本文研究如下 Cauchy 问题解的大时间行为

\begin{equation} u_t+\left(\frac{u^2}{2}\right)_x=g(u),\ t>0,x\in {\Bbb R},\label{eq:1.1} \end{equation}

(1.1)

\begin{equation} u(x,0)=u_0(x).\label{eq:1.2}\end{equation}

(1.2)

方程 (1.1) 就是我们所熟知的带有源项的 Burgers 方程. 其齐次情形($g(u)=0$)称为Burgers方程,它是守恒律的最简单情形.

方程 (1.1) 是以下单个守恒律方程的一个特殊情形

\begin{equation}\label{eq:1.3} u_t+f(u)_x=g(u), \end{equation}

(1.3)

相对应的齐次方程为

\begin{equation}\label{eq:1.4} u_t+f(u)_x=0, \end{equation}

(1.4)

这里假设 $f(u)$ 是关于 $u$ 的凸函数,即$f''(u)>0$.

我们知道,即使初值非常光滑,方程 (1.3) 的特征线也可能会在有限时间内相交而形成激波,从而使得解产生间断, 因而,在一般情况下问题 (1.3)(1.2) 整体经典解是不存在的. 因此,我们自然考虑问题 (1.3)(1.2)的弱解即在分布(或广义函数)意义下的解. 一个函数 $u(x,t)$ 称之为问题 (1.3)(1.2)的熵解, 如果它是弱解,并且 对几乎所有的时间$t>0$,$u(x,t)$ 满足下面的熵条件

\begin{equation}\label{eq:1.5} u(x-,t)\geq u(x+,t). \end{equation}

(1.5)

关于问题 (1.3)(1.2) 弱解的存在唯一性已经被许多人研究过了,参见文献 ^{[11, 15]}. 在文献^[15]中,Vopert 在 $BV$ 函数空间中研究了方程(1.3) 的齐次情形并且用粘性消去法得到了解的存在唯一性.另外,对问题(1.3)(1.2),Kruzkov 在文献 ^[11]中 也利用了粘性消去法证明了对任意局部有界变差的初值,问题(1.3)(1.2) 存在唯一的可容许整体解. 特别地,当 $g(u)$ 是耗散的 或不超过线性增长时,对任意的 有界变差初值 $u_0$. 问题 (1.3)(1.2) 在 $BV$ 空间中有唯一的整体熵解.

对齐次问题 (1.4)(1.2),即 $g(u)=0$的情形,其问题解的大时间性态已经被很多人研究,参见文献^{[4, 10, 13]}等. 对初值是周期的且 $g(u)=0$ 的情形,Lax 在文献^[12]中证明了问题 (1.4) (1.2) 的解以$O(t^{-1})$ 的速率收敛到初始值 $u_{0}$ 在一个周期内的平均值. 类似的 结果也可以在 文献^{[1, 9]}中找到.

类似于 齐次守恒律方程的情形,非齐次问题 (1.3)(1.2) 解的大时间行为也有一定的物理意义. 例如, 当源项$g(u)$ 满足 $ug(u)<0$,其中$u>0$ 或 $u<0$,则随着时间的增长整个系统中流体的质量随着时间的无限增大而趋向于零. 此时$g(u)$ 表示耗散项,即对流体的质量消耗. 在1990 年,Lyberopoulos 在文献^[14]中 研究了特殊的源项,即 $g(u)=u$的情形,并在初值 $u_{0}$ 是周期的以及

\begin{equation} \int_{0}^Lu_0(x){\rm d}x=0 \label{eq:1.6}\end{equation}

(1.6)

的假设下,证明了问题 (1.3)(1.2) 的解收敛于行波并且波速为零(或者 称之为定常波).在文献^[7]中,Fan 和 Hale 研究了更加一般的情形,即假定$u_{0}$ 周期的,$g(u)$ 具有有限个奇数零点$a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{2k+1}$,并且存在 一个常数 $M>0$,使得 对所有的 $|u|>M$ 成立$ug(u)>0$. 在此假设下,证明了解的渐近性态只可能是两种情形:

情形1     解收敛于行波并且波速为 $f'(a_{2m+1})$, 其中$a_{2m+1}$ 是 $g(u)$ 的一个零点;

情形2     解收敛于 $g(u)$的一个零点.

在本文中,我们将继续研究以下的问题: 对给定的一个初值$u_{0}$,如何去判断解是收敛于一个行波或者收敛于常数. 本文中,我们假设

(H1)~ 初值 $u_0(x)$ 在区间$[0,L]$上全变差有界并且是周期的, 即对某些常数 $L>0$,有

\begin{equation}\label{eq:1.7} u_{0}(x)=u_{0}(x+L). \end{equation}

(1.7)

另外,我们假设 对某个 $i$,$0\leq i\leq k$,

\begin{equation}\label{eq:1.8} u_{0}(x)+u_{0}(-x)=2a_{2i+1}. \end{equation}

(1.8)

从 式(1.8)中 我们可以推出

\begin{equation}\label{eq:1.9} \frac{1}{L}\int_{0}^Lu_0(x){\rm d}x=a_{2i+1}. \end{equation}

(1.9)

(H2)~ $g(u)\in C({\Bbb R})$ 并且具有有限个零点: $a_1<a_2<\cdots<a_{2k+1}$,并且

\begin{equation}\label{eq:1.10} g(u)+g(2a_{2i+1}-u)=0, \end{equation}

(1.10)

其中 $0\leq i\leq k$. 进一步,$g(u)$ 在 $a_{2i+1}$附近不超过线性增长,即

\begin{equation}\label{eq:1.11} |g(u)-g(a_{2i+1})|\leq K|u-a_{2i+1}|,\ (u-a_{2i+1})g(u)>0, \end{equation}

(1.11)

其中 $u\neq a_{2i+1},\ i=0,1,\cdots,k$.

$g(u)$的图像如图 1 所示.

在这里不等式(1.11)可以确保问题 (1.1)(1.2) 弱解的存在性,而且 在本文中 我们假设 $f$ 是关于$u$ 的偶函数 使得 $u$ 保持与 初值具有同样的性质. 因而,在这里我们只考虑 $f(u)= \frac{u^{2}}{2}$ 的特殊情形.然而,条件(1.10) 和 (1.11) 都是很强的,我们希望在今后的工作中减弱.

本文的主要结果如下:

定理1.1     假设条件(H1) 和 (H2) 成立,并且 $u(x,t)$ 问题 (1.1)(1.2)的熵解.则 当 $t\to +\infty$ 时,$u(x,t)$ 几乎处处收敛于行波解 $\varphi(x-a_{2i+1}t)$ 并且函数 $\varphi$ 可以被显式的表达出来.

