在本文中,一个紧致系统 (X,f) 是指 X 是一个紧致度量空间, 度量为d,f:X→X 是一个连续映射.
动力系统的复杂性研究已成为动力系统研究的一个中心问题. 通常有许多概念例如拓扑熵,混沌和一些拓扑传递属性被用来刻画 一个系统的复杂性. 目前,人们已得到许多很好的结果. 在已得到的结果中,Coven 和 Smital 的工作[1]是值得关注的. 文献 [1] 引进了如下一类特殊的系统.
定义1.1 [1] 设 (X,f) 是一个紧致系统. f 称为熵极小的如果存在非空不变闭子集Y使得 ent(f|Y)=ent(f),则 Y=X.
另外,Coven 和 Smital 证明了如下结论.
定理 1.1 [1] 设 (X,f) 是一个紧致系统. 如果 f 是熵极小的,则 f 是拓扑传递的. 如果 X=[0,1] 且 f 是分段单调的,则上述结论的逆命题也成立.
显然,每一个极小映射是熵极小的. f 称为极小的是指X是X的唯 一非空f -不变的闭子集.
最近,受文献 [1]启发,王肖义和黄煜在文献[2]中引进了混沌极小这个新概念.
定义1.2 [2] 设 (X,f) 是一个紧致系统. (X,f)称为混沌极小的,如果它本身在 Li-Yorke 意义下是混沌的并 且所有真子系统在Li-Yorke 意义下 都不是混沌的.
文献[2]证明了一个极小的在 Li-Yorke 意义下是混沌的系统是混沌极小的. 一个混沌极小的系统是拓扑传递的且在 Li-Yorke 意义下是混沌的. 并且有例子说明反过来是不成立的. 作者在文献[2]中还证明了如下与定 理1.1类似的结果.
定理 1.2 [2] 设 (X,f) 是一个紧致系统. f 是熵混沌极小的当且仅当 f 是拓扑传递的和在 Li-Yorke 意义下是混沌的,且存在一个包含 f 的非传递点的不可数混沌集.
至今,对于上述两类动力系统,除了上述结果以外我们知之甚少. 本文首先给出了处理上述动力系统的一般方法. 我们引进如下的P -极小概念.
定义1.3 设 (X,f) 是一个紧致系统. f 称为P -极小的如果f具有性质P且如果存在非空不变闭子集 Y使得f|Y具有性质P,则 Y=X.
显然,如果我们取P -性质分别为
(1)~ 拓扑传递性质,则 f 是P -极小的当且仅当 f 是极小的.
(2)~ 与 f 有相同的拓扑熵这一性质,则 f 是P -极小的当且 仅当 f 是熵极小的.
(3)~ 在 Li-Yorke 意义下是混沌的这一性质,则 f 是P -极小的 当且仅当 f 是混沌极小的.
本文主要考虑熵极小系统的复杂性,我们得到: 如果f是熵极小的,则
(1)~ f 是强遍历的.
此外,如果还存在f的真(拟)弱几乎周期点,则
(2)~ 对任意的n>0,fn 是遍历敏感的. 因此 f 在 Takens-Ruelle 意义下是混沌的.
(3)~ f 具有正拓扑熵. 因此 f 在 Li-Yorke 意义下是混沌的.
另外,我们还给出例子说明混沌极小系统可以不是熵极小的. 反之, 熵极小系统可以不是混沌极小的.
本文结构如下: 第2部分回顾了一些概念,第3部分给出了本文的主要 结果及证明.
设 (X,f) 是一个紧致系统,Z+是正整数集. 对于 X 中的非空开集 U,V以及x∈X,令 N(U,V)={n∈Z+:U∩f−n(V)≠∅},N(x,U)={n∈Z+:fn(x)∈U}. 令 A⊂Z+, 定义 A 在Z+ 中的上密度为 η(A)=lim supn→∞♯(A∩{0,1,2,⋯,n−1})n, 其中♯(⋅)表示基数.
如果η(A)>0则称 A 具有正上密度; 称A 是 Syndetic集如果存在 N∈Z+ 使得对任意的n∈Z+, 有 [n,n+N]∩A≠∅.
