圆型和抛物型方程解的梯度估计.

设$\Pi=(h_{ij})$,$H=\frac{1}{n-1}trace(\Pi)$分别表 示边界$\partial M$上的第二基本形式和平均曲率. 带权 的平均曲率用$H_{\phi}=(n-1)H+\frac{\partial\phi}{\partial\nu}$来表示. 对函数$P=\rho^{-1}|\nabla u|^{2}+2\lambda\int_{0}^{u}f(s){\rm d}s$运用极大值原理,我们可以得到如下定理.

定理1.1     设$M$ 是$n$维带有光滑边界的紧黎曼流形,$\widetilde{Ric}_{\infty}\geq k$,且在边界 $\partial M$上 $H_{\phi}\geq0$. 假设$u$是带有狄立克莱边界条件(1.2) 的方程(1.1)的解,而且$\rho$满足

$$\begin{equation}\label{1.4} {在 $M$ 上,}~ L\rho\leq2k\rho,\ \ {在$\partial M$ 上,}~ \frac{\partial \rho}{\partial\nu}\geq0, \end{equation}$$

(1.4)

那么$P$在$u$的临界点上达到极大值.

定理1.2     设$M$ 是$n$维带有凸光滑边界的紧黎曼流形, $\widetilde{Ric}_{\infty}\geq k$,假设$u$是带有纽曼边 界条件(1.3)的方程 (1.1)的解, 而且$\rho$满足上面条件(1.4), 那么$P$在$u$的临界点上达到极大值.

如果在方程(1.1)中$f(u)=u$, 那么方程(1.1)变成了非齐次混合膜问题

$$\begin{eqnarray}\label{eq_MP} Lu+\lambda\rho u&=&0,{在 $M$上,}\nonumber\\ u&=&0,{在$\partial M$上.} \end{eqnarray}$$

(1.5)

从定理1.1,我们得到了方程(1.5)解的梯度估计.

推论1.3     设$M$ 是$n$维带有光滑边界的紧黎曼流形,$\widetilde{Ric}_{\infty}\geq k$,且在边界 $\partial M$上 $H_{\phi}\geq0$. 假设$u$是方程(1.5)的解,而且$\rho$满足上面条件(1.4),那么我们有

$$\begin{equation} |\nabla u|^{2}\leq\lambda\rho (u_{\max}^{2}-u^{2}). \end{equation}$$

(1.6)

注1.4     当$M$是$R^{n}$中的有界域且$L=\triangle$时, 推论1.3就是文献^[1]的结果.

在证明上面的结论中,我们假设解必须满足边界值条件(1.2)或(1.3). 然而如果利用不等式$|\nabla^{2}u|^2\geq\frac{1}{n}(\triangle u)^{2}$,那么我们无需这些边界条件.

定理 1.5     设$M$ 是$n$维带有光滑边界的紧黎曼流形,且$\widetilde{Ric}_{m}\geq (m-1)k$,$m\geq2$. 假设$u$是方程(1.1)的解,$\rho$满足$L\rho \leq2(m-1)k\rho -\frac{2(m-1)}{m}\lambda\rho^{2}\frac{{\rm d}f}{{\rm d}u}$ 且$\nabla\rho\cdot\nabla u$与$f(u)$的符号在 $\nabla\rho\cdot\nabla u\neq 0$时不同, 则函数 $$\Phi=\frac{|\nabla u|^{2}}{\rho}+\frac{2\lambda}{m}\int_{0}^{u}f(s){\rm d}s \nonumber$$ 在边界$\partial M$上达到最大值.

最后,我们讨论推论1.3的应用. 在文献^[1]中,Scharfer和Sperb引进了 ``效率比" $E$的定义 $$E:=\frac{\int_{M}\rho u{\rm d}x}{u_{\max}\int_{M}\rho {\rm d}x},\nonumber$$ 其中$u$是方程(1.5)关于$L=\triangle$的特征值$\lambda$的解. 在文献^[22]中作者讨论了“效率比"在研究核反应问题的作用.