本文的主要内容安排如下. 在第二节,我们简单回顾一下广义特征线的定 义及其相关性质. 第三节 主要分析解渐近性态并在最后我们给出 定理 1.1 的证明. 最后,在第四节里 我们举出了两个关于定理 1.1 具体例子.

首先,让我们简要的回顾一下广义特征线理论的一些基本事实, 这些结果可在文献 ^[]找到. 这种方法可以直接应用到非齐次方程 (1.3),其证明类似于齐次情形. 因此,在这里我们省略具体的证明.

在区间$[a,b]$上的一条Lipschitz曲线称为方程 (1.3) 的特征线, 如果对几乎所有的 $t\in[a,b]$,在分布意义下满足方程

\begin{equation} \dot{\xi}(t)=f'(u(\xi(t),t)).\label{de:2.1} \end{equation}

(2.1)

这里是根据 Filippov^[8] 在分布意义下所提出一种定义,即满足对几乎所有的 $t\in[a,b]$,有

\begin{equation} \dot{\xi}(t)\in[f'(u(\xi(t)+,t)),f'(u(\xi(t)-,t))],\label{eq:2.2} \end{equation}

(2.2)

其中符号$``\cdot"$ 表示对函数关于时间$t$ 求导数.

根据具有非齐次间断项的常微分方程解的理论^[8],对任意的 $(\bar{x},\bar{t}) \in {\Bbb R}\times(0,\infty)$,至少存在一条定义在最大存在区间$(s,\bar{t}],s\geq0$上的后向广义特征线 $\xi(t;\bar{x},\bar{t})$,使得$\xi(\bar{t};\bar{x},\bar{t})=\bar{x}$在$(x,t)$. 平面上所有经过点$(\bar{x},\bar{t})$ 的后向广义特征线都限制在最小和最大后向广义特征线所张成的 一个锥形区域之中. 我们用$\xi_{-}(t;\bar{x},\bar{t})$, $\xi_{+}(t;\bar{x},\bar{t})$ 分别表示最小和最大后向广义特征线, 如图 2所示.

在 (H1)和(H2)的假设下,问题 (1.3)(1.2)的特征线具有如下性质.

引理2.1     设 $\xi(t):[a,b]\longrightarrow {\Bbb R}$ 和$\zeta(t):[a,b]\rightarrow{\Bbb R}$,$0\leq a<b<\infty$, 是 Lipschitz 连续曲线. 则,对几乎所有的 $\sigma,\tau,a\leq\sigma<\tau\leq b$,

\begin{eqnarray} &&\quad\int_{\xi(\tau)}^{\zeta(\tau)}u(x,\tau){\rm d}x-\int_{\xi(\sigma)}^{\zeta(\sigma)}u(x,\sigma){\rm d}x -\int_{\sigma}^\tau\int_{\xi(t)}^{\zeta(t)}g(u(x,t)){\rm d}x{\rm d}t\label{eq:2.3} \nonumber\\ &&=\int_{\sigma}^\tau\big(f(u(\xi(t)-,t))-\dot{\xi}(t)u(\xi(t)-,t)\big){\rm d}t-\int_{\sigma}^\tau\big(f(u(\zeta(t)-,t))-\dot{\zeta}(t)u(\zeta(t)+,t)\big){\rm d}t. \end{eqnarray}

(2.3)

由这个引理,我们可以推出

引理2.2     设 $\xi(t):[a,b]\longrightarrow{\Bbb R}$ 是方程 (1.3)的特征线. 则对几乎所有的 $t\in [a,b]$,

\begin{equation}\dot{\xi}(t)=\left\{\begin{array}{ll} f'(u(\xi(t),t)),\ & \ \mbox{若} \ u(\xi(t)+,t)=u(\xi(t)-,t),\\ [2mm]\frac{f(u(\xi(t)+,t))-f(u(\xi(t)-,t))}{u(\xi(t)+,t)-u(\xi(t)-,t)}, & \ \mbox{若} \ u(\xi(t)+,t)<u(\xi(t)-,t).\label{eq:2.4} \end{array}\right. \end{equation}

(2.4)

注2.1     引理 2.2 表明,广义特征线要么沿着真正特征线速度传播,要么沿着激波速度传播.

引理2.3     设$\xi(t):[a,b]\longrightarrow{\Bbb R}$ 是真正的特征线,则 存在一个函数 $v:[a,b]\longrightarrow{\Bbb R}$, 使得对几乎所有的 $t\in(a,b)$,$(\xi,v)$ 满足

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lllll} \dot{\xi}(t)=f'(v(t)),\\ \dot{v}(t)=g(v(t)). \end{array} \right.\label{eq:2.5} \end{equation}

(2.5)

另外,我们有

\begin{equation} v(t)=u(\xi(t)+,t)=u(\xi(t)-,t).\label{eq:2.6} \end{equation}

(2.6)

引理2.4    最小和最大的特征线 $\xi_{-}(t;\bar{x},\bar{t})$,$\xi_{+}(t;\bar{x},\bar{t})$ 都是真正的特征线, 并且它们是分别以在 $t= \bar{t}$ 时值

\begin{equation} (\xi(\bar{t}),v(\bar{t}))=(\bar{x},u(\bar{x}-,\bar{t})),\label{eq:2.7} \end{equation}

(2.7)

\begin{equation} (\xi(\bar{t}),v(\bar{t}))=(\bar{x},u(\bar{x}+,\bar{t})),\label{eq:2.8} \end{equation}

(2.8)

为初值,通过解方程(2.5) 而得到的. 因此,$\xi_{-}(t;\bar{x},\bar{t})$ 和 $\xi_{+}(t;\bar{x},\bar{t})$ 合并为一条特征线当且仅当 $u(\bar{x}-,\bar{t})=u(\bar{x}+,\bar{t})$. 另外,它们均定义在区间 $[0,\bar{t}]$ 上.

由(H2) 可以推出 $g(a_{2i+1})=0$,$i=0,1\cdots ,k$, 并且对某个固定的 $i$,(1.10)式成立. 不失一般性,我们只需考虑其中一个零点 $a_{2i+1}$ 即可, 因为其它的零点可以作类似的处理.

