磁共振测井传感器磁体结构的拓扑优化方法

doi:10.11938/cjmr20243131

磁共振测井传感器磁体结构的拓扑优化方法

宋彦佐^,¹^,^*, 于会媛¹, 陈敬智¹, 沈玥², 徐显能², 徐征^,²^,^#

1.中海油田服务股份有限公司，河北廊坊 065201

2.重庆大学电气工程学院，重庆 400044

Topology Optimization Method of Magnetic Resonance Logging Sensor Magnet Structure

SONG Yanzuo^,¹^,^*, YU Huiyuan¹, CHEN Jingzhi¹, SHEN Yue², XU Xianneng², XU Zheng^,²^,^#

1. China Oilfield Services Limited, Langfang 065201, China

2. College of Electrical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China

通讯作者: *Tel：15533420358, E-mail:songyz2@cosl.com.cn;# Tel：13527475882, E-mail:xuzheng@cqu.edu.cn.

收稿日期: 2024-09-19 网络出版日期: 2024-11-18

基金资助:

中海油田服务股份有限公司测录试关键技术与装备项目(KJGG-2022-1401)

Corresponding authors: *Tel：15533420358, E-mail:songyz2@cosl.com.cn;# Tel：13527475882, E-mail:xuzheng@cqu.edu.cn.

Received: 2024-09-19 Online: 2024-11-18

摘要

磁共振测井在石油探测中扮演着关键角色．磁体系统是磁共振测井传感器的一个重要组成部分．然而，目前的磁体系统设计通常依赖于经验结构，缺乏对最优结构的理论研究．本研究提出了一种基于变密度法拓扑优化的单侧磁共振测井传感器磁心结构设计方法，将测井探头二维截面模型的磁心设计域剖分为N个密度在0 ~ 1之间的小单元，应用梯度下降的移动渐近线法，基于目标函数对密度的梯度信息更新单元密度，迭代逐步逼近最优解．本文基于优化结果，制作了缩小比例的磁共振传感器样机，进行实验验证．传感器的外半径为2.5 cm，能够在远端感兴趣区域（ROI）内生成强度为641.0 ~ 1 108.6 G（1 G=10^-4 T），梯度为303.0 ~ 683.6 G/cm的静态磁场．实测磁场分布数据与仿真优化设计的结果一致．在此基础上，对设计的磁共振测井传感器进行了水模测量实验，实验测得传感器的信噪比为23.5．

关键词： 拓扑优化; 磁共振探头; 石油测井; 静态磁场

Abstract

Magnetic resonance logging plays a pivotal role in petroleum exploration. The magnet system serves as a crucial component of the magnetic resonance logging sensor. However, current designs of magnet systems often rely on empirical structures and lack theoretical research on optimal configurations. This paper proposes a design method for the magnetic core structure of a single-side magnetic resonance logging sensor based on topology optimization using the variable density method. The design domain of the magnetic core in the two-dimensional cross-section model of the logging probe is divided into N small units with densities ranging from 0 to 1. The moving asymptote method of gradient descent is employed to update the density based on gradient information from the objective function, leading to an iterative approach for achieving an optimal solution. Based on these optimization results, a scaled-down prototype of the magnetic resonance sensor is fabricated for experimental verification. With an external radius of 2.5 cm, this sensor can generate a static magnetic field with intensities ranging from 641.0 G (1 G=10^-4 T) to 1108.6 G and gradients from 303.0 G/cm to 683.6 G/cm within the remote region of interest (ROI). The measured data regarding magnetic field distribution aligns with simulation-based optimization results. Subsequently, water mode measurement experiments are conducted using this designed magnetic resonance logging sensor, yielding a signal-to-noise ratio of 23.5.