现在我们给出新的``效率比"的定义$E_{\phi}$ $$E_{\phi}:=\frac{\int_{M}\rho ue^{\phi}{\rm d}x}{u_{\max}\int_{M}\rho e^{\phi}{\rm d}x},\nonumber$$ 其中$u$是方程(1.5)关于$L$算子的特征值$\lambda$的解. 当$\phi=0$时,我们有$L=\triangle$,此时$E_{\phi}=E.$ 从推论1.3,我们得到了如下``效率比"$E_{\phi}$的估计.

定理 1.6     设$M$ 是$n$维带有光滑边界的紧黎曼流形, $\widetilde{Ric}_{\infty}\geq k$, 且在边界$\partial M$上$H_{\phi}\geq 0$. 假设在$M$上$L\rho\leq2k\rho$,以及在$\partial M$上 $\frac{\partial \rho}{\partial\nu}\geq0$. 如果$u$是方程(1.5)的解, 那么

$$\begin{equation}\label{1.7} E_{\phi}\leq\frac{A_{\phi}}{\sqrt{\lambda} V_{\phi}}, \end{equation}$$

(1.7)

其中$A_{\phi}=\int_{\partial M}\sqrt{\rho }e^{\phi}{\rm d}\sigma$, $V_{\phi}=\int_{M}\rho e^{\phi}{\rm d}x$.

当$\rho=1$且$\phi=0$时,$A_{\phi}$和$V_{\phi}$实际上就 是$\partial M$的面积和$M$的体积. 当$\rho=1$时,$V_{\phi}$也 称为带权体积. 关于带权体积的比较定理可以参考文献^{[7, 8, 10]}. 当$M$是$R^{n}$中有界域且$\phi=0$时,结论(1.7)就 是文献^[1]中的结果.

首先我们介绍一个引理,这个引理在定理1.1和定理1.2的证明中起重要的作用.

引理 2.     设$M$ 是$n$维带有光滑边界的紧黎曼流形,$\widetilde{Ric}_{\infty}\geq k$. 假设$u$是方程(1.1)的解,且函数$h$,$g$和$\rho$满足

$$\begin{equation} h'=2\lambda fg,g''g-2(g')^{2}\geq0,g\geq0,g'\leq0,L\rho\leq2k\rho, \end{equation}$$

(2.1)

那么$P=g(u)\rho^{-1}|\nabla u|^{2}+h(u)$的极大值点要么在$\partial M$上,要么它是$u$的临界点.

引理2.1的证明     设函数$P$为

$$\begin{equation} P = g(u)\rho^{-1}|\nabla u|^2 + h(u), \end{equation}$$

(2.2)

其中$u$是方程(1.1)的解,$g$和$h$是任意待定的函数.

我们用下标字母表示求协变导数,指标相同代表求和. 于是,我们有

$$\begin{equation} P_i = g'u_i\rho^{-1}|\nabla u|^2 - g\rho^{-2}|\nabla u|^2\rho_i + 2g\rho^{-1}u_{ij}u_{j} + h'u_i \label{eq_Pi} \end{equation}$$

(2.3)