引理3.1     在定理1.1假设条件下,问题(1.1) (1.2)的解 $u(x,t)$ 也是周期的,即

\begin{equation}\label{eq:3.3} {\rm }\ u(x+L,t)=u(x,t),\ \forall x\in {\Bbb R},\ t>0. \end{equation}

(3.1)

除此之外,还成立

\begin{equation}\label{eq:3.4} u(x,t)=2a_{2i+1}-u(-x,t), \end{equation}

(3.2)

\begin{equation}\label{eq:3.5} \frac{1}{L}\int_{0}^{L}u(x,t){\rm d}x=a_{2i+1}. \end{equation}

(3.3)

证     利用本文的假设和弱解的定义,我们可以直接得出结论.

设 $[a,a+L]$ 为在 $t=0$ 时的一个固定周期区间,且 $\xi_{0}(t)=a_{2i+1}t+a$. 记

\begin{equation} X_{a}(t)=\{x\in[\xi_{0}(t),\xi_{0}(t)+L]:u(x+,t)=u(x-,t)=a_{2i+1}\},\ t\in(0,\infty).\label{eq:3.6} \end{equation}

(3.4)

下面我们将通过几个引理来给出 $X_{a}(t)$ 一些性质.

引理3.2     $X_{a}(t)$ 是非空的并且是紧的.

证     首先,我们用反证法证明 $X_{a}(t)\neq \emptyset$. 若不然,则存在 $\bar{t}$ 使得 $X_{a}(\bar{t})=\emptyset$. 由 (3.3) 式,存在 $\bar{x}\in (\xi_{0}(\bar(t)),\xi_{0}(\bar(t))+L)$,使得 $u(\bar{x}+,\bar{t})>a_{2i+1},\ u(\bar{x}-,\bar{t})<a_{2i+1}$ 或 $u(\bar{x}+,\bar{t})<a_{2i+1}<u(\bar{x}-,\bar{t})$. 由熵条件 (1.5) 第一种情况不成立. 若第二种情况成立, 我们推出在 $(\bar{x},\bar{x}+L)$ 上一定存在 $g(u)$ 的零点. 若不然,因为 $u(x,t)$ 是周期的,我们有 $u(\bar{x}+,\bar{t})<a_{2i+1},u((\bar{x}+L)-,\bar{t})>a_{2i+1}$. 因此,一定存在一个 $\hat{x}\in (\bar{x},\bar{x}+L)$ 使得 $u(\hat{x}+,\bar{t})>a_{2i+1},\ u(\hat{x}-,\bar{t})<a_{2i+1}$,而这与 (1.5) 式相矛盾. 紧性的证明直接通过 $X_{a}(t)$ 的定义即可. 引理证毕.

引理3.3     对任意的 $0<s<t$,$X_{a}(t)\subseteq X_{a}(s)$.

证    对任意的 $x\in X_{a}(t)$,存在经过点 $(x,t)$ 最小和最大特征线 $\xi(s)$ 满足 $\xi_{\pm}(t)=x$,$u(x+,t)=u(x-,t)=a_{2i+1}$. 我们断言,对所有的 $s\in (0,t)$,

\begin{equation}\label{eq:3.7} u(\xi(s)+,s)=u(\xi(s)-,s)=a_{2i+1}. \end{equation}

(3.5)

事实上,利用引理 2.3 和引理 2.4,我们有

\begin{equation}\label{eq:3.8} \left\{ \begin{array}{lllll} \dot{\xi}(s)=v(s),\\ \dot{v}(s)=g(v(s)),\end{array} \right. \end{equation}

(3.6)

其中 $v(s)=u(\xi(s)+,s)=u(\xi(s)-,s)$.

令 $E(s)=(v(s)-a_{2i+1})^{2}$,那么

\begin{equation}\label{eq:3.9} \dot{E}(s)=2v\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s} =2(v-a_{2i+1})g(v)\geq-2|v-a_{2i+1}||g(v)|\geq-2KE(s). \end{equation}

(3.7)

由此得出 $E(s)\leq E(t)e^{2K(t-s)}$ 或者等价地

\begin{equation}\label{eq:3.10} |v(s)-a_{2i+1}|\leq |v(t-a_{2i+1}|e^{K(t-s)}. \end{equation}

(3.8)

因此

\begin{equation}\label{eq:3.11} |u(\xi(s),s)-a_{2i+1}|\leq |u(x,t)-a_{2i+1}|e^{K(t-s)}. \end{equation}

(3.9)

由于 $u(x+,t)=u(x-,t)=a_{2i+1}$,根据 (3.9)式, 我们得出 $u(\xi(s)+,s)=u(\xi(s)-,s)=a_{2i+1}$. 这说明 $\xi(s)\in X_{a}(s)$. 引理证毕.

记 $X_{a}(\infty)=\bigcap\limits_{t>0} X_{a}(t)$,则我们有如下引理.

引理3.4     $X_{a}(\infty)$ 非空并且是紧的.

证     选取正的单调递增序列 $\{t_{k}\}_{k=1}^{\infty}$, 则由引理 3.3 可知 $X_{a}(t_{k})\subseteq\cdots \subseteq X_{a}(t_{1})$. 因此

\begin{equation} X_{a}(\infty)=\lim _{n\rightarrow\infty}X_{a}(t_{n}) =\lim_{n\rightarrow\infty} \bigcap_{k=1}^{n}X_{a}(t_{k})=\bigcap_{t>0} X_{a}(t).\label{eq:3.31} \end{equation}

(3.10)

因为 $X_{a}(t_{k})$ 非空并且是紧的. 因此,$X_{a}(\infty)$也是空并且是紧的. 引理证毕.

定义集合 $H_t$ 如下

$ H_t=(\xi_{0}(t),\xi_{0}(t)+L)\cap X_{a}(\infty).$

(3.11)

由于$\xi(0)=a$,记

\begin{equation} S=H_0=(a,a+L)\cap X_{a}(\infty). \label{eq:3.32} \end{equation}

(3.12)

由$X_{a}(\infty)$的紧性,区间 $(a,a+L)\backslash S$ 由至多可数个开区间的并集所组成,我们将其记为

$ Y_{a}(\infty)=\bigcup_{n=1}^\infty(a_{k},b_{k}),$ 其中 $a_{k},b_{k}\in S$.

(3.13)

显然

\begin{equation} (a,a+L)=S\cup Y_{a}(\infty).\label{eq:3.33}\end{equation}

(3.14)

根据引理 3.4,对任意的 $(a_{k},b_{k})\subset Y_{a}(\infty)$,由于 $u(\xi_{k}(t)-,t)=u(\xi_{k}(t)+,t)=a_{2i+1}$,从而存在整体特征线 $\xi_{k}(t),\eta_{k}(t)$ 使得 $\xi_{k}(t)=a_{2i+1}t+a_{k},\eta_{k}(t)=a_{2i+1}t+b_{k}$.因此,为了研究问题 (1.1)(1.2) 解的大时间性态,我们只需考虑对某固定的 $k$ 定义在区间 $(\xi_{k}(t),\eta_{k}(t))$ 上的解即可.