称f是拓扑传递的,如果对 X 中任意的非空开子集 U和V, N(U,V)≠∅ (见文献[3] 或 [4]). 称 f 是拓扑遍历的,如果对 X 中任意的非空开子集 U和V,N(U,V) 具有上密度(见文献[5]). 称f 是强遍历的,如果对 X 中任意的非空开子集 U和V, N(U,V) 是一个Syndetic集 (见文献[5]). 显然 f 是强遍历的 蕴涵 f 是拓扑遍历的. f 是拓扑遍历的蕴涵f是拓扑传递的. 一般情况下,反过来是不正确的.
X的一个子集M称为是极小的,如果它是非空的f -不变闭集且M没 有真子集满足这些性质. 设M是个极小集,如果 x∈M, 则x 是f 的一个的极小点. 记 f 的极小点集为 A(f)={x∈M|存在 M⊂X 是极小的}.
x∈X 叫做 f 的一个弱几乎周期点 (见文献[6]), 如果对任意的 ε>0,存在 N>0 使得
x∈X 叫做 f 的一个拟弱几乎周期点(见文献 [6]), 如果对任意的 ε>0,存在 Nε>0 和正整数序列 {nj}∞j=1 使得
在文献[8] 中,拟弱几乎周期点被称为遍历点. 用 W(f) 和 QW(f) 分别表示 f 的弱几乎周期点集和拟弱几乎周期点集. 显然, A(f)⊂W(f)⊂QW(f). 文献[6] 中有例子说明 A(f)⫋ 和 W(f)\subsetneqq QW(f)是可能的.
设 (X,f) 是一个紧致系统,点 x\in X 叫做 f 的等度连 续点如果对任意的 \varepsilon >0,存在 \delta> 0 使得 对任意的 y \in X满足 d(x,y)<\delta以及对任意的 n \in {\Bbb Z}_+,有 d(f^n(x),f^n(y)) <\varepsilon . (X,f) 称为几乎等度连续的如果 f 是拓扑传递的且在 X 中至少存在 一个等度连续点.
根据文献[9],f 称为初值敏感依赖的,如果存在 \delta > 0 使得对任意的 x \in X 以及 x 的任意开邻域 V_x, 存在 n \in {\Bbb Z}_+ 使得 \sup\{d(f^n(x),f^n(y)):y \in V_x\} > \delta. 在文献 [8]中,作者用如下新方式来刻画几种敏感性质:
对于 V \subset X 和 \delta > 0,令 S_f(V,\delta) = \{n \in {\Bbb Z}_+: \mbox{存在}\ x,y \in V \mbox{使得} \ d(f^n(x),f^n(y)) >\delta\}.
(1)~ f 是初值敏感依赖的如果存在 \delta > 0 使得对任意的非空开集 V \subset X,S_f(V,\delta) 非空.
(2)~ f 是遍历敏感的如果存在 \delta > 0 使得对任意的非空开集 V \subset X,S_f(V,\delta) 具有正上密度.
f 在 Takens-Ruelle 意义下是混沌的如果 f 是拓扑传递的和初值敏感依赖的 (见文献[10]).
我们称 f 在 Li-Yorke 意义下是混沌的如果存在 X 的一个不可数子集 S 使得 \liminf_{n\rightarrow\infty} d(f^n(x),f^n(y))=0 和 \limsup_{n\rightarrow\infty} d(f^n(x),f^n(y))>0 对任意的 x,y\in S,x\neq y 成立 (见文献[11]).
设 (X,f) 和 (Y,g) 是两个紧致系统,我们说 f 和 g 是拓扑共轭的如果存在一个同胚映射 h:X\rightarrow Y 使得 h\circ f=g\circ h.
拓扑熵的定义如常,详见文献[4]. 我们用 {\rm ent}(f) 来表示 f 的拓扑熵. 关于拓扑熵,有下列经典结论.
定理 2.1 [4] 设 (X,f) 和 (Y,g) 是两个紧致系统. 如果 f 和 g 是拓扑共轭的,则{\rm ent}(f)={\rm ent}(g).