和

$$\begin{eqnarray} LP &=&g''|\nabla u|^4\rho^{-1} + g'\triangle u \rho^{-1}|\nabla u|^2 - g'u_i\rho_i\rho^{-2}|\nabla u|^2 + 2g'\rho^{-1}u_{ij}u_iu_j\nonumber\\ &&-g'\rho^{-2}|\nabla u|^2\rho_iu_i + 2g\rho^{-3}|\nabla u|^2|\nabla \rho|^2 - 2g\rho^{-2}u_{ij}\rho_iu_j-g\rho^{-2}|\nabla u|^2\triangle \rho\nonumber\\ &&+2g'\rho^{-1}u_{ij}u_iu_j - 2g\rho^{-2}u_{ij}u_i\rho_j + 2g\rho^{-1}u_{ijj}u_i + 2g\rho^{-1}u_{ij}^2 + h''|\nabla u|^2\nonumber\\ &&+h'\triangle u + g'\rho^{-1}|\nabla u|^2u_i\phi_i - g\rho^{-2}|\nabla u|^2\rho_i\phi_i + 2g\rho^{-1}u_{ij}u_j\phi_i + h'u_i\phi_i\nonumber\\ &=&g''|\nabla u|^4\rho^{-1} + g' \rho^{-1}|\nabla u|^2Lu - 2g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i + 4g'\rho^{-1}u_{ij}u_iu_j\nonumber\\ &&+2g\rho^{-3}|\nabla u|^2|\nabla \rho|^2 - 4g\rho^{-2}u_{ij}\rho_iu_j-g\rho^{-2}|\nabla u|^2L\rho+2g\rho^{-1}(Lu)_{i}u_{i}\nonumber\\ &&+2g\rho^{-1}(R_{ij}-\phi_{ij})u_iu_j + 2g\rho^{-1}u_{ij}^2 + h''|\nabla u|^2+h'Lu\nonumber\\ &=&g''|\nabla u|^4\rho^{-1} - \lambda g'f|\nabla u|^2 - 2g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i + 4g'\rho^{-1}u_{ij}u_iu_j\nonumber\\ &&+2g\rho^{-3}|\nabla u|^2|\nabla \rho|^2 - 4g\rho^{-2}u_{ij}\rho_iu_j - g\rho^{-2}|\nabla u|^2L\rho - 2\lambda g \rho^{-1}f\rho_iu_i\nonumber\\ &&-2\lambda g f'|\nabla u|^2 + 2g \rho^{-1}(R_{ij} - \phi_{ij})u_iu_j + 2g \rho^{-1}u_{ij}^2 + h''|\nabla u|^2 - \lambda h'\rho f. \label{eq_LP} \end{eqnarray}$$

(2.4)

从等式(2.3)和柯西不等式,我们可以得到

$$\begin{eqnarray} 2g\rho^{-1}u_{ij}^2 &\ge& 2g\rho^{-1}|\nabla u|^{-2}u_{ik}u_{k}u_{il}u_{l}\nonumber\\ &\ge& \frac{1}{2}g^{-1}\rho|\nabla u|^{-2}[|\nabla P|^{2} -2(g'u_i\rho^{-1}|\nabla u|^2 - g\rho^{-2}|\nabla u|^2\rho_i + h'u_i)P_{i}] \nonumber\\ &&+ \frac{1}{2}g\rho^{-3}|\nabla u|^2 |\nabla \rho|^2 + \frac{1}{2}g^{-1}(g')^2|\nabla u|^4\rho^{-1}+ \frac{1}{2}g^{-1}(h')^2\rho \nonumber\\ &&- g'\rho^{-2}|\nabla u|^2 \rho_iu_i - \rho^{-1}h'\rho_iu_i + g^{-1}g'h'|\nabla u|^2. \label{eq_item1} \end{eqnarray}$$

(2.5)

从等式(2.3)还可以得到下面两个等式

$$\begin{eqnarray}\label{eq_item2} 4g'\rho^{-1}u_{ij}u_iu_j &=& 2(g(u))^{-1}g'u_i P_i - 2(g')^2(g(u))^{-1}\rho^{-1}|\nabla u|^4 \nonumber\\ &&+ 2g'\rho^{-2}|\nabla u|^2\rho_iu_i - 2(g(u))^{-1}g'h'|\nabla u|^2 \end{eqnarray}$$

(2.6)

和

$$\begin{equation} -4g\rho^{-2}u_{ij}\rho_iu_j = -2\rho^{-1}\rho_{i} P_i + 2g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i - 2g\rho^{-3}|\nabla u|^2|\nabla \rho|^2 + 2h'\rho^{-1}u_i\rho_i. \label{eq_item3} \end{equation}$$

(2.7)