对任意 $t>0$,记

\begin{equation} S_{k}(t)=\{x\in[\xi_{k}(t),\eta_{k}(t)]:\xi_{k}(t)\equiv a_{2i+1}t+a_{k} ,\eta_{k}(t)\equiv a_{2i+1}t+b_{k}\}.\label{eq:3.34} \end{equation}

(3.15)

用记号 $$\Re(u(\cdot,t))=\{u(x\pm,t):x \in [\xi_{0}(t),\xi_{0}(t)+L] \}$$ 表示 $u(\cdot,t)$ 的值域. 关于 $\Re(u(\cdot,t))$ 我们有如下性质,其证明可以参见文献 ^[7].

引理3.5     $\Re(u(\cdot,t))$ 是闭区间并且存在 $T_0>0$,使得当 $t>T_0$ 时,$\Re(u(\cdot,t))\subset (a_{2i},a_{2i+2})$.

引理3.6     若对任意 $x\in S_{k}(t)$,$\xi(s;x,t)$ 是经过 $(x,t)$ 的最小或最大特征线. 那么对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $T(\varepsilon)>0$ 使得当 $t>T(\varepsilon)$ 时, $\xi(0;x,t)\in[a_{k},a_{k}+\varepsilon)\cup(b_{k}-\varepsilon, b_{k}]$.

证     若引理不正确,则对任意 $T_{0}>0$,存在 $t_{1}>T_{0}$ 和 ${x_{1}} ∈ _{k}(t)$,以及定义在 $(0,t_{1})$ 上的最小或最大特征线 $\xi(s;x_{1},t_{1})$,使得 $\xi(0;x_{1},t_{1}) \in(a_{k}+\varepsilon,\ b_{k}-\varepsilon)$. 对此 $t_1$,存在 $t_{2}>t_{1}+1$ 和 ${x_{2}}\subset S_{k}(t)$ 使得$\xi(0;x_{2},t_{2})\in(a_{k}+\varepsilon,\ b_{k}-\varepsilon)$. 由此继续下去,我们可以得到一个序列 $\{\xi(s;x_{n},t_{n})\}_{n\in{\Bbb N}} $.

记 $\xi_{n}(s)=\xi(s;x_{n},t_{n})$,由引理 2.3 和 2.4,存在函数 $v_{n}(s)$ 使得

\begin{equation}\label{eq:3.40} \begin{array}{l} \dot{v}_{n} (s)=g(v_{n}(s)),\ \ \dot{\xi}_{n}(s)=v_{n}(s),\\ v_{n}(t_{n})= u(x_{n}-,t_{n}),\ \ \xi_{n}(t_{n})=x_{n}. \end{array} \end{equation}

(3.16)

根据引理 2.3

\begin{equation} v_{n}(s)= u(\xi(s;x_{n},t_{n})+,s)=u(\xi(s;x_{n},t_{n})-,s),\ s\in[0,\ t_{n}].\label{eq:3.42} \end{equation}

(3.17)

由引理3.5,$u$ 是一致有界的. 由于 $g(u)$ 关于 $u$ 是连续的,那么 由 (3.16) 式的第二个方程,我们得出 $\{\xi_{n}(s)\}$ 是一致有界等度连续的函数序列. 由 Arzela-Ascoli 定理,存在子列 $\{\xi_{n_{k}}(s)\}_{k\in {\Bbb N}}$ 和 $\xi(s)\in C([0,\infty],{\Bbb R})$ 使得

\begin{equation} \xi_{n_{k}}(s)\rightarrow \xi(s),\label{eq:3.43} \end{equation}

(3.18)

当 $k\rightarrow\infty$ 一致地成立. 在 (3.16) 式中取极限, 可以知道$\xi(s)$ 满足

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lllll} \dot{v}(s)=g(v(s)),\\ \dot{\xi}(s)=v(s),\label{eq:3.44} \end{array} \right. \end{equation}

(3.19)

其中 $v(s)= u(\xi(s)+,s)=u(\xi(s)-,s),\ s\in(0,\infty)$. 因此 $\xi(s)$ 是定义在 $(0,\infty)$ 上的真正特征线. 下面将证明

\begin{equation} \xi(s)=a_{2i+1}s+\xi(0),\ \ s\in(0,\infty). \label{eq:3.46} \end{equation}

(3.20)

事实上,如果存在 $t_{0}$ 使得 $\xi(t_{0})>a_{2i+1}t_{0}+\xi(0)$ (另种情形 $\xi(t_{0})<a_{2i+1}t_{0}+\xi(0)$ 类似处理), 则 由中值定理,存在 $\bar{t}\in(0,t_{0})$ 使得$u(\xi(\bar{t}),\bar{t})=\dot{\xi}(\bar{t})>a_{2i+1}$.

另一方面,由于 $\dot{u}(\xi(\bar{t}),\bar{t})=g(u(\xi(\bar{t}),\bar{t}))>0$,我们得到

\begin{equation}\label{eq:3.52} u(\xi(s),s)>u(\xi(\bar{t}),\bar{t})>a_{2i+1},\ \ s>\bar{t}. \end{equation}

(3.21)

对 $\dot{\xi}(s)$ 关于 $s$ 求导数 并由 (3.21)式有

\begin{equation} \ddot{\xi}(s)=g(u)>0,\ \ s>\bar{t}.\label{eq:3.53} \end{equation}

(3.22)

由此可得

\begin{equation} \dot{\xi}(s)>\dot{\xi}(\bar{t})>a_{2i+1},\ \ s>\bar{t}. \label{eq:3.54} \end{equation}

(3.23)

所以 $\xi(s)$ 一定与 直线 $\eta_{k}(t)=a_{2i+1}t+b_{k}$ 相交. 这与 引理 2.4 相矛盾. 因此 (3.20) 式成立.再由引理 3.4,$\xi(0) \in S$ 可推出 与假设相矛盾. 引理证毕.