设 {\cal B}(X) 是由 X 中开集生成的 Borel \sigma -代数,M(X) 是 (X,{\cal B}(X)) 上的 Borel 概率测度集. 定义映射\widetilde{f}: M(X)\rightarrow M(X),对任意的 A \in {\cal B}(X), \widetilde{f}(\mu)(A)=\mu(f^{-1}(A)). 用 M(X,f)=\{ \mu\in M(X): \widetilde{f}(\mu)=\mu\} 表示 f 的不变测度集. 众所周知,M(X) 在 \omega^* 拓扑下是一个紧致度量空间,M(X,f) 是 M(X) 的非空闭子集. 详见文献[4].
对于 m\in M(X),将集合 \{x\in X: \mbox{对}\ x \mbox{的任意的邻域}\ U ,\mbox{有}\ m(U) > 0\} 称为 m 的支撑,用 {\rm supp}(m) 表示. (X,f) 称为一个 E -系统,如果 f 是拓扑传递的且存在 m\in M(X,f) 使得 {\rm supp}(m)=X (见文献 [12]).
X 的一个不变闭子集 M 叫做 f 的测度中心,如果对任意的 \mu \in M(X,f),有\mu(M) = 1 且 M 没有真子集满足上述性质. 记 f 的测度中心为 M(f). 注意到 M(f) 是 X 的 一个非空不变闭子集,那么从遍历理论而言,f|_{M(f)} 是系统(X,f)的最重要的子系统.
关于 (拟) 弱几乎周期点集与 f 的测度中心的关系,文献[7] 证明了如下结果
在给出主要结果之前,先列出几个命题和引理.
命题 3.1 设 (X,f) 和 (Y,g) 是两个紧致系统, 假设 f 是熵极小的且 f,g 是拓扑共轭的,则 g 是熵极小的.
证 设 h: X\rightarrow Y 是从 f 到 g 的拓扑共轭映射. 假设 Y_1 是 Y 的满足 {\rm ent}(g|_{Y_1})={\rm ent}(g) 的非空不变闭子集,则 h^{-1}(Y_1)\subset X 是闭集且 f(h^{-1}(Y_1))\subset h^{-1}(Y_1). 此外,f|_{h^{-1}(Y_1)}: h^{-1}(Y_1)\rightarrow h^{-1}(Y_1) 和 g|_{Y_1}: Y_1\rightarrow Y_1 是拓扑共轭的,其中 f|_{h^{-1}(Y_1)} 和 g|_{Y_1} 分别表示 f 和 g 在 h^{-1}(Y_1) 和 Y_1 上的限制. 因此 {\rm ent}(g)={\rm ent}(g|_{Y_1})={\rm ent}(f|_{h^{-1}(Y_1)})={\rm ent}(f). 因为 f 是熵极小的,所以 h^{-1}(Y_1)=X. 因此 Y_1=h(h^{-1}(Y_1))=h(X)=Y,这蕴涵 g 是熵极小的.
引理 3.1 [13] 设 (X,f) 是一个紧致系统,则 {\rm ent}(f|_{M(f)})={\rm ent}(f).
推论 3.1 设 (X,f) 是一个紧致系统,如果 f 是熵极小的,则 M(f)=X.
引理 3.2 [14] 设 (X,f) 是一个紧致系统, 如果 f 是拓扑传递的且 M(f)=X,则 (X,f) 是一个 E -系统. 因此 f 是强遍历的.
定理 3.1 设 (X,f) 是一个紧致系统,如果 f 是熵极小的,则 f 是强遍历的.
证 因为 f 是熵极小的,由定理1.1知f 是拓扑传递的. 由推论3.1和引理3.2直接得到本定理结论.
注记 3.1 因为一个强遍历映射是拓扑传递的, 所以定理3.1的结果改进了定理1.1的结果.
引理 3.3 [15] 设 (X,f) 是一个紧致系统, 如果 f 有正拓扑熵,则 f 在 Li-Yorke 意义下是混沌的.
引理 3.4 设 (X,f) 是一个紧致系统,如果 f 是熵极小的且 {\rm ent}(f)=0,则f 是极小的.
证 设 f 是熵极小的且 {\rm ent}(f)=0,则对任 意的 X 的非空不变闭子集 X_1,有 {\rm ent}(f|_{X_1})={\rm ent}(f). 根据熵极小的定义,有 X_1=X. 因此 f 是极小的.
推论 3.2 设 (X,f) 是一个紧致系统,如果 f 是熵极小的且 {\rm ent}(f)=0,则X中至多存在 f 的一条周期轨.