将(2.5)-(2.7)式代入(2.4)式,我们可以得到 $$\begin{eqnarray*} &&LP - \frac{1}{2}g^{-1}\rho|\nabla u|^{-2}[|\nabla P|^{2} -2(g'u_i\rho^{-1}|\nabla u|^2 - g\rho^{-2}|\nabla u|^2\rho_i + h'u_i)P_{i}] \nonumber\\ &&-2g^{-1}g'u_i P_i + 2\rho^{-1} \rho_{i} P_i\nonumber\\ &\ge& g''|\nabla u|^4\rho^{-1} - \lambda g'f|\nabla u|^2 - 2g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i -2(g')^2g^{-1}\rho^{-1}|\nabla u|^4 \nonumber\\ &&+ 2g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i - 2g^{-1}g'h'|\nabla u|^2 + 2g\rho^{-3}|\nabla u|^2|\nabla \rho|^2 +2g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i\nonumber\\ &&- 2g\rho^{-3}|\nabla u|^2|\nabla \rho|^2 + 2h'\rho^{-1}u_i\rho_i - g\rho^{-2}L\rho|\nabla u|^2 - 2\lambda g\rho^{-1}fu_i\rho_i \nonumber\\ &&- 2\lambda f'g|\nabla u|^2+ 2g\rho^{-1}(R_{ij} - \phi_{ij})u_iu_j + \frac{1}{2}g\rho^{-3}|\nabla u|^2|\nabla \rho|^2 \nonumber\\ &&+ \frac{1}{2}g^{-1}(g')^2|\nabla u|^4\rho^{-1} +\frac{1}{2}g^{-1}(h')^2\rho-g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i\nonumber\\ &&- \rho^{-1}h'\rho_iu_i+g^{-1}g'h'|\nabla u|^2 + h''|\nabla u|^2 -\lambda h'\rho f\nonumber\\ &\ge& (g''-2(g')^{2}g^{-1})\rho^{-1}|\nabla u|^4 +[\frac{1}{2}g^{-1}(g')^2|\nabla u|^4\rho^{-1}+g'\rho^{-2}|\nabla u|^2u_i\rho_i \nonumber\\ & &+ \frac{1}{2}g\rho^{-3}|\nabla \rho|^2|\nabla u|^2]+[(h'-2\lambda gf)' - g^{-1}g'(h'-2\lambda fg) -\lambda g'f \nonumber\\ & &- g\rho^{-2}(L\rho -2k\rho)]|\nabla u|^2+(h' - 2\lambda g f)(\rho^{-1}\rho_iu_i + \frac{1}{2}h'\rho g^{-1}). \nonumber\\ &\ge& (g''-2(g')^{2}g^{-1})\rho^{-1}|\nabla u|^4 + [(h'-2\lambda gf)' - g^{-1}g'(h'-2\lambda fg) -\lambda g'f \nonumber\\ &&- g\rho^{-2}(L\rho -2k\rho)]|\nabla u|^2+(h' - 2\lambda g f)(\rho^{-1}\rho_iu_i + \frac{1}{2}h'\rho g^{-1}). \nonumber \end{eqnarray*}$$

这样利用引理2.1中的假设和极大值原理,引理得证.

下面我们利用Hopf极大值原理和引理2.1来证明定理1.1和定理1.2. 我们先来证明定理1.1.

定理1.1的证明     在引理2.1中取$g(u)\equiv1$和$h(u)=2\lambda\int_{0}^{u}f(s){\rm d}s$,从引理2.1可知,$P=\rho^{-1}|\nabla u|^{2}+2\lambda\int_{0}^{u}f(s){\rm d}s$ 的极大值点要么在$\partial M$上,要么它是$u$的临界点. 现在我们需要排除第一种可能. 因为在$\partial M$上$u = 0$, 所以$|\nabla u| = |\frac{\partial u}{\partial v}|$. 这样在边界$\partial M$上,我们有 $$\frac{\partial P}{\partial v} = \frac{2u_{vv}u_v}{\rho} - \frac{|\nabla u|^2\rho_v}{\rho^2} + 2\lambda f u_v.\nonumber$$ 另一方面,在边界$\partial M$上, $$\triangle u = u_{vv} + (n - 1)H u_v = -\lambda \rho f - \phi_v u_v.\nonumber$$ 所以, $$\frac{\partial P}{\partial v} = -2\frac{|\nabla u|^2}{\rho}(H_{\phi} + \frac{\rho_v}{2\rho}) \leq0.\nonumber$$ 这与Hopf极大值原理矛盾. 所以$P$的极大值点是$u$的临界点.