对任意固定的 $t>0$ 以及 $\varepsilon>0$,令

\begin{equation} S_{k,\varepsilon}^{-}(t)=\{x\in S_{k}(t):\xi_{-}(0;x,t)\in[a_{k},a_{k}+\varepsilon]\},\label{eq:3.55} \end{equation}

(3.24)

\begin{equation} S_{k,\varepsilon}^{+}(t)=\{x\in S_{k}(t):\xi_{+}(0;x,t)\in[b_{k}-\varepsilon,b_{k}]\}.\label{eq:3.56} \end{equation}

(3.25)

引理3.7     对由引理 3.6 得出的 $T(\varepsilon)>0$,若 $t>T(\varepsilon)$, 则 $S_{k}(t)=S_{k,\varepsilon}^{-}(t)\cup S_{k,\varepsilon}^{+}(t)$ 并且存在一条曲线 $\chi_k(t)$ 使得 $S_{k,\varepsilon}^{-}(t) =[\xi_{k}(t),\chi_k(t)],\ S_{k,\varepsilon}^{+}(t)=[\chi_k(t), \eta_{k}(t)]$.

证     由引理 3.6,对 $t>T(\varepsilon)$,显然有$S_{k}(t)=S_{k}^{-}(t)\bigcup S_{k}^{+}(t)$.

对固定的 $\bar{t}$,我们考虑区间 $[\xi_{k}(\bar{t}),\eta_{k}(\bar{t})]$,其中$\xi_{k}(\bar{t})\equiv a_{2i+1}\bar{t}+a_{k},\ \eta_{k}(\bar{t})\equiv a_{2i+1}\bar{t}+b_{k}$.

假设 $a_{k}^{0}(\bar{t})=\xi_{k}(\bar{t})$,$b_{k}^{0}(\bar{t}) =\eta_{k}(\bar{t})$,把 区间 $[a_{k}^{0}(\bar{t}),b_{k}^{0}(\bar{t})]$ 分成两等份, 分别记为 $[a_{k}^{0}(\bar{t}),c_{k}^{0}(\bar{t})]$ 和 $[c_{k}^{0} (\bar{t}),b_{k}^{0}(\bar{t})]$.

若 $\xi_{-}(0;c_{k}^{0}(\bar{t}),\bar{t})\in[a_{k},a_{k}+ \varepsilon]$ 且 $\xi_{+}(0;c_{k}^{0}(\bar{t}),\bar{t})\in[b_{k} -\varepsilon,b_{k}]$,则令 $\chi_k(\bar{t})=c_{k}^{0}(\bar{t})$.

若 $\xi_{\pm}(0;c_{k}^{0}(\bar{t}),\bar{t})\in[a_{k},a_{k}+\varepsilon]$,记 $a_{k}^{1}(\bar{t})=c_{k}^{0}(\bar{t})$,$b_{k}^{1}(\bar{t})=b_{k}^{0}(\bar{t})$. 若 $\xi_{\pm}(0;c_{k}^{0}(\bar{t}),\bar{t})\in[b_{k}-\varepsilon,b_{k}]$,记 $a_{k}^{1}(\bar{t})=a_{k}^{0}(\bar{t})$,$b_{k}^{1}(\bar{t})=c_{k}^{0}(\bar{t})$.

由归纳法. 如果我们已经得到了闭区间 $[a_{k}^{n}(\bar{t}),b_{k}^{n} (\bar{t})]$,令 $c_{k}^{n}(\bar{t})=(b_{k}^{n}(\bar{t})-a_{k}^{n}(\bar{t}))/2$. 若 $\xi_{-}(0;c_{k}^{n}(\bar{t}),\bar{t})\in[a_{k},$ $a_{k}+\varepsilon]$ 且 $\xi_{+}(0;c_{k}^{n}(\bar{t}),\bar{t}) \in[b_{k}-\varepsilon,b_{k}]$,则记$\chi_k(\bar{t})=c_{k}^{n}(\bar{t})$. 若 $\xi_{\pm}(0;c_{k}^{n}(\bar{t}),\bar{t})\in[a_{k},$ $a_{k}+\varepsilon]$,记 $a_{k}^{n+1}(\bar{t})=c_{k}^{n}(\bar{t})$,$b_{k}^{n+1}(\bar{t})=b_{k}^{n}(\bar{t})$. 若 $\xi_{\pm}(0;c_{k}^{n}(\bar{t}),\bar{t})\in[b_{k}-\varepsilon,b_{k}]$,记 $a_{k}^{n+1}(\bar{t})=a_{k}^{n}(\bar{t})$,$b_{k}^{n+1}(\bar{t})=c_{k}^{n}(\bar{t})$.

由此,我们得出一闭区间序列

\begin{equation} [a_{k}^{n+1}(\bar{t}),b_{k}^{n+1}(\bar{t})]\subseteq[a_{k}^{n}(\bar{t}),b_{k}^{n}(\bar{t})],\ n=0,1,2,\cdots,\label{eq:3.58} \end{equation}

(3.26)

并且当 $n \rightarrow \infty$ 时满足

\begin{equation} b_{k}^{n+1}(\bar{t})-a_{k}^{n+1}(\bar{t})=\frac{1}{2}(b_{k}^{n}(\bar{t})-a_{k}^{n}(\bar{t}))=\cdots=\frac{1}{2^{n+1}}(\xi_{k}(\bar{t})-\eta_{k}(\bar{t}))\longrightarrow 0.\label{eq:3.59} \end{equation}

(3.27)

由闭区间套定理,存在唯一的 $\chi_k(\bar{t})\in[a_{k}^{n+1}(\bar{t}),b_{k}^{n+1}(\bar{t})]$ 使得

$\lim\limits _{n\rightarrow\infty}a_{k}^{n+1}(\bar{t})= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_{k}^{n+1}(\bar{t})=\chi_k(\bar{t})$.因为 $\xi_{-}(0;a_{k}^{n+1}(\bar{t}),\bar{t})\in[a_{k},a_{k}+\varepsilon],\ \xi_{+}(0;b_{k}^{n+1}(\bar{t}),\bar{t})\in[b_{k}-\varepsilon,b_{k}]$,所以 \begin{equation} \xi_{-}(0;\chi_k(\bar{t}),\bar{t})\in[a_{k},a_{k}+\varepsilon],\xi_{+}(0;\chi_k(\bar{t}),\bar{t})\in[b_{k}-\varepsilon,b_{k}].\label{eq:3.62} \end{equation}

(3.28)

引理证毕.