Keywords： topology optimization; magnetic resonance probe; petroleum logging; static magnetic field

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本文引用格式

宋彦佐, 于会媛, 陈敬智, 沈玥, 徐显能, 徐征. 磁共振测井传感器磁体结构的拓扑优化方法[J]. 波谱学杂志, 2025, 42(1): 80-88 doi:10.11938/cjmr20243131

SONG Yanzuo, YU Huiyuan, CHEN Jingzhi, SHEN Yue, XU Xianneng, XU Zheng. Topology Optimization Method of Magnetic Resonance Logging Sensor Magnet Structure[J]. Chinese Journal of Magnetic Resonance, 2025, 42(1): 80-88 doi:10.11938/cjmr20243131

引言

石油是一种有限且不可再生的资源，勘探技术在其生产过程中发挥了关键作用^[1].在众多测井方法中，磁共振（NMR）测井因其能够直接测量地层孔隙中的流体参数脱颖而出.这些参数包括孔隙度、流体饱和度和渗透率，使得NMR测井成为该领域的研究热点^[2].

NMR测井仪器为在井眼升降过程中能够快速获取流体信息，提高测量效率，常采用单侧NMR传感器，靠近井壁的设计使其具备更高的静态磁场强度和更大的磁场梯度，提高了对温度波动的容忍度，增强了扩散信息的收集能力，并提升了纵向测量分辨率^[3].然而，相较于轴对称设计的传感器，单侧NMR传感器结构更为复杂，需要额外的电磁结构设计.近年来，人们提出了各种计算方法和结构优化技术来改进单边NMR传感器的设计.

在传感器外部由永磁结构产生静态磁场B₀，在垂直于静磁场的方向上由射频线圈生成射频磁场B₁.同时可以通过高磁导率的非导电铁氧体磁心调节B₀的分布并提高线圈的效率.因此，磁铁系统的精心设计对于实现更高信号强度的远端感兴趣区域（Region of Interest，ROI）至关重要.肖立志教授团队利用电磁场有限元方法对贴井壁型NMR测井仪探头的静磁场和射频场进行了数值模拟，得出采用三角形单元可以有效提高数值模拟方法精度，增强优化设计结果可靠性的结论^[4].Luo^[5]提出了一种了基于Jackson磁体结构的井周扫描NMR探头设计方案，通过引入环形聚焦磁体与高导磁材料进行被动匀场，实现了Jackson磁体结构与磁场分布的优化，增强了敏感区域高度、提升了磁场强度.Zhu^[6]针对浅地表水文地质NMR测井系统，为提升测量分辨率并增强测量信号强度，提出了基于补偿磁体的高分辨率NMR测井探头设计方案.Asadi等人^[7]将有限积分法应用于NMR测井磁体设计中，然而模型的设计精度会受到设计复杂性和可用磁性材料强度的限制.拓扑优化（Topology Optimization，TO）作为一种先进的结构设计方法，能够生成创新的轻量化和高性能配置，与传统方法相比具有更广阔的设计空间.拓扑优化的有效性已被大量研究证实^[8⇓-10]，并已被应用于设计单侧NMR传感器的铁氧体磁心^[11]，以产生远端均匀场.

本文基于变密度拓扑优化方法，提出了一种电缆NMR测井传感器磁体系统设计方法.首先介绍有限元模型和变密度法，然后基于变密度法对铁氧体磁心结构进行拓扑优化.最后，制作设计了磁体系统，将测量的静态磁场与计算结果进行比较，测试了NMR测井传感器的NMR信号.

1 研究方法

1.1 磁体系统概述

工程实际中，电缆式NMR测井传感器的磁体系统外半径约为50 mm，长度约为1 200 mm.本文的主要目的是探索拓扑优化方法在NMR测井探头设计中的可行性，同时出于控制实验成本的考虑，故仅设计了2 : 1比例尺寸的缩比模型，后期将考虑全尺寸模型的制作与调试.其二维模型如图1(a)所示，探头外半径为25 mm，为了固定永磁体，且防止射频磁场进入金属永磁体中产生响铃噪声^[12]，永磁体采用无磁金属（一般为铜皮）包裹.ROI是一个角度为120˚，半径径向范围为40 mm至50 mm的扇形区域.该传感器能够检测ROI内样品的NMR信号.为了更有效地评估被测样品的特征，需要确保信号具有高强度.信号强度与永磁体产生的静态磁场B₀及射频磁场B₁为正相关.待优化磁心的探头结构如图1(b)所示，包括永磁体、磁心和射频线圈，这使得它不仅能够调节B₀的分布，还能提高天线效率B_1m/I（其中B_1m为垂直于静磁场B₀的射频场主分量，I为通过线圈的电流）.因此，磁心的结构设计至关重要.