推论 3.3 设 (X,f) 是一个紧致系统, 如果 f 是熵极小的且 QW(f)-W(f)\neq\emptyset 或 W(f)-A(f)\neq\emptyset,则 f 有正拓扑熵. 因此f 在 Li-Yorke 意义下是混沌的.
证 如果 QW(f)-W(f)\neq\emptyset 或 W(f)-A(f)\neq\emptyset,则 f 不是极小的. 根据引理3.4 可得 {\rm ent}(f)>0. 由引理3.3知,f 在 Li-Yorke 意义下是混沌的.
为了证明下面的结果,先引进下面的引理3.5.
引理 3.5 [12] 设紧致系统 (X,f) 是强遍历且几乎等度连续的,则 (X,f) 是极小且等度连续的.
定理 3.2 设 (X,f) 是一个紧致系统,如果 f 是熵极小的且 W(f)-A(f)\neq\emptyset 或 QW(f)-W(f)\neq\emptyset, 则 f 在 Takens-Ruelle 意义下是混沌的.
证 设 f 是熵极小的且 W(f)-A(f)\neq\emptyset 或 QW(f)-W(f)\neq\emptyset,由定理1.1知 f 是拓扑传递的. 注意到 W(f)-A(f)\neq\emptyset 和 QW(f)-W(f)\neq\emptyset 都蕴涵 f 不是极小的. 由定理3.1可以看出 f 是强遍历的. 因此由引理3.5 知 f 不是几乎等度连续的,这蕴涵了 f 是初值敏感依赖的. 注意到 f 是拓扑传递的,因此 f 在 Takens-Ruelle 意义下是混沌的.
引理 3.6 [8] 设 f 是初值敏感依赖的, 且 f\times f 的遍历点集在 X\times X 中稠密,则对任意的 n > 0, f^n 是遍历敏感的.
引理 3.7 设 (X,f) 和 (Y,g) 是两个紧致系统. 则 M(f)\times M(g)=M(f\times g). 特别地, M(f)\times M(f)=M(f\times f).
证 设 (x,y)\in M(f)\times M(g),则 (x,y)\in X \times Y 并且对 (x,y) 的任何邻域 U,存在 x 在 X 中的邻域 U_1 和 y 在 Y 中的邻域 U_2 使得 U_1\times U_2 \subset U. 因为 x\in M(f),y\in M(g),则x 和 y 分别是 f 和 g 的支撑点. 因此存在 \mu_1\in M(X,f) 和 \mu_2\in M(Y,g) 使得 \mu_1(U_1)>0,\mu_2(U_2)>0.
令 m(U_1\times U_2)=\mu_1(U_1)\times\mu_2(U_2),把m 延拓到由 X\times Y的开子集所生成的\sigma -代数上(依然用m表示m的延拓). 则m\in M(X\times Y) m(U)\geq m(U_1\times U_2)=\mu_1(U_1) \times\mu_2(U_2)>0. 于是 (x,y) 是 f\times g 的一个支撑点, 故 (x,y)\in M(f\times g).
反过来,根据 \overline{W(f)}=M(f),\overline{W(g)}=M(g) 和 \overline{W(f\times g)}=M(f\times g),只需证明 W(f\times g) \subset W(f)\times W(g).
设 (x,y)\in W(f\times g),对任意 \varepsilon_1>0 和 \varepsilon_2>0,令 \varepsilon=\min\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\},则 V((x,y),\varepsilon) 是 (x,y) 的一个邻域并且 V((x,y),\varepsilon) \subset V(x,\varepsilon_1) \times V(y,\varepsilon_2). 因为 (x,y)\in W(f\times g), 根据弱几乎周期点的定义可知,存在 N>0, 使得对任意的 n\geq 0,有 \begin{eqnarray*} &&\sharp (\{i|(f\times g)^i((x,y))\in V_1\times V_2,0\leq i< nN\})\\ &=&\sharp(\{i|f^i(x) \in V_1, \ g^i(y) \in V_2,0\leq i< nN\})>n.\end{eqnarray*} 于是可得 \sharp(\{i|f^i(x) \in V_1,0\leq i< nN\})>n 且 \sharp(\{i|g^i(y) \in V_2,0\leq i< nN\})>n, 其中 V_1=V(x,\varepsilon_1) 且 V_2=V(y,\varepsilon_2). 故 x\in W(f) 且 y\in W(g). 这说明 W(f\times g) \subset W(f)\times W(g). 于是 M(f\times g)=\overline{W(f\times g)}\subset \overline{W(f)\times W(g)}=\overline{W(f)}\times \overline{W(g)}=M(f)\times M(g). 证毕.