引理3.8     由引理 3.7 定义的曲线 $\chi_k(t)$ 在 $[T(\varepsilon),\infty)$ 上是 Lipschitz 连续的广义特征线,它实际上是一个激波,并且满足

\begin{equation} \lim _{t\rightarrow\infty}\big(\dot{\chi_k}(t)-u(\xi_{\pm}(t),t)\big)=0.\label{eq:3.63} \end{equation}

(3.29)

证     取 $ \Delta t>0$ 且 $t,t+\Delta t \in[T(\varepsilon),\infty)$,则由 引理 3.7 可推出 $\xi_{-}(0;\chi_k(t),t),\ \xi_{-}(0;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t)\in[a_{k},a_{k}+\varepsilon]$,且 $\xi_{+}(0;\chi_k(t),t),\ \xi_{+}(0;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t)\in[b_{k},b_{k}-\varepsilon]$. 因此,

\begin{equation} \chi_k(t)\in[\xi_{-}\big(t;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t\big),\xi_{+}\big(t;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t\big)].\label{eq:3.64} \end{equation}

(3.30)

注意到 $\xi_{\pm}\big(t+\Delta t;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t\big)=\chi_k(t+\Delta t)$, 并由(3.30)式可得

\begin{eqnarray} &&\frac{1}{\Delta t}[\xi_{-}\big(t+\Delta t;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t\big)-\xi_{-}\big(t;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t\big)]\nonumber\\ &\geq&\frac{1}{\Delta t}[\chi_k(t+\Delta t)-\chi_k(t)]\nonumber\\ &\geq &\frac{1}{\Delta t}[\xi_{+}\big(t+\Delta t;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t\big)-\xi_{+}\big(t;\chi_k(t+\Delta t),t+\Delta t\big)].\ \ \label{eq:3.65} \end{eqnarray}

(3.31)

则由 引理 2.2 和引理 3.5

\begin{equation} |\chi_k(t+\Delta t)-\chi_k(t)|\leq C\Delta t,\label{eq:3.66} \end{equation}

(3.32)

其中 $C$ 是一个常数. 在 式 (3.31) 中,让 $\Delta t\rightarrow0$, 可以推出

\begin{equation} \dot{\chi_k}(t)\in[u(\chi_k(t){+},t) \ u(\chi_k(t){-},t)].\label{eq:3.67} \end{equation}

(3.33)

再由 引理 2.2 和 Rankine-Hugoniot 条件,可知 $\chi_k(t)$是一条激波线.

由于

$ \chi_k(t)=\xi_{-}(0;\chi_k(t),t)+\int_{0}^{t}u(\xi_{-}(s),s){\rm d}s\nonumber\\ =\xi_{+}(0;\chi_k(t),t)+\int_{0}^{t}u(\xi_{+}(s),s){\rm d}s. $

(3.34)

因而在 (3.34) 式中 关于$t$ 求导数可知

\begin{eqnarray} \dot{\chi_k}(t)=\frac{{\rm d}\xi_{-}(0;\chi_k(t),t)}{{\rm d}t}+u(\xi_{-}(t),t) =\frac{{\rm d}\xi_{+}(0;\chi_k(t),t)}{{\rm d}t}+u(\xi_{+}(t),t)). \label{eq:3.68} \end{eqnarray}

(3.35)

根据引理 3.6

\begin{equation} \lim _{t\rightarrow\infty}\frac{{\rm d}\xi_{-}(0;\chi_k(t),t)}{{\rm d}t}=\lim _{t\rightarrow\infty}\frac{{\rm d}\xi_{+}(0;\chi_k(t),t)}{{\rm d}t}=0. \label{eq:3.69} \end{equation}

(3.36)

在式 (3.34) 取极限并利用 (3.36)式,我们得到 (3.29)式. 引理证毕.

记

\begin{equation} \Phi(x)=\int_{a_{2i+1}}^{x}\frac{\tau-a_{2i+1}}{g(\tau)}{\rm d}\tau,\quad(x\neq a_{2i+1}). \label{eq:3.70} \end{equation}

(3.37)

由假设(H2),我们推出 (3.37) 式有定义并且是可逆的.通过简单计算可得出其逆为

\begin{equation} \Psi(x)\doteq\Phi^{-1}(x)=\int_{a_{2i+1}}^{x}\frac{g(\Phi^{-1} (\theta))}{\Phi^{-1}(\theta)-a_{2i+1}}{\rm d}\theta,\quad(x\neq a_{2i+1}).\label{eq:3.71} \end{equation}

(3.38)

引理3.9     对 引理 3.6 中 给定的 $T(\varepsilon)$ ,如果 $t>T(\varepsilon)$,则当 $t\rightarrow \infty$ 时,

\begin{equation} u(x\pm,t)=\left\{ \begin{array}{lllll} \Psi(x-a_{2i+1}t-a_{k})+o(1),&x\in[\xi_{k}(t),\chi_k(t)],\\ \Psi(x-a_{2i+1}t-b_{k})+o(1),&x\in[\chi_k(t),\eta_{k}(t)]. \label{eq:3.72} \end{array}\right. \end{equation}

(3.39)

进一步,当 $t\rightarrow \infty$ 时, 存在一点 $x_{0}\in(a_{k},b_{k})$ 使得

\begin{equation} \chi_k(t)=a_{2i+1}t+x_{0}+o(1).\label{eq:3.73} \end{equation}

(3.40)

证     任取 $x\in[\xi_{k}(t),\chi_k(t)]$,由 引理 3.6, 对任意固定的 $t_{0}>0$,当 $t\rightarrow\infty$ 时

\begin{equation} \xi_{-}(t_{0};x,t)=a_{2i+1}t_{0}+a_{k}+o(1).\label{eq:3.74} \end{equation}

(3.41)

根据引理 2.3,以 $(\xi_{-}(t;x,t),\ v(s))=(x,\ u(x-,t))$ 为初值, 方程(2.5)存在解 $(\xi_{-}(s;x,t),\ v(t))$ 且满足

\begin{eqnarray} \xi_-(t;x,t)-\xi_-(t_{0};x,t)=\int_{t_{0}}^{t}v(s){\rm d}s =\int_{v(t_0)}^{v(t)}\frac{w}{g(w)}{\rm d}w.\label{eq:3.75} \end{eqnarray}

(3.42)

注意到 $$v(t_0)=u(a_k+a_{2i+1}t_0-,t_0)+o(1),$$ 则由 (3.41)式,当 $t\rightarrow\infty$ 时,我们得到

\begin{equation} \int_{a_{2i+1}}^{u(x-,t)}\frac{w-a_{2i+1}}{g(w)}{\rm d}w=x-a_{2i+1}t-a_{k}+o(1).\label{eq:3.76} \end{equation}

(3.43)