图1

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图1 单边NMR测井传感器二维模型.(a)传感器与ROI之间的关系; (b)铁氧体铁芯设计域（灰色部分）

Fig. 1 Two-dimensional model of unilateral NMR logging sensor. (a) The relationship between sensors and ROI; (b) Ferrite core design area (grey part)

永磁体包括上方的等腰三角形磁铁和下方的矩形磁铁，两者沿水平方向（x轴）磁化，在ROI中产生圆周静态磁场B₀.本研究使用高温稳定性的钐钴永磁体（SmCo2:17），其剩余磁通密度为1.14 T，矫顽力为-867.5 kA/m.

在NMR测井探头的上端表面，有一个弧形的矩形螺旋线圈.该线圈有两圈，内圈间隙为6 mm，相邻两圈间隙为3 mm，线圈宽度为12 mm，铜厚为85 μm.该线圈产生垂直于ROI中静磁场B₀的射频磁场B₁，使ROI内的样品发生NMR现象，并检测到NMR信号.高磁导率的磁心将被测样品的弱磁场集中起来，从而提高了线圈效率和检测信号的强度.

NMR测井传感器的信号强度与|B₀|²成正比，也与线圈效率B_1m/I成正比.NMR测井传感器的信噪比计算公式为：

$S N R \approx \sum_{i = 1}^{N} \frac{B_{0, i}^{2} \cdot B_{1 m, i}^{} \cdot s i n θ_{i}}{I \cdot \sqrt{R_{AC}}} \cdot S_{s a m p l e}$

(1)

其中，B₀为目标探测区域静磁场磁感应强度的数值，B₁为目标探测区域射频场磁感应强度的数值，θ为静磁场B₀与射频场B₁之间的夹角，i为目标探测区域被剖分的第i个小单元，N为目标探测区域被剖分的单元总个数，I为通过射频线圈系统的电流值，R_AC为由线圈与周围金属组成的线圈系统的交流电阻值，S_sample为目标区域剖分出的小单元面积.为了获得更强的B₀和合适的梯度，必须精心设计包含铁氧体磁心的磁体系统.

1.2 静态磁场有限元计算模型

由于磁体系统结构复杂，本研究采用有限元法对磁场进行有效求解.有限元法形成的系统方程，其结构允许通过链式法则对设计变量求导，同时利用已有的刚度矩阵分解来高效计算灵敏度，而不需要重新求解整个系统方程.因此，有限元法不仅能够准确计算磁场，还可以方便地推导出目标函数对待优化变量的灵敏度，从而加快优化效率.其中，磁场的控制方程为：

$\nabla \times (ν \nabla \times A_{z}) = J + \nabla \times (ν B_{r})$

(2)

式中，A_z为方向沿z轴的磁矢量势，ν为磁阻，B_r为永磁体的剩余磁通密度，J为通过线圈的电流密度，▽为旋度符号.考虑图1(b)所示的二维笛卡尔坐标系，假设沿z方向的变化可以忽略.应用伽辽金法后，可以得到有限元公式(3)式：

$\iint_{Ω} ν (\frac{\partial A_{z}}{\partial x} \frac{\partial N}{\partial x} + \frac{\partial A_{z}}{\partial y} \frac{\partial N}{\partial y}) d x d y = \iint_{Ω} ν (B_{r, x} \frac{\partial N}{\partial y} - B_{r, y} \frac{\partial N}{\partial x}) d x d y + \iint_{Ω} J_{z} N d x d y$

(3)

其中，N是基函数，A_z为磁矢量势.在磁共振中，计算B₀的分布时，J_z = 0；计算B₁的分布时，磁体被认为是空气区域.有限元模型的线性表达式为：

$K A_{z} = b$

(4)

其中，K为刚度矩阵，A_z为磁矢量势，b为模型源项.

采用Dirichlet边界条件，采用左右对称模型简化分析.则磁场可由A_z解析计算得到:

$B_{x} = \frac{\partial A_{z}}{\partial y}, B_{y} = - \frac{\partial A_{z}}{\partial x}$

(5)

2 基于拓扑优化的磁心设计

本研究所提出的基于变密度法的磁心结构拓扑优化算法的总流程图如图2所示，主要包括建立模型并进行有限元剖分、计算物理场信息、计算灵敏度与目标函数、更新单元密度四个部分.