现在我们来证明定理1.2.

定理1.2的证明     我们在$x_0 \in \partial M$附近取局部坐标架$(e_1,\cdots,e_n)$使得$\frac{\partial}{\partial v} = e_n$. 因为在$\partial M$上$u_n = 0$,所以 $$u_{in} = u_{n i} = e_ie_nu - (\nabla_{e_i}e_n)u = - (\nabla_{e_i}e_n)u = - \sum_{j = 1}^{n-1}\langle \nabla_{e_i}e_n,e_j\rangle e_ju = -h_{ij}u_j.$$ 这样我们可以得到 $$P_v = \frac{2u_{in}u_i}{\rho} - \frac{|\nabla u|^2\rho_v}{\rho^2} = -\frac{2h_{ij}u_iu_j}{\rho} - \frac{|\nabla u|^2\rho_v}{\rho^2}\le 0.$$ 最后,由引理2.1和Hopf极大值原理,我们可以得到定理1.2.

接下来我们来证明定理1.5.

定理1.5的证明     因为 $$\Phi=\frac{|\nabla u|^{2}}{\rho}+\frac{2\lambda}{m}\int_{0}^{u}f(s){\rm d}s,$$ 所以,我们有 $$\nabla\Phi=2\rho^{-1}\nabla^{2}u\nabla u-\rho^{-2}|\nabla u|^{2}\nabla \rho +\frac{2\lambda}{m}f\nabla u$$ 和 $$\begin{eqnarray*} L\Phi&=&\rho^{-1}L|\nabla u|^{2}+L\rho^{-1}\cdot|\nabla u|^{2}+2\nabla|\nabla u|^{2} \nabla\rho^{-1} +\frac{2\lambda}{m}fLu+\frac{2\lambda}{m}f'|\nabla u|^{2}\nonumber\\ &=&2\rho^{-1}(|\nabla^{2} u|^{2}+\nabla Lu\nabla u+\widetilde{Ric}_{\infty}(\nabla u,\nabla u))+L\rho^{-1}\cdot|\nabla u|^{2}-4\rho^{-2}\nabla^{2} u\nabla u \nabla\rho \nonumber\\ & &-\frac{2\lambda^{2}}{m}\rho f^{2}+\frac{2\lambda}{m}f'|\nabla u|^{2}\nonumber\\ &\geq&2\rho^{-1}(\frac{1}{n}(\triangle u)^{2}+\frac{1}{m-n}(\nabla\phi\nabla u)^{2}+\nabla Lu\nabla u+\widetilde{Ric}_{m}(\nabla u,\nabla u))+L\rho^{-1}\cdot|\nabla u|^{2}\nonumber\\ &&-4\rho^{-2}\nabla^{2} u\nabla u \nabla\rho -\frac{2\lambda^{2}}{m}\rho f^{2}+\frac{2\lambda}{m}f'|\nabla u|^{2}\nonumber\\ &\geq&2\rho^{-1}(\frac{1}{m}(L u)^{2}+\nabla Lu\nabla u+\widetilde{Ric}_{m}(\nabla u,\nabla u))-\rho^{-2}L\rho|\nabla u|^{2}+2\rho^{-3}|\nabla u|^{2}|\nabla \rho|^{2}\nonumber\\ & &-2\rho^{-1}\nabla \Phi\nabla\rho-2\rho^{-3}|\nabla u|^{2}|\nabla \rho|^{2}+\frac{4\lambda}{m}\rho^{-1}f\nabla u \nabla\rho -\frac{2\lambda^{2}}{m}\rho f^{2}+\frac{2\lambda}{m}f'|\nabla u|^{2}\nonumber\\ &\geq&-2\lambda f'|\nabla u|^{2}-2\lambda\rho^{-1}f\nabla u \nabla\rho+2(m-1)k\rho^{-1}|\nabla u|^{2}-\rho^{-2}L\rho|\nabla u|^{2}\nonumber\\ &&-2\rho^{-1}\nabla \Phi\nabla\rho+\frac{4\lambda}{m}\rho^{-1}f\nabla u \nabla\rho +\frac{2\lambda}{m}f'|\nabla u|^{2}\nonumber\\ &=&-\frac{2(m-2)}{m}\lambda\rho^{-1}f\nabla u \nabla\rho+(2(m-1)k\rho^{-1}-\rho^{-2}L\rho -\frac{2(m-1)}{m}\lambda f')|\nabla u|^{2} \\ &&-2\rho^{-1}\nabla \Phi\nabla\rho. \end{eqnarray*}$$ 根据定理1.5的条件,我们得到下面不等式 $$L\Phi+2\rho^{-1}\nabla \Phi\nabla\rho\geq0.$$ 利用极大值原理,我们知道函数$\Phi$在$\partial M$上达到极大值.