若 $x\in(\xi_{k}(t),\chi_k(t))$,则存在 序列 $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq[\xi_{k}(t),\chi_k(t))$ 使得当 $n \rightarrow\infty$ 时,$x_{n}\rightarrow x+$. 对每个$x_{n}$,由 (3.41)式知,

\begin{equation} \int_{a_{2i+1}}^{u(x_{n},t)}\frac{w-a_{2i+1}}{g(w)}{\rm d}w=x_{n}-a_{2i+1}t-a_{k}+o(1),\label{eq:3.77} \end{equation}

(3.44)

让 $n \rightarrow\infty$,我们推出

\begin{equation} \int_{a_{2i+1}}^{u(x+,t)}\frac{w-a_{2i+1}}{g(w)}{\rm d}w=x-a_{2i+1}t-a_{k}+o(1).\label{eq:3.78} \end{equation}

(3.45)

再由 (3.43) 和 (3.45)式 推出

\begin{equation} \int_{a_{2i+1}}^{u(x\pm,t)}\frac{w-a_{2i+1}}{g(w)}{\rm d}w=x-a_{2i+1}t-a_{k}+o(1),\ x\in[\xi_{k}(t),\chi_k(t)].\label{eq:3.79} \end{equation}

(3.46)

利用 (3.38)式,我们进一步得出

\begin{equation} u(x\pm,t)=\Psi(x-a_{2i+1}t-a_{k})+o(1),x\in[\xi_{k}(t),\chi_k(t)].\label{eq:3.80} \end{equation}

(3.47)

类似地,若 $x\in[\chi_k(t),\eta_{k}(t)]$,则

\begin{equation} u(x\pm,t)=\Psi(x-a_{2i+1}t-b_{k})+o(1). \label{eq:3.81} \end{equation}

(3.48)

这样就证明了 (3.39)式. 下面证明 (3.40)式. 若 (3.40)式 不成立,则存在两点 $x_{1},\ x_{2}\in(a_{k},b_{k}),\ x_{1}<x_{2}$ 和序列 $\{t_{m}\}$ 且 $t_{m}\rightarrow\infty$, 使得

\begin{equation} \chi_k(t_{m})=a_{2i+1}t_m+x_{1}+o(1),\chi_k(t_{m+1})=a_{2i+1}t_m+x_{2}+o(1).\label{eq:3.82} \end{equation}

(3.49)

不失一般性,我们假设 $\dot{\chi_k}(t_{m})>a_{2i+1},\ \dot{\chi_k}(t_{m+1})<a_{2i+1}$. 由 (3.45) 式可知

\begin{equation} \int_{a_{2i+1}}^{u(\chi_k(t_{m})-,t_{m})}\frac{w-a_{2i+1}}{g(w)}{\rm d}w=x_{1}-a_{k}+o(1),\label{eq:3.84} \end{equation}

(3.50)

\begin{equation} \int_{a_{2i+1}}^{u(\chi_k(t_{m+1})-,t_{m+1})}\frac{w-a_{2i+1}}{g(w)}{\rm d}w=x_{2}-a_{k}+o(1).\label{eq:3.85} \end{equation}

(3.51)

将以上两式相减得

\begin{equation} \int_{u(\chi_k(t_{m+1})-,t_{m+1})}^{u(\chi_k(t_{m})-,t_{m})}\frac{w-a_{2i+1}}{g(w)}{\rm d}w=x_{1}-x_{2}+o(1).\label{eq:3.86} \end{equation}

(3.52)

根据 (H2)

\begin{equation} u(\chi_k(t_{m})-,t_{m})<u(\chi_k(t_{m+1})-,t_{m+1}).\label{eq:3.87} \end{equation}

(3.53)

类似地

\begin{equation} u(\chi_k(t_{m})+,t_{m})<u(\chi_k(t_{m+1})+,t_{m+1}).\label{eq:3.88} \end{equation}

(3.54)

又由引理 3.8知,$\chi_k(t)$ 是 Lipschitz 连续的,因而是几乎处处可微的. 因此,根据引理 2.2和式 (3.53) (3.54),可推出

\begin{eqnarray}\label{eq:3.89} \dot{\chi_k}(t_{m})&=& \frac{u^2(\chi_k(t_{m})+,t_{m})-u^2(\chi_k(t_{m})-,t_{m})}{2(u(\chi_k(t_{m})+,t_{m})-u(\chi_k(t_{m})-,t_{m}))}\nonumber\\ &=&\int_{0}^{1}\big((1-\theta)u(\chi_k(t_{m})+,t_{m}) +\theta u(\chi_k(t_{m})-,t_{m})\big){\rm d}\theta \nonumber\\ &<&\int_{0}^{1}\big((1-\theta)u(\chi_k(t_{m+1})+,t_{m+1}) +\theta u(\chi_k(t_{m+1})-,t_{m+1})\big){\rm d}\theta\nonumber\\ &=&\dot{\chi_k}(t_{m+1}). \end{eqnarray}

(3.55)

这与 (3.49)式 相矛盾. 引理证毕.

定理 1.1 的 证明     首先,定义函数 $\varphi$ 如下

\begin{equation} \varphi(y)=\left\{ \begin{array}{lllll} 0,\qquad\qquad &y\in S,\\ \Psi(y-a_{k}),&y\in[a,a+L]\backslash S,\\ \Psi(y-b_{k}),~~ &y\in[a,a+L]\backslash S.\label{eq:3.91} \end{array} \right. \end{equation}

(3.56)

我们将要证明

\begin{equation} \lim_{t\rightarrow\infty}u(y+a_{2i+1}t,t)=\varphi(y),y\in[a,a+L].\label{eq:3.92} \end{equation}

(3.57)

由引理3.4,当 $y\in S$时,显然成立 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}u(y+a_{2i+1}t,t)=0$. 下面我们考虑 $y\in[a,a+L]\backslash S$ 的情形. 不失一般性,假设 $y\in[a_{k},b_{k}]$. 根据 引理 3.7 和 引理 3.9,若 $t$ 充分大,存在 $y_{0}\in(a_{k},b_{k})$,使得如果 $y<y_{0}$,则 $y+a_{2i+1}t\in S_{k,\varepsilon}^{-}(t)$, 如果 $y>y_{0}$,则 $y+a_{2i+1}t\in S_{k,\varepsilon}^{+}(t)$. 我们只讨论 $y<y_{0}$ 的情形,对其它情况可作类似讨论.根据引理 3.9,我们有

\begin{equation} \lim_{t\rightarrow\infty}u((y+a_{2i+1}t)\pm,t)=\Psi(y-a_{k}),y\in[a,a+L]\backslash S. \label{eq:3.93} \end{equation}

(3.58)

\begin{equation} \lim_{t\rightarrow\infty}u((y+a_{2i+1}t)\pm,t)=\Psi(y-b_{k}),y\in[a,a+L]\backslash S. \label{eq:3.94} \end{equation}

(3.59)

于是可以得到 (3.57)式.