图2

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图2 磁心结构拓扑优化算法流程图

Fig. 2 Flow chart of magnetic core topology optimization algorithm

2.1 优化模型的建立

针对单边NMR测井探头的磁心结构设计，为了摆脱以往经验结构的约束，获得更加广阔的设计空间，采用拓扑优化设计.本研究聚焦磁心结构的拓扑优化，永磁体结构参考文献^[13]，暂不考虑其优化.

算法的第一步为建立待优化的NMR测井传感器磁体结构模型并进行有限元剖分.如图3(a)所示，将设计域离散成N_e个有限元网格，每个单元的相对密度为设计变量.其中，单元密度为连续变量，取值范围在0到1之间，密度为0表示该单元为空气，密度为1表示该单元为磁心.本研究采用二次三角元进行有限元计算，其中，模型和网格的生成利用Python应用编程接口通过Gmsh有限元剖分软件获得^[14].有限元方法的前处理定义有限元分析的节点和单元，设置边界条件和材料属性，包括磁体和磁心的磁导率、线圈的电流密度等参数.

图3

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图3 磁心设计区域有限元网格剖分与目标点选取.(a)磁心设计区域有限元网格剖分；(b)目标点选取

Fig. 3 Magnetic core design area finite element mesh generation and target point selection. (a) Magnetic core design area finite element mesh generation, (b) Target point selection

磁心结构拓扑优化的目的是使测井传感器前端的信号强度最大化，设目标函数为探头前侧所取12个目标点处的平均信号强度最大化，如图3(b)所示，所选取的目标点为探头正前侧于探测环带上的等距六个点以及探头斜45˚方向于探测环带上的等距六个点.约束条件为设计域内每个单元的密度在0到1之间.

因此，拓扑优化的初始化设置包括设计单元的密度分布、定义优化问题的目标函数和约束条件.所建立的单边NMR测井探头磁心结构拓扑优化设计的非线性优化模型数学表达式如下：

$设计变量： \boldsymbol{\rho}=\left(\rho_{1}, \rho_{2}, \cdots, \rho_{N_{e}}\right) \\ 目标函数： \quad \Phi=\frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} B_{0, i}^{2} \cdot\left(B_{1 m, i} / I\right) \\ 约束条件： 0 \leq \rho_{e} \leq 1 ; \quad e=1,2, \cdots N_{e}$

(6)

其中， $ρ$ 为设计变量，即设计单元的密度，其决定了材料分布，N_e为设计域内剖分单元的个数， $Φ$ 为目标函数，即简化后的信号强度．

2.2 拓扑优化算法

定义二次三角形单元刚度矩阵的计算函数后，识别探头的不同物理区域，并初始化移动渐近线法的相关参数.算法的第二步为通过有限元计算模型的电磁场信息，根据不同物理区域的材料属性进行静磁场和射频场对应刚度矩阵的组装和源项的计算，从而通过(4)式求解出矢量磁位.

第三步为目标函数以及目标函数对于单元密度灵敏度的计算.由于所求解有限元模型是线性的，目标函数对每个元素密度的灵敏度表达式可用伴随法^[15]求解得：

$\begin{array}{l} \frac{d Φ}{d ρ_{e}} = \frac{\partial Φ}{\partial ρ_{e}} + λ^{T} (\frac{d b}{d ρ_{e}} - \frac{d K}{d ρ_{e}} A_{z}); e = 1, 2, \dots N_{e} \\ K^{T} λ = {(\frac{\partial Φ}{\partial A_{z}})}^{T} \end{array}$

(7)

其中，λ是伴随变量，通过引入伴随变量，可以将原始问题转化为对偶问题，并求解对偶问题的梯度，从而得到原始问题的梯度．且对矩阵求导时用伴随法无需对矩阵求逆．在本文优化磁心的算例中， $d b / d ρ_{e} = 0$ ， $\partial Φ / \partial ρ_{e}$ 项可以删去，则要求解 $d K / d ρ_{e}$ ，可以考虑计算 $d v^{e} (ρ_{e}) / d ρ_{e}$ ．