现在我们利用定理1.1来证明推论1.3.

推论1.3的证明     由Kato不等式,我们有

$$\begin{equation} |\nabla|u||\leq|\nabla u|. \end{equation}$$

(2.8)

这样我们可以得到下面的不等式

$$\begin{equation} \frac{\int_{M}|\nabla|u||^{2}{\rm d}\mu}{\int_{M}|u|^{2}\rho {\rm d}\mu}\leq\frac{\int_{M}|\nabla u|^{2}{\rm d}\mu}{\int_{M}u^{2}\rho {\rm d}\mu}, \end{equation}$$

(2.9)

其中${\rm d}\mu=e^{\phi}{\rm d}x$带权的测度. 利用特征值的变分刻画,以及变分极小值的唯一性,我们知道第一特征函数是非负的. 因为在(1.1)中$f(u)=u$, 所以由定理1.1,我们知道 $$P=\rho^{-1}|\nabla u|^{2}+2\lambda\int_{0}^{u}f(s){\rm d}s=\rho^{-1}|\nabla u|^{2}+\lambda u^{2}$$ 在$u$的临界点达到极大值. 从而 $$\rho^{-1}|\nabla u|^{2}+\lambda u^{2}\leq\lambda u_{\max}^{2}. \nonumber$$ 这样我们证明了推论1.3.

最后我们利用推论1.3来证明定理1.6.

定理1.6的证明     因为$u$是方程(1.5)的解,所以由推论1.3,我们有 $$\begin{eqnarray*} E&=&\frac{-\int_{M}Lue^{\phi}{\rm d}x}{\lambda u_{\max}\int_{M}\rho e^{\phi}{\rm d}x} =\frac{-\int_{\partial M}\frac{\partial u}{\partial \nu}e^{\phi}{\rm d}x}{\lambda u_{\max}\int_{M}\rho e^{\phi}{\rm d}x} \leq \frac{\int_{\partial M}|\nabla u|e^{\phi}{\rm d}x}{\lambda u_{\max}\int_{M}\rho e^{\phi}{\rm d}x}\nonumber\\ &\leq&\frac{\int_{\partial M} \sqrt{\rho}e^{\phi}{\rm d}x}{\sqrt{\lambda} \int_{M}\rho e^{\phi}{\rm d}x} = \frac{A_{\phi}}{\sqrt{\lambda} V_{\phi}}. \end{eqnarray*}$$ 证毕.

致谢：     本文的完成得到了福建省留学基金的资助,作者感谢陆志勤教授在他们访问UCI期间所提供的帮助.