最后,我们将要证明 $\varphi(x)$ 是问题 (1.1) (1.2) 的行波解. 事实上,作变换 $(x,t)=(y+a_{2i+1}t,t)$ 和 $U(y,t)\doteq u(y+a_{2i+1}t,t)$. 则方程 (1.1) 化为

$ U_t+ \Big(\frac{U^{2}}{2}-a_{2i+1}U\Big)_y=g(U).$

(3.60)

选取实验函数 $\phi\in{C_{0}^{\infty}([0,L]\times[T_{1},T_{2}])}$ 并乘以 (3.60)式,在 $[0,L]\times[T_{1},T_{2}]$ 上积分得

$ \int_{T_{1}}^{T_{2}}\int_{0}^L \bigg(U_t\phi + \Big(\frac{U^2}{2}-a_{2i+1}U\Big)_{y}\phi\bigg){\rm d}y{\rm d}t =\int_{T_{1}}^{T_{2}}\int_{0}^L g(U)\phi {\rm d}y{\rm d}t.$

(3.61)

再由分部积分

\begin{eqnarray} -\int_{T_{1}}^{T_{2}}\int_{0}^L U\phi_{t}{\rm d}y{\rm d}t -\int_{T_{1}}^{T_{2}}\int_{0}^L \Big (\frac{U^2}{2}-a_{2i+1}U\Big)\phi_{y}{\rm d}y{\rm d}t =\int_{T_{1}}^{T_{2}}\int_{0}^L g(U)\phi {\rm d}y{\rm d}t.\label{eq:3.95} \end{eqnarray}

(3.62)

让 $T_{1},T_{2}\longrightarrow\infty$ 以及 $ \mid T_1-T_2 \mid \longrightarrow 0$ 并且利用中值定理和 Lebesgue控制收敛定理,推出

\begin{equation} -\int_{0}^L \Big(\frac{\varphi^2}{2}-a_{2i+1}\varphi\Big) \phi_{y}{\rm d}y =\int_{0}^L g(\varphi)\phi {\rm d}y.\label{eq:3.96} \end{equation}

(3.63)

因此,$\varphi(x-a_{2i+1}t)$ 是 问题 (1.1) (1.2) 的 行波解. 定理 1.1 证毕.

在本节中,给出关于定理 1.1两个具体的例子.

例1     考虑以下Cauchy 问题的解 $$ u_{t}+\Big(\frac{u^{2}}{2}\Big)_{x}=u^{\frac{1}{3}}, $$ $$ u_{0}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1,& x \in \Big[-\frac{3}{2},0\Big),\\[3mm] -1,~~& x \in\Big [0,\frac{3}{2}\Big], \end{array} \right. $$ $$u_{0}(x)=u_{0}(x+3). $$ 直接计算可知,方程的解表示如下 \[u(x,t)= \left\{\begin{array} {ll} \Big (\frac{5}{3}\Big(x+\frac{3}{2}\Big)+1\Big)^{\frac{3}{5}},\ &-\frac{3}{2} \leq x <\frac{2}{5} \Big(\frac{2}{3}t+1\Big)^{\frac{5}{2}}-\frac{19}{10},\\[3mm] \Big (\frac{2}{3}t+1\Big)^{\frac{3}{2}},\ &\frac{2}{5}\Big(\frac{2}{3}t+1\Big)^{\frac{5}{2}}-\frac{19}{10} \leq x<0,\\[3mm]-\Big(\frac{2}{3}t+1\Big)^{\frac{3}{2}},\ & 0<x< \frac{19}{10}-\frac{2}{5}\Big(\frac{2}{3}t+1\Big)^{\frac{5}{2}},\\[3mm]\Big(\frac{5}{3}\Big(x-\frac{2}{3}\Big)+1\Big)^{\frac{3}{5}},\ &\frac{19}{10}-\frac{2}{5}\Big(\frac{2}{3}t+1\Big)^{\frac{5}{2}}\leq x \leq \frac{3}{2}, \end{array}\right. \] 且 $$ u(x,t)=u(x+3,t). $$ 由直接验证知,当 $t\rightarrow \infty$ 时,$u(x,t)$ 趋向于 \[\varphi(x)= \left\{ \begin{array}{ll}\Big(\frac{5}{3}\Big(x+\frac{3}{2}\Big)+1\Big)^{\frac{3}{5}} ,~~&x \in \Big[-\frac{3}{2},0\Big),\\[3mm]\Big(\frac{5}{3}\Big(x-\frac{3}{2}\Big)+1\Big)^{\frac{3}{5}},&x \in \Big(0,\frac{3}{2}\Big]. \end{array} \right. \]相应的解曲线 $u(x,t)$ 在 $(x,t)$ 平面上如图 3所示.

例2     考虑以下Cauchy 问题的解

\begin{equation} u_{t}+\Big(\frac{u^{2}}{2}\Big)_{x}=Ku,\label{eq:4.1} \end{equation}

(4.1)

\begin{equation} \label{eq:4.2} u_{0}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2,& x \in \Big[-\frac{3}{2},0\Big),\\ [3mm] -1,~~& x \in \Big[0,\frac{3}{2}\Big], \end{array} \right. \end{equation}

(4.2)

\begin{equation}u_{0}(x)=u_{0}(x+3),\label{eq:4.3} \end{equation}

(4.3)

其中常数 $K>0$. 则 $$ \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}u_{0}(x){\rm d}x= \frac{3}{2},u(x,t)=u(x+3,t). $$ 对 $\forall\ T>0$,(4.1) 在 $[0,T]\times [0,3]$ 上 积分 并由 引理 2.1 得 $$ \int_{0}^{3}u(x,T){\rm d}x= e^{KT}\int_{0}^{3}u_{0}(x){\rm d}x =\frac{3}{2}e^{KT}. $$ 因此,若 $T\rightarrow +\infty$,则 $$ \int_{0}^{3}u(x,T){\rm d}x\rightarrow +\infty. $$ 从而,可推出 $$ \lim_{t\rightarrow+\infty}|u(x,T)|=+\infty,\ {\rm a.e.}. $$