单元的磁导率与单元密度的关系式为：

$μ^{e} (ρ_{e}) = μ_{0} + f (ρ_{e}) \cdot (16 μ_{0} - μ_{0}); e = 1, 2, \dots N_{e}$

(8)

其中， $μ_{0}$ 为空气的磁导率，密度为0的单元为空气，对应相对磁导率为1；密度为1的单元为磁心，对应相对磁导率为16．f ( $ρ_{e}$ )为插值函数，定义见后. $d v^{e} (ρ_{e}) / d ρ_{e}$ 可由单元的磁导率与单元密度的关系即(8)式求得．

第四步为根据目标函数对单元密度的灵敏度以及定义的密度变化步长更新单元密度.拓扑优化的迭代过程如下，本研究利用基于梯度下降的移动渐近线法（Method of Moving Asymptote，MMA）迭代求解该模型^[16]，即基于目标函数对设计变量（单元密度）的梯度信息更新设计变量，逐步逼近最优解.最终使得所求解的连续元素密度趋向于离散的0~1值.为了加速单元密度收敛，采用逻辑（logistic）回归分析函数的密度插值模型进行密度插值^[17].有限单元材料插值函数为：

$f (ρ_{e}) = \frac{\exp [m (ρ_{e} - 0.5)]}{1 + \exp [m (ρ_{e} - 0.5)]}$

(9)

其中，m为控制中间密度元素到达0或1的惩罚速度的惩罚因子，用来调控单元密度的收敛速度．根据文献^[17]，大量的数值算例表明，当惩罚因子m在6.5和9之间时，效果更好，在相同迭代代数的条件下具有较高的收敛速度和较少的灰度单元．在本文中，设m = 8．其中， $f (ρ_{e})$ 在 $ρ_{e} = 0.5$ 时不稳定且变化较快，在 $ρ_{e}$ 接近0或1时趋于稳定，说明基于logistic回归分析函数的材料插值方法可以加速元素密度收敛到0或1的过程．

每更新一次单元密度，不同的材料属性单元在对应磁阻下进行有限元刚度矩阵的装配和矢量磁位的求解，所求磁感应强度为矢量磁位的旋度，更新目标函数的值以及目标函数在伴随法下对单元密度的灵敏度. 最后当目标函数满足收敛条件，即单元密度迭代差小于0.001且迭代次数至80代后得磁心拓扑优化结果.

2.3 优化结果分析

如图4所示，分别展示了迭代2、10、40和80次的拓扑优化结果，最终优化所得的磁心为“牛角形”结构，在传感器上方区域靠近轴线处磁心区域逐渐变窄，最终为一个尖角.

图4

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图4 磁心结构拓扑优化结果. (a)迭代2次；(b)迭代10次；(c)迭代40次；(d)迭代80次

Fig. 4 Magnetic core structure topology optimization results upon. (a) 2 iterations, (b) 10 iterations, (c) 40 iterations and (d) 80 iterations

静磁场B₀和射频场B₁的轮廓如图5所示.其中，B₀是径向梯度的静磁场，射频场B₁由线圈通过单位电流产生，主要集中在线圈附近的磁心核心区域.拓扑优化后得到的磁心结构，起到引导静磁场集中至探头正前方和提高射频场效率的效果.

图5

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图5 B₀和B₁的轮廓. (a) ROI中B₀的等值分布；(b) ROI中B₁的等值分布

Fig. 5 Contours of B₀ and B₁. (a) Contour of B₀ in ROI, (b) Contour of B₁ in ROI

3 实验

基于变密度法拓扑优化的NMR测井传感器样机已经制作完成，如图6所示.利用三次b样条曲线得到不规则铁氧体磁心的轮廓.两个磁心之间的空隙被非磁性材料填充.为了减小线圈的交流电阻，将图1(b)中线圈的每一匝进一步分成9条平行线，如图6(a)所示，每条线的宽度为1.1 mm，相邻两条线之间的间隙为0.262 5 mm.为了获得最大的发射功率，在射频线圈上连接Π型调谐匹配电路.