定理 3.3 设 (X,f) 是一个紧致系统,如果 f 是熵极小的且 W(f)-A(f)\neq\emptyset 或 QW(f)-W(f)\neq\emptyset, 则对任意的 n > 0,f^n 是遍历敏感的.
证 根据推论3.1,定理3.2,引理3.6 和引理3.7 直接得到本定理结论.
接下来,考虑熵极小系统和混沌极小系统的关系. 首先给出如下的命题.
命题 3.2 设 (X,f) 和 (Y,g) 是两个紧致系统. 如果 f 是混沌极小的且 f,g 是拓扑共轭的,则 g 是混沌极小的.
证 设 h: X\rightarrow Y 是从 f 到 g 的拓 扑共轭映射. 如果 Y_1 是 Y 的满足 g|_{Y_1} 在 Li-Yorke意义 下是混沌的非空不变闭子集,则 h^{-1}(Y_1)\subset X,且 f|_{(h^{-1}(Y_1))}: h^{-1}(Y_1)\rightarrow h^{-1}(Y_1) 在 Li-Yorke意义下也是混沌的. 因为 f 是混沌极小的,所以 h^{-1}(Y_1)=X. 因此 Y_1=h(h^{-1}(Y_1))=h(X)=Y. 于是 g 是混沌极小的.
下列结论在文献[2]中提到过,为了本文的完整性,我们给出它的完整证明过程.
定理 3.4 设 (X,f) 是一个紧致系统,如果 f 是混沌极小的且 {\rm ent}(f)>0,则 f 是熵极小的.
证 设 f 是混沌极小的且 {\rm ent}(f)>0. 显然,对于 X 的任意非空真不变闭子集 Y,f|_Y 在 Li-Yorke意义下不是混沌的, 这说明 {\rm ent}(f|_Y)=0. 因此 f 是熵极小的.
例 3.1 假设 x\in \Sigma_2 同文献 [2] 中例4.7 构造的点. 为了方便,我们如下重述如下x的构造.
设 P_0=(1),Q_0=(00),P_{i+1}=P_iP_iQ_i,i\geq0,其中 Q_i=(0,\cdots,0). Q_i 的长度是 |Q_i|=2|P_i|. 因此 |P_i|=4^i,|Q_i|=2\times4^i. 令 x=\lim\limits_{i\rightarrow\infty}P_0P_0Q_0P_1Q_1P_2Q_2\cdots, M=\omega(x,\sigma),其中 \sigma: \Sigma_2\rightarrow\Sigma_2 是 \Sigma_2 上的转移自映射. 文献[2]证明了 \sigma|_M 是混沌极小的并且有零拓扑熵. 然而,由于在 M 中存在 \sigma|_M 的不动点 (0,0,\cdots),因此 \sigma|_M 不是熵极小的.
例 3.2 设 S=\{(x,y)| (x,y)\in {\Bbb R}^2,x^2+y^2=1 \} 是单位圆周,且旋转映射 f: S\rightarrow S 定义为 f(x)=e^{2\pi i(\theta+\alpha)},对任意的 x=e^{2\pi\theta i},其中 \alpha 是一个固定的无理数. 我们知道 f 是极小的并且有零拓扑熵 (因为旋转映射是等距的). 因此 f 是熵极小的. 然而,由于对任意的 w,z \in S,w\neq z,有 \liminf_{n\rightarrow\infty}d(f^n(w),f^n(z))=d(w,z)>0. 于是 f 在 Li-Yorke意义下不是混沌的,这说明 f 不是混沌极小的.
注记 3.2 例3.1 说明一个混沌极小系统可以不 是熵极小的,例3.2 说明一个熵极小系统也可以不是混沌极小的. 因此熵极小系统和混沌极小系统之间没有必然的蕴涵关系.