图6

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图6 单边磁共振测井传感器样机. (a)传感器样机俯视图；(b)传感器样机侧视图

Fig. 6 Single side NMR logging sensor prototype. (a) Top view of the sensor prototype; (b) side view of the sensor prototype

使用高斯计（F.W. BELL 8030）测量传感器横截面正前方ROI内的径向直线上静态磁场B₀的大小以及B₀梯度沿y轴的变化.测量结果如图7所示.其中，图7(a)为计算和测量后的B₀强度变化情况.可以观察到，两者之间有很大的一致性，相对差异小于1.6%.沿该线测得的B₀强度范围为1 108.6 ~ 641.0 G，中心强度为828.4 G.根据拉莫尔定理，射频线圈的工作频率为3.527 MHz.图7(b)显示了B₀沿该线的梯度大小变化.随着距离的增加，B₀的梯度逐渐减小.B₀的梯度范围为683.6 ~ 303.0 G/cm.

图7

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图7 静磁场B₀沿y轴方向的变化. (a)计算得到的B₀强度与实测值的对比，计算值与实测值的相对差异小于1.6%；(b) B₀梯度随y轴变化

Fig. 7 Static magnetic field B₀ changes along y axis. (a) Comparison of strength of B₀ obtained from calculation and measurement, and the relative difference between calculation and measurement is less than 1.6%; (b) gradient of B₀ changes with y axis

本研究搭建了如图8所示的实验平台测量传感器的信号质量.在3.527 MHz的频率下，射频线圈在协调匹配后测得的交流电阻和电感分别为133.1 mΩ和0.50 μH.其他实验设备包括PC、光谱仪（Kea2，Magritek Inc.）、射频功率放大器（BT00500 ALPHA-SA，Tomco Inc.）和双工器（Magritek Inc.）.采用Carr-Purcell-Meiboom-Gill（CPMG）脉冲序列，脉冲长度为15.5 μs，回波时间（TE）为400 μs，回波次数为700，扫描次数为40.本研究采用硫酸铜（上海阿拉丁生化科技股份有限公司）为测量样品，并绘制了CPMG衰减曲线，如图9所示.为了确定信号强度，采用CPMG衰减曲线前10个数据点的均方根（Root Mean Square，RMS）值，而将后200个数据点的RMS值作为噪声强度.计算得到的RMS信号和RMS噪声分别为0.314 9和0.013 4.因此，SNR为23.5.通过对CPMG衰减曲线进行指数拟合，可以获得衰减规律，可用于进一步分析测量样品的孔隙度、流体类型和其他相关参数^[18,19].

图8

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图8 NMR实验平台

Fig. 8 NMR experimental platform

图9

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图9 硫酸铜样品的实测CPMG衰减曲线

Fig. 9 CPMG attenuation curve of copper sulfate sample

4 总结

本研究基于变密度法拓扑优化设计了一种缩小比例版的NMR测井传感器样机的磁体系统，优化了铁氧体磁心的结构.算法的核心思想为将设计域剖分为多个三角形单元，以每个单元的密度（取值为0到1之间）为设计变量，并采用电磁场有限元算法求解静磁场和射频场，再基于梯度下降的移动渐近线法对目标函数，即探头前侧的信号强度进行迭代寻优，直至收敛.拓扑优化得到的磁心为“牛角形”结构，在传感器上方区域靠近轴线处磁心区域逐渐变窄，最终为一个尖角.结果表明，传感器的外半径为2.5 cm，能够在远端ROI内生成强度为641.0 ~ 1 108.6 G，梯度为303.0 ~ 683.6 G/cm的静态磁场.ROI内测量和计算的静态磁场之间的差异小于1.6%，表明优化模型的有效性.最后，在给定的射频线圈结构下，对设计的NMR测井传感器的效果进行测试，SNR为23.5.在未来的研究中，考虑进一步提高优化算法的效率，并探索三维拓扑优化算法的实现，以进一步提高单边NMR测井传感器的SNR.

利益冲突

无

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

KUANG

, LIU

, REN

Y L

, et al.

Application and development trend of artificial intelligence in petroleum exploration and development

[J]. Pet Explor Dev, 2021, 48(1): 1